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直线的知识点总结

一、直线的倾斜角与斜率：

1.直线的倾斜角：

1)定义：当直线与 x 轴相交时，沿 x 轴正方向为始边，按照逆时针方

向旋转所得的最小正角；

规定：与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0；

2)范围：直线l的倾斜角的范围是0；

2.直线的斜率：

1)定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的

斜率。直线的斜率常用 k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

2)公式： k tan

a. 当0 ,90时，k 0，当α=0°时，斜率k=0；当090 时，

斜率k0 ，随着α的增大，斜率 k 也增大；

当90 ,180时， k 0，随着α的增大，斜率k也增大；

当90时， k 不存在 , 即直线与y轴平行或者重合.

这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

b. 如果知道直线上两点 A x1, y1，B x2, y2

k

AB y2y1y1y

2 ( x1 x2 )

x2x1x1x2

注意： (1) 特别地是，当x

1

x

2 ，

y

1

y

2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；

当x

1

x

2 ，

y

1

y

2 时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

(2)k与 A、B 的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

c ．设直线l : Ax By C 0 B 0A

则 k

B

注：三点 A， B， C共线，则k AB k BC

二、直线的方程：

①点斜式：直线 l 过点P0( x0, y0) ,且斜率为 k，其方程为y y0k( x x0 ) .

注意：当直线的倾斜角为 0°时， k=0，直线的方程是 y=y0。

当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x0，所以它的方程是0。

y y0

x=x

k 与 y y0k( x x0 ) 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P0 (x0 , y0 ) ，后者才

x x0

是整条直线 .

②斜截式： y

kx b ，直线斜率为 k ，直线在 y 轴上的截距为 b 。斜截式不能表示

垂直 x 轴直线 .

③两点式：

y

y 1 x x 1 （ x 1 x 2 , y 1

y 2 ）直线两点 x 1, y 1 ， x 2 , y 2 两点式不能表

y 2

y 1 x 2 x 1

示垂直 x 、y 轴直线。

④截矩式：

x

y 1

a

b

其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x 轴、y 轴的截距分别为

a,b 截距式不能表示垂直 x 、y 轴及过原点的直线 .

特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x a （a 为常数）；

⑤一般式： Ax By C

0 （A ，B 不全为 0）

注意： 注意 A 、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax By C 0 (B 0) 化为斜截式方程

y

A x

C

，表示斜率为

A ， y 轴上截距为

C 的直线 .

B B

B

B

直线系方程：即具有某一共同性质的直线 ：

1) 平行的直线系：

平行于已知直线 A 0 x B 0 y C 0 0（ A 0 , B 0 是不全为 0 的常数）的

直线系： A 0 x B 0 y

C

0 （C 为常数）

2)

垂直的直线系：

垂直于已知直线 A 0 x B 0 y C 0 0（ A 0 , B 0 是不全为 0 的常数）的

直线系： B 0 x A 0 y C

0 （ C 为常数）

3) 过定点的直线系：

斜率为 k 的直线系： y

y 0 k x x 0 ，直线过定点 x 0 , y 0 ；

过两条直线 l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 ，l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 的交点

的直线系方程为 A 1 x B 1y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0 （ 为参数），

其中直线 l 2 不在直线系中

直线方程的设法：

1) 知直线纵截距 b ，直线的方程为 y kx b ；

2) 知直线横截距 x 0 ，直线的方程为 x my x 0 ( 它不适用于斜率为 0 的直

线 ) ；

3) 知直线过点 ( x 0 , y 0 ) ，

当斜率 k 存在时，直线的方程为 y k(x x 0 ) y 0 ；

当斜率 k 不存在时，则其方程为 x x 0 ；

4) 与直线 l : Ax By C 0 平行的直线可表示为 Ax By C 1 0 ； 5) 与直线 l : Ax

By C

0 垂直的直线可表示为 Bx Ay C 1 0 ；

三、两条直线的位置关系：

A1 x B1 y C10

一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组A2 x B2 y C20

. 若方

程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合 .

l 1∶y k1x b1l1∶ A1x+ B1y+ C1=0l1与 l 2组成的方

l 2∶y k2x b2l 2∶ A2x+ B2y+ C2=0程组

A1B1C1

A2B2 C 2

平行k1=k2且 b1≠b2平行A1B2A2B10无解

B1C2B2C10

A1B1C1

重合k1= k2且 b1= b2A2B2C2有无数多解

重合A1B2A2 B10 且

B1C2B2C10

A1B1

相交k1≠k2A2B2

相交A1 B2A2B10有唯一解垂直

k1·k2=-1垂直A1 A2B1 B20

提醒：A

1

B1C1、A1B1、A1B1C1仅是两直线平行、相交、重合的充分A2B2C2A2B2A2B2C2

不必要条件！

四、两条直线所成的角：

1.到角：

定义：l

1到

l

2的角是指直线

l

1绕着交点按逆时针方向转到和直线

l

2重合所转的角

，0,

；

k2k1

公式： tan =1k

1

k

2 (

k

1

k

2

1

)；

2.夹角：

l1l2l1l20,

定义：与的夹角是指直线与所成的最小正角，2；

k2k1

公式： tan=︱1k

1

k

2 ︱

(

k

1

k

21)

五、公式：

1.两点间的距离公式：

设点 A x1 , y1，点 B x2 , y2

22，则 ABx1 x2y1 y2

2.点到直线的距离公式：

设点 P x0 , y0到直线 l : Ax By C 0 的距离为 d ，则

Ax0By0C0

d

A2B2

3.平行线间的距离公式：

设

l : Ax

12

: Ax By C

2

0 的距离为

d

，则

d C1C2

By C0 与 l

A2 B 2

注：与 l : Ax By C 0 平行且距离为 d 的直线方程为

l : Ax By C d A2 B 20

与 l : Ax By C10 和 l 2 : Ax By C20 的距离相等的直线的方程为

l : Ax

C1C2

0 By2

4.中点坐标公式：

设点 A x1 , y1，点 B x2 , y2，线段 AB 的中点为C x0, y0，则 x x1 x2，

02 y1y2

y0

2

5.线段的定比分点坐标公式：

点 P x , y uuuur，点 P x , y P x, y

0 分有向线段

P P 所成的比为

则：

0 1 21 1 1，点2

22

x0x1x

2， y0y

1y2

11