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a ⊥

b 的充分必要条件是

a .

b =0

两向量垂直，则上式等于 0

（一）平面的方程

设平面 过点 M （ x 0

, y

, z

) ，它的一个法向量

n = （ A , B , C )

，则平面 Ⅱ的

方程为

此方程称为平面的 点法式方程 。

如，在方程 Ax ＋ By ＋ Cz + D = 0

中，当 D = 0 时，方程表示一个通过原点的

平面；当 A = 0 时，方程表示一个平行于

x 轴的平面；当 A = B = 0

时，方程表示

一个平行于 x Oy 的平面。类似地，可得其他情形的结论。

（二）两平面的夹角

由此可得

Ⅱ1 与 Ⅱ2 互相垂直相当于 A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0

Ⅱ1 与 Ⅱ2 平行相当于

空间一点 P 0 （ x

，y 0， z

）到平面

的距离，有以下公式：

（二）两直线的夹角

则 L 1和 L 2的夹角可由下式确定：

由此可得

L 1和 L 2互相垂直相当于

L 1和 L 2平行相当于

（三）直线与平面的夹角

直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定0。设直线的方程是

2

平面的方程是

则直线与平面的夹角φ 由下式确定：

由此可得

直线与平面垂直相当于

直线与平面平行或直线在平面上相当于 A m+ B n + C P = 0

极限

（ l）（极限的四则运算法则）

利用准则 I ’，可得一个重要极限

利用准则 II ，可得另一个重要极限

其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828

当 x 0 时，有以下常用的等价无穷小： ( lim tan 2x )

x 0 sin 5x

一般地，对有理分式函数

其中 P（ x ）、 Q （ x ）是多项式，若 lim0 Q （x）=Q（x）0, 则

x

注意：若Q （ x 0）= 0，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑。

由函数在一点连续的定义可知, 函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是:

（ 1 ） f （ x o）有定义；

（ 2 ） lim f ( x) 存在；

x x0

（ 3 ） lim f ( x) f (x0 )

x x0

若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在x 0 处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：

第一类间断点：x 是f （ x ）的间断点，但

-

）及 f

+

f （ x（ x）均存在；

第二类间断点：不是第一类的间断点。

三、导数

曲线 y =f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为

其中 y 0＝ f（x0）。若f' （ x 0）≠ 0 ，则曲线 y = f （ x）在点（x0，f（x0））处的法线方程为

1．基本求导公式

2．函数的和、差、积、商的求导法则

设 u = u（x）、v=v （x）均可导，则

（1）（ u± v）’ =u’± v’

（2）（ Cu）’ =Cu’（C 是常数）

（3）（ uv）’ =u’ v+u v ’

u 'u' v uv '

（4）

v v2

4．复合函数的求导法则

设 y = f（u）、u =φ（x）均可导，则复合函数y = f [φ（x）]也可导，且

5．隐函数的求导法则

设方程 F （ x ， y）＝ 0 确定一个隐函数y = y （ x ），F 、 F

y ，连续且 F

x y ≠0，则隐函数 y = y （ x ）可导 , 且

6．由参数方程所确定的函数的求导法则

若函数 y = y （ x ）由参数方程

所确定，且x = φ（ t）、y =ψ（t〕都可导，φ ’（t）≠ 0，则

微分 : 一元函数，可导肯定连续，连续不一定可导。

可导，左右导数相等。

函数 y = f（ x）在点 x 0可微分的充分必要条件是 f （ x）在点x0可导，且当f（x）在点 x 0可导时，其微分一定是

2．函数和、差、积、商的微分法则

设函数 u = u（x）、v＝v（x）均可微，则

（一）罗尔中值定理

1 ．若函数 f （ x

）在闭区间 [ a ，b] 上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f （ a ）

= f （ b ） ，则至少有一点ξ∈（

a ，

b ） ，使得 f '

