二次函数字母符号的意义
二次函数字母符号的练习
二次函数2
y ax bx c
=++的图象的特征与a、b、c及?的符号之间的关系。
1、满足0,0,0
a b c
<>=的函数2
ax bx c
?=++的图象是下图中的()
2、二次函数2
y ax bx
=+与一次函数y ax b
=+在同一直角坐标系中的图象大致为()
3、二次函数
A D
A D
2y ax bx c =++的图象如图所示,则ac 0(填“>”
,“<”或“=”) 4、已知:二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中,0a >,0b >,0c =,则其图象的顶点在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
5、当0b >时,一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一坐标系中的图象为( )
6、已知反比例函数k
y x
=
图象如图所示,则二次函数222y kx x k =-+的图象大致为( ) 7、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,反比例函数a
y x
=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是( )
8、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象开口向上,图象经过点(1-,2)和(1,0)且与y 轴交于向半轴,下列结论中正确的是
(填序号)
①0a > ②0b > ③0c > ④0a b c ++=
⑤0abc < ⑥20a b +> ⑦1a c += ⑧1a >
A
D
A
D
A
B
C
D
中考数学专题训练------函数及其图象
一、选择题:
1、若点P (m ,3)与点Q (1,n )关于x 轴对称,则( )
(A )m=–1,n=–3 (B )m=1,n=3(C )m=–1,n=3(D )m=1,n=–3 2、在下列四个函数的图象中,函数y 的值随x 值的增大而增大的是 ( )
3、函数1
2
-+=
x x y 的定义域为( ) (A )x >–2 (B )–2<x <l (C )x >l (D )x >–2且x ≠1
4、将二次函数14
12-+=x x y 化成()n m x a y ++=2
的形式是( )
(A )()22412-+=x y (B )()22412++=x y (C )()22412--=x y (D )()224
12
+-=x y
5、已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则直线b ax y +=与双曲线x
ab
y =在
同一坐标系中的位置大致是( )
6、在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( ) (A )直线x y -=上 (B )抛物线2x y =上(C )直线x y =上(D )双曲线x
y 1=上 7、下列函数中,自变量x 的取值范围选取错误的是( ) (A )22x y =中,x 取全体实数(B )1
1
+=
x y 中,x 取1-≠x 的实数 (C )2-=x y 中,x 取2≥x 的实数(D )3
1+=
x y 中,x 取3-≥x 的实数
8、已知一次函数m x y +=
23和n x y +-=2
1
的图象都经过点A (–2,0)且与y 轴分别交于B 、C 两点,那么△ABC 的面积是( )
(A )2 (B )3 (C )4 (D )6 9、已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是( )
(A )222++=x x y (B )232++=x x y (C )322+-=x x y (D )232+-=x x y 二、填空题: 1、函数1
81
-=
x y 的自变量的取值范围是__________。 2、在直角坐标系中,已知点P (–3,2),则点P 关于x 轴对称点的坐标为__________。
3、函数1-=x x
y 中,自变量x 的取值范围是__________。 4、函数x
y -=21
的自变量x 的取值范围是____________。
5、函数1
2
-+=
x x y 中自变量x 的取值范围是__________。 6.已知点P 在第二象限,且到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则点P 的坐标为___________.
7、在函数2
1+-=
x x
y 中,自变量x 的取值范围是_________。 8、长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李费用y (元)是行李重量x (千克)的一次函数,其图象如图所示,则y 与x 之间的函数关系式是_____________________,自变量x 的取值范围是_____________________.
