15.解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题

解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题

——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义

◆类型一费用类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

1．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴

滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函

数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；

②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点

的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，

则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：

(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；

(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

二、分段函数问题

3．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．

(1)求y与x的函数解析式；

(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

◆类型二路程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

4．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：

(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填“l1”或“l2”)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；

(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?

二、分段函数问题

5．暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽

车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．

(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？

(2)求线段AB对应的函数解析式；

(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？

◆类型三工程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

6．(2017·黄山市期中)甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米

长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所

示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每

天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队

比乙队提前2天完成任务．正确的有________(填序号)．

二、分段函数问题

7．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？

(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．

参考答案与解析

1．D

2．解：(1)设y甲＝kx，把(2000，1600)代入，得2000k＝1600，解得k＝0.8，所以y甲＝

0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得?????2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得?????m ＝0.7，n ＝600，所以y 乙＝?

????x （0

3．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，

把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得?????20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得?

????k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝?

????8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）. (2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴?????x ≤35，x ≥45－x ，

∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．

4．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602

＝30(km/h)，乙的速度是603

＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20. (2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意得30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.

答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km.

5．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.

(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得?????k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得?

????k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.

6．①②③④

7．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．

(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)． ∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q

＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得?????2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得?

????k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.