（ξ）＝ 0 。

2 ．拉格朗日中值定理

若函数 f

（ x ）在闭区间［ a ，b ］上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少

有一 点ξ∈（ a ， b ），使得下式成立

未定式 0

与 的情形

则

其他尚有 0 ·

、

- 、00、1

、

型的未定式，它们均可通过变形化

成 0

或

的情形。如

0 · 型可变形成 0 或

， -

型通过通分， 00 、 1 、 0

1

1

通过取对数变形。

一阶导数为零的点称为驻点， 对于连续函数， 极值点必定是驻点， 驻点不一定是极值点。

若lim f ( ) =y0，则曲线 y = f （ x ）有水平渐近线 y = y 0 ;

x x

若 lim f (x) = , 则曲线 y ＝f （ x ）有铅直渐近线 x = x 0；

x x0

六、偏导数全微分

函数 z = f （ x,y ）对 x 、 y , 的偏导数依次记作z

（或 f x（ x ,y ）），

z

（或x y

f y , （ x, y ）），它们的定义如下：

多元复合函数的求导法则

由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中

间变量，哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形

图） 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量 u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。

按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。

3 ．隐函数求导法则

设方程 F （ x , y , z ） = 0 确定一个隐函数z = f（x，y），函数F（x , y , z）具有连续偏导数且F z≠ 0 ，则有

5．全微分概念 :

对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微分两者是等价的。

（三）偏导数的应用

1．空间曲线的切线与法平面

空间曲线：

在对应参数t = t0的点（x0, y0，z0 ）处的切线方程为

法平面方程为

2．曲面的切平面与法线

曲面∑： F（x，y , z）= 0在其上一点M （ x 0 , y0 , z0）处的切平面方

程为

法线方程是

4．多元函数的极值

设 z = f（x，y）在点（x0, y0）具有偏导数，则它在点（x 0, y 0）取得

极值的必要条件是

设 z = f（x，y）在点（x0, y0）的某邻域内具有二阶连续偏导数，且

则有

（ 1）当 AC-B2 > 0时，具有极值 f （x ,y ），且当 A < 0时，f（x,y）为极大

值，当 A > 0时，f（x0,y0）为极小值；

（2）当 AC-B 2< 0 时， f （x0 ,y 0）不是极值。

积分学

定积分具有如下性质：

3．分部积分法

分部积分法适用于被积函数是两类不同函数的乘积的情形。选取u和v的一般原则是：

（二）积分法

1．基本积分表

由此可得微积分基本公式：

若在［ a , b］上有F’( x）=f（x )，则

几个常用的定积分公式

( l）若f（x）在［- a , a］（a > 0 )连续且为偶函数，则( 2）若f（x）在[- a , a ]（a > 0 )上连续且为奇函数，则

2．换元积分法

对不定积分，有

第一类换元法： ( 凑微法 )

第二类换元法：

其中1( x) 是 x (t ) 的反函数，且' (t) 0 。

对定积分，有

其中( ) a, ( ) b 。

当被积函数含有a2x2、 x2a2、 x2a2时，可采用第二类换元法，依次令x aasin t、 x a tant、x a sect ，可消去被积函数中的根号。

二重积分计算公式 :

( 1）利用直角坐标

若积分区域 D （图 1-3-1）可表成

则二重积分可化成先对y 后对 x 的二次积分，即

( 2）利用极坐标

直角坐标和极坐标的关系是

积分的变换公式是

若积分区域 D （图 1-3-3）可表成

则二重积分可化成先对ρ、后对θ的二次积分，即

三重积分的计算

( l）利用直角坐标计算三重积分

( 2）利用柱面坐标计算三重积分

直角坐标与柱面坐标的关系是

( 3）利用球面坐标计算三重积分

直角坐标与球面坐标的关系是

1 ）直角坐标情形

设平面图形由曲线y = f（x）、y = g（x )（f（x )≥ g（x )）和直线 x = a、x = b

2）极坐标情形

设平面图形由曲线＝（)及射线＝a、＝所围成（图1-3-9 )，则其面积

l）旋转体的体积

设旋转体由曲线y = f（x）与直线x = a、x = b及x轴所围成的平面图

形绕 x 轴旋转一周而成（图1-3 -10 )，则其体积

（ 3）平面曲线的弧长

l）直角坐标情形

设曲线的方程为y = f（x )（a x b ) , f（x）在[ a，b]上具有一阶连续导数，则其弧长

2 ）参数方程情形

设曲线的参数方程为x＝（t ) , y＝（t )（a t）,（t）、（ t）在[ a,] 上具有连续导数，则其弧长

3 ）极坐标情形

设曲线的极坐标方程为＝（）（ a ），（）在［ a ，］

2

’

2

上具有连续导数，则其弧长s = d

（ 2 ）水压力

设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为y 轴， x 轴铅

直向下（图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为

则薄板一侧所受的水压力为

（二）二重积分的应用

1 ．曲面的面积（比较重要）

设曲面Σ的方程为z = f（x，y)，Σ在x Oy面上的投影区域为 D , f（x，y）在 D 上具有一阶连续偏导数，则曲面Σ的面积

（ 5 ）若级数u 收敛，则lim u n＝0；反之，不一定成立。

n n

n 1

3．典型级数

（ l ）几何级数aq n-1，当 q < 1 时，收敛于a

，当 q 1 时，级

n 1 1 q

数发散；

（ 2 ） p- 级数 1 （ p > 0 ) ，当 p > 1 时，级数收敛，当0＜ p 1 时，n 1

n p

级数发散 .