9、如果正比例函数x y 3=和k x y +=2一次函数的图象的交点在
第三象限,那么k 的取值范围是_______________。
A
二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题 一、基本知识: (1)二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线,这条抛物线的形状(开口方向、开口大小)是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 (2)抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上; 抛物线与y 轴相交于原点; 抛物线与y 轴相交于负半轴上. (3)抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧; 对称轴在y 轴的右侧; 对称轴就是y 轴. (4)抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点; 抛物线与x 轴有1个交点; 抛物线与x 轴有0个交点. (5)二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0(或恒小于0)的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 (6)抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是( , ) 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题: 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示,根据图像填空: (用“>”、“=”、“<”填空 ) (1)a___0,b__0,c___0,(2)a+b+c_____0,a -b+c______0, (3) 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示,根据图像填空: (用“>”、“=”、“<”填空 ) (1)a___0;b___0;c___0;a+b+c___0;a -b+c______; (2) 练习: 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示,根据图像填空: (用“>”、“=”、“<”填空 ) (1)a_____0,b____0,c_____0; (2)a+b+c_____0,a -2b_____0,9a -3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41--
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定 一、基础练习 1、已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图 所示,则下列结论中,正确的是( ) A 、a >0 B 、b <0 C 、c <0 D 、a+b+c >0 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果① b 2>4a c ;②abc >0;③2a+b=0;④a+b+c >0;⑤a-b+c <0,则正确的结 论是( ) A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 3、如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( 1/2,1), 下列结论:①ac <0;②a+b=0;③4ac-b 2=4a ;④a+b+c <0.其中正确 结论的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,对称轴为直线 x=1,则下列结论正确的是( ) A 、ac >0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1,x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x >0时,y 随x 的增大而减小 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的图象如图 所示,有下列结论:①abc >0,②b 2-4ac <0,③a-b+c >0,④4a-2b+c <0,其 中正确结论的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中,下面四条信息: (1)b 2-4ac >0;(2)c >1;(3)2a-b <0;(4)a+b+c <0.错 误的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个 7、抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的 是( ) A 、b 2-4ac <0 B 、abc <0 C 、 -b/2a <-1 D 、a-b+c <0 8、已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,现有下列结 论: ① b 2-4ac >0 ②abc >0 ③8a+c >0 ④9a+3b+c <0, 则其中结论正确 的个数是( )A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
二次函数中的符号问题
第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时:二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置;由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义,图像及性质等基本知识,但是缺乏对知识之间内在联系的再认知,本节课内容的复习既是旧知识的再现,又是知识内部联系规律的生成,考虑到本节课要应用图像分析系数,要运用规律综合解决一些问题,所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结,重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是:掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是:运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三
【教学过程】 一、知识链接温故而知新 (一)回味知识点: 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关? 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。(二)归纳知识点: 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题: (1)a的符号:由抛物线的开口方向确定: 开口向上a>0 开口向下a<0 (2)C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 (3)b的符号:由对称轴的位置确定: 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为:左同右异(4)b2-4ac的符号: 由抛物线与x轴的交点个数确定:
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数:图象位置与a, b, c, (1)a决定抛物线的开口方向:?| . (2)C决定抛物线与尸轴交点的位置,心aDq抛物线交尸轴于; =抛物线交轴于;—0Q. (3)ab决定抛物线对称轴的位置, 当儿"同号时Q对称轴在F轴;对称轴为;以片异号匕对称轴在〉轴,简称为? 一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号. y 例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象,判断a、b、c、b 2 -4ac的符号 2.看图填空 (1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0 (3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0 二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置:
例1 .若,则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为() 例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限. 例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0 例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是() B D C A 1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上,则直线尸血山经过象限. y 2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是( A、甬* “ > 山匕v 0 B、tr - 4ac< 0 C、山十&十° D、 y (b ac 3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图,则点心〃丿在.() A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y 4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是(
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M 为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方 法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法 一、知识点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号. (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0. (4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号. (6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号. 二、基础练习 1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是() A、a>0 B、b<0 C、c<0 D、a+b+c>0 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac; ②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是() A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( 1/2,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数 是() A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列 结论正确的是() A、ac>0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x 1=-1,x 2 =3 C、2a-b=0 D、当x>0时,y随x的增大而减小 5、已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是() A、1 B、2 C、3 D、4
