等差数列前n项和优秀教案

§2．3等差数列的前n 项和

一、教学目标

知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特 殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻 辑思维。

二、教学重点

等差数列n 项和公式的理解、推导及应用

三、教学难点

灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题

四、教学过程

[创设情景]

在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题： 1+2+3+……+100=？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.

[探索研究]

我们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n ，…的前n 项的和：

由 1 + 2 + … + n-1 + n

n + n-1 + … + 2 + 1

（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1） 可知2

)1(...321n n n ?+=++++ 上面这种加法叫“倒序相加法”

请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k 项与倒数第k 项的和与首项与尾项的和相等这个规律，并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前n 项和。

[等差数列求和公式的推导]

一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++=...321.

1.思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①

],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个

（）+（）+（）+...+（）

)(1n a a n +=

由此得到等差数列}{n a 的前n

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n 项和了。

2.把1(1)n a a n d =+-代入1()2

n n n a a S +=

对于这个公式，只要知道等差数列的首项、项数和公差，就可以求出等差数列的前n 项和。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，该公式可以变形为

2111()22

n S dn a d n =+-，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道1a 和n ，不同点是第一个公式还需知道n a ，而第二个公式是要知道d ，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

[例题分析]

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

⑴、先阅读题目；

⑵、引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；

⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{}n a ，表示从2001年起各年投入的资金，其中 1500a =， d=50.

那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为

10101105005072502n S ?-=?+

?=（）（万元） 答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.

例2．已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？

引导学生分析得到：等差数列前n 项和公式就是一个关于1n a a n d 1、、n或者a 、、的方程。若要确定其前n 项求和公式，则要确定d 1a 和的关系式，从而求得。

分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于1a 与d 的二元一次方程，由此可以求得1a 与d ，从而得到所求前n 项和的公式.

解：由题意知 10310S =， 201220S =，

将它们代入公式 112n n n S na d -=+

（）， 得到 111045310201901220a d a d +=+=，

解这个关于1a 与d 的方程组，得到1a =4，d=6，

所以214632

n n n S n n n -=+

?=+（） 另解： 11010103102a a S +=?= 得 11062a a +=； ①

120202012202

a a S +=?= 所以 120122a a +=； ②

②-①，得1060d =，

所以 6d =

代入①得： 14a =

所以有 21132

n n n S a n d n n -=+=+（） 例题评述：此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.

例3 已知数列{}n a 的前n 项为212

n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据 121...n n n S a a a a -=++++

与 1121

...n n S a a a --=+++（n 1） 可知，当n ＞1时，2

21111[11]2222

n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（） ① 当n=1时，211131122

a S ==+?= 也满足①式. 所以数列{}n a 的通项公式为122

n a n =-. 由此可知，数列{}n a 是一个首项为32，公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ，可求出通项 111(1)

n S n S n -=->n （）S 用这种数列的n S 来确定n a 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意1a 不一定满足由1n n n S S a --=求出的通项表达式，所以最后要验证首项1a 是否满足已求出的n a .

思考：结合例3，思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2.n S pn qn r =++其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

引导分析得出：观察等差数列前n 项和公式2111222n n n d d S a n d n a n -=+=+-（）（），公式本身就不含常数项。

所以得到：如果一个数列前n 项和公式是常数项为0，且关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.

例4 已知等差数列2454377，

，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 分析：等差数列的前n 项和公式可以写成2122n d d S n a n =

+-（），所以n S 可以看成函数2*122

d d y x a x x N =+-∈（）（） 当x=n 时的函数值. 另一方面，容易知道n S 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函

＞ n a =

数来求n 的值.

解：由题意知，等差数列24

54377

，，，....的公差为57

-，所以 5[251]27n n S n =?+--（）（） =2275551511251414256

n n n -=--+（） 于是，当n 取与152

最接近的整数即7或8时，n S 取最大值. [随堂练习]课本45页“练习”第1、2、3题 [课堂小结] 等差数列}{n a 的前n 项和的公式2)(1n n a a n S +=和1(1)2n n n S na d -=+ （五）评价设计

课本46页A 组第2、3、6