（ l）收敛准则：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界。

（ 3 ）比值审敛法：设u n为正项级数，若

lim u n 1 = l，则当l < l 时，

n 1 n u

n

级数收敛；当l > 1或 l = + 时，级数发散；当l = 1 时，级数可能收敛也可能

发散。

（ 4) 根值审敛法：设u n为正项级数，若lim

n u n=l,则当l< l

时，级数

n 1

n

收敛 ; 当l > 1 或l = + 时，级数发散；当l = 1时，级数可能收敛也可能发散。

（很重要）若级数u n为任意项级数，而级数u n收敛，则称级数u n绝对收n 1n 1n 1

敛；若u n收敛，而u n发散，则称级数u n条件收敛。

n 1n 1n 1

（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数（ - l ）n u n（ u n＞0）满足：

n 1

1 ）u n u n+1 （n ＝1,

2 ）;2 ）lim

u n = 0 ，则级数（- 1 n n n ） u

n 1

收敛，且有余项r n u n+1（n＝1 , 2, ）

（ 3 ）设u n 为任意项级数，若 lim u n 1 = l （或

lim

n u n

＝ l ），

n 1 n

u n n

则当 l < 1 时，级数绝对收敛；当 l > 1 或 l = + 时，级数发散；当l = 1时，级数可能收敛也可能发散。

注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。

二、幂级数泰勒级数

对幂级数a n x n若

n 0

则它的收敛半径

若幂级数a n x n的收敛半径为R ，则称开区间（ - R , R）为幂级数的收敛区间。

n 0

3．常用函数的幂级数展开式

2．狄利克雷收敛定理

设 f （ x ）是周期为 2 π的周期函数，如果它满足条件：

（ 1 ）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；

（ 2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f（x）的傅立叶级数收敛，且当 x是f（x）的连续点时，级数收敛于 f （ x）；当x是f（x）的间断点

时，级数收敛于 1 [ f ( x ) f ( x )]

2

设 g（y）、f（x）的原函数依次为G （ y）与 F （x），即得方程（1-5 - 2）的通解

一阶线性方程的通解公式

全微分方程

这是不显含y的二阶方程，令y p ，则 y p ，代入即得

这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为p(x,C1 ) ，则原方程的通解为

这是不显含x的二阶方程，令y p ，则

代入方程得

即把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为p( y, C1) ，即

dy

( y, C1) ，分离变量并积分得原方程的通解为

dx

线性微分方程解的性质及解的结构定理

设有二阶齐次线性方程

则有

二阶常系数线性齐次方程

M ij称为 D n的对应于元素 a ij的余子式。令

A ij称为 D n的对应于元素a ij的代数余子式。

2阶行列式

3阶行列式

计算 2 阶和 3阶行列式的值时，有“对角线法则”:

2阶行列式时，

即把 a 11－ a 22的连线称主对角线， a 12－ a 21的连线称次对角线。主对角线上各元素的乘积冠，“ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“－”号，然后作代数和，所得结果即

为 2 阶行列式的值。

3阶行列式时，

主对角线上各元素的乘积冠，“ +”号，次对角线上各元素的乘积冠“－”号，

然后作代数和，所得结果即为 3 阶行列式的值。

（二）行列式的性质

2.互换行列式中的两行（列），则行列式的值变号。

3.行列式中任一行（列）的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的

值。

式（ 1-82）称为行列式按第i行展开公式和按第j列展开公式。

4.把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元

素上，行列式的值不变。例如以数k乘第i行加到第j行上，有

5. 行列式中如果有两行（列）的元素相同，则行列式的值为0 。

6.行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和

等于 0。即

7. 以数 k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于k 乘这个行列式。

8. 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为0 。

9. 如果行列式中某行（列）的元素都表为两数之和，例如第k 行的元素都是两数

之和：