二次函数abc符号确定
二次函数a 、b 、c 符号的确定 一.选择题(共13小题) 1.(2013?黔东南州)二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) 2.(2013?崇明县一模)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,那么a ,b ,c 的符号为( ) 3.(2014?兰州)二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下 列四个结论错误的是( ) 4.(2014?徐汇区一模)已知抛物线y=ax +3x+(a ﹣2),a 是常数且a <0,下列选项中可 D > 0 6.(2014?邢台一模)抛物线y=ax +bx+c 如图,考查下述结论:①b <0;②a ﹣b+c >0; ③b 2>4ac ;④2a+b <0.正确的有( ) 7.(2014?兴化市一模)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过(﹣1,0)、(0,3), 下列结论中错误的是( ) 8.(2013?定西)已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中: ①2a ﹣b <0;②abc <0;③a+b+c <0;④a ﹣b+c >0; ⑤4a+2b+c >0, 错误的个数有( )
9.(2013?滨州)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为x=1,点B 坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a ﹣2b+c <0;③ac >0;④当y <0时,x <﹣1或x >2. 其中正确的个数是( ) 10.(2013?邢台一模)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,则下列条件正确的是( ) 11.(2013?红桥区一模)如图所示,二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2,其中﹣2<x 1<﹣1,0<x 2<1,下列结论: ①abc >0;②4a ﹣2b+c <0;③2a ﹣b <0;④b 2 +8a >4ac . 其中正确的有( ) 12.(2013?百色)在反比例函数y=中,当x >0时,y 随x 的增大而增大,则二次函数y=mx 2 +mx . C D . 13.(2013?长安区模拟)二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,下列结论: ①a+b+c >0;②a ﹣b+c >0;③ abc=0;④2a ﹣b=0, 其中正确的有( ) 二.解答题(共2小题) 14.(2008?密云县一模)已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的一段图象如图所示. ( 1)确定a 、b 、c 的符号; (2)求a+b+c 的取值范围. 15.已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示, (1)判断a ,b ,c 及b 2 ﹣4ac ,a ﹣b+c 的符号; (2)求a+b+c 的值; (3)下列结论:①b <1,②b <2a ,③a >,④a+c <1, ⑤﹣a ﹣b+c <0.其中正确的有 _________ ,请说明理由.
初中数学有关二次函数的符号判断
有关二次函数的符号判断 前面,我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质,现在我们简单地回顾一下这些性质: 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y .其中=h , =k .其图象与函数2ax y =的图象的 相同,开口方向相同, 那么,我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系.上面讲过,对于抛物线来说: (1)a 决定抛物线的开口方向:?>0a ;?<0a . (2)C 决定抛物线与y 轴交点的位置: 0>c ?抛物线交y 轴于 ; 0
二次函数中的符号问题
课题:二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置;由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学:抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题: (1)a的符号:由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0;开口向下 a<0 (2)C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ;交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 (3)b的符号:由对称轴的位置确定:简记为:左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号;对称轴在y轴右侧 a、b异号;对称轴是y轴b=0 (4)b 2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0;与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ;与x轴无交点 b 2-4ac<0; (5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题: (1)由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置; (2)由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号; 二、(探究活动)典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在() .
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2+bx +c 的图象,点P (a +b ,bc )是坐标平面内的点,则点P 在( )A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,则ac 0.(填“>”、“<”或“=”=)。 (小组交流自学成果并展示) 【活动二】 已知:二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示,下列结论中:①b >0; ②c<0;③4a+2b+c > 0;④(a+c) 2<b 2,其中正确的个数是 ( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.(2008甘肃兰州)已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:① abc >0;② b <a +c ;③4a +2b+c >0;④b 2-4a c >0;其中正确的结论有( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 2.(2009丽水市)已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a >0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是( )A .3 B .2 C .1 D .0 O
二次函数中的符号问题专题复习
二次函数中的符号问题专题复习
挑战中考中考链接: 1.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点M (,a)在( D ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知:一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c,它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的(C) (A) (B) (C) (D) 3、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论 中: ①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0, 正确的个数是(C) A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论 中: ①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0;④(a+c)2<b2, 其中正确的个数是(B)A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考: 1.(2012年)如图1,在平面直角坐标系中,有两条位置确 定的抛物线,它们的对称轴相同, 则下列关系不正确的是( A ) A.k=n B.h=m C.k <n D.h<0,k<0 2.(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 4所示,下列说法错误 ..的是( D ) (A)图象关于直线x=1对称 (B)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4 (C)-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 (D)当x<1时,y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3,已知二次函数y =x x2 2+ -,当1 - 二次函数:图象位置与a ,b ,c ,△的符号 (1)a 决定抛物线的开口方向:?>0a ;?<0a . (2)C 决定抛物线与y 轴交点的位置, 0>c ?抛物线交y 轴于 ; 0 1.若抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上,则直线3+=ax y 经过 象限. 2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A 、0,0,0<> 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象可能是( ) 2、抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能..是( )A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: 0ac >①;②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0;y ③随x 的增 大而增大;④0a b c -+<,其中正确的个数()A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示,若点A (1,y 1)、B (2,y 2)是它图象上的两点,则y 1与y 2的大小关系是( )A .21y y < B .21y y = C .21y y > D .不能确定 5、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a >0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为( ) x y O 1 B . C . D . 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 专题2:二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关: (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定,当开口向上时,则 ; 当开口向下时,则; 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(),若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧,则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线,若对称轴在y轴右侧,则a、b符号 若对称轴是y轴,则 与x轴有两个交点,则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定,与x轴有一个交点,则 与x轴无交点,则 (二)抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题: 点在x轴上方,则a+b+c 。 1.a+b+c的符号:由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方,则a+b+c 。 点在x轴上,则a+b+c 。 点在x轴上方,则a-b+c 。 2.a-b+c的符号:由x= -1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方,则a-b+c 。 点在x轴上,则a-b+c 。 3.2a±b的符号:由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 (三)常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法:二次函数c + =2,若 x=m时,y<0,当x=n时,y>0,则,则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c (四)你还可以补充: 练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++,如图所示,若0a <,0c >,那么它的图象大致是 ( ) y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下, 则下列结论正确的是 ( ) A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a>0;②c>0;?③b 2-4ac>0,其中正确的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M (b ,c a )在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示,则( ) A 、0a >,240b ac -< B 、0a >,2 40b ac -> C 、0a <,240b ac -< D 、0a <,2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限,那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 二次函数abc组合的符号判断(一)(通用版) 单选题(本大题共7小题,共100分) 1.(本小题12分)如图,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,且图象经过点(3,0),则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论:①;②; ③;④b+2a=0;⑤.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论:①; ②;③;④.其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示,二次函数的图象中,王刚同学观察得出了下面四条结论:①;②;③;④.其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线 ,则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图,二次函数图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0).下列结论:①;②;③;④当时,.其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论:①; ②b+2a=0;③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);④;⑤.其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断(二)(通用版) 单选题(本大题共6小题,共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示,其对称轴为直线x=-1,且过点 (-3,0).下列说法:①;②2a-b=0;③;④若, 是抛物线上的两点,则.其中正确的是( ) 专题训练(二)二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系: 一、选择题 1.2016·宁波已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( ) A.当a=1时,函数图象过点(-1,1) B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点 C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小 D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大 2.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图2-ZT -1所示,则下列关系式错误的是( ) 图2-ZT -1 A .a <0 B .b >0 C .b 2 -4ac >0 D .a +b +c <0 3.以x 为自变量的二次函数y =x 2 -2(b -2)x +b 2 -1的图象不经过第三象限,则实数 b 的取值范围是( ) A .b ≥5 4 B .b ≥1或b ≤-1 C .b ≥2 D .1≤b ≤2 4.2017·威海已知二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象如图2-ZT -2所示,则正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y = a - b -c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2-ZT -2 图2-ZT -3 5.2017·安徽已知抛物线y =ax 2 +bx +c 与反比例函数y =b x 的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y =bx +ac 的图象可能是( ) 图2-ZT -4 6.2017·烟台二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象如图2-ZT -5所示,对称轴是直线x =1.下列结论:①ab <0;②b 2 >4ac ;③a +b +2c <0;④3a +c <0.其中正确的是( ) 图2-ZT -5 A .①④ B .②④ C .①②③ D .①②③④ 7.2017·鄂州如图2-ZT -6,抛物线y =ax 2 +bx +c 的图象交x 轴于点A (-2,0)和 二次函数的图象与a,b,c 的符号问题 【学习目标】 【课前自学】 22 2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ,顶点坐标是 ,说明当x = 时,y 有最 值是 ;对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 ; 把它转化为顶点式是: ,则顶点坐标是 . 【课堂学习】 一、自主探索: 1.观察c bx ax y ++=2 的图象,你能得到关于c b a 、、的哪些信息? 2.归纳: ⑴a 的符号由 决定: ①开口方向向 ? a 0;②开口方向向 ? a 0⑵b 的符号由 决定; ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ; ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ; ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定: ①点(0,c )在y 轴正半轴 ?c 0; ②点(0,c )在原点 ?c 0; ③点(0,c )在y 轴负半轴 ?c 0. ⑷ac b 42 -的符号由 决定: ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根; ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程有 实数根; ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0 ?方程 实数根; ④特别的,当抛物线与x 轴只有一个交点时,这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的,当x =1时,y = ,对应的点的坐标记为: ; 当x =-1时,y = ,对应的点的坐标记为: . 【课堂练习】 二次函数的图象与性质具体如下图所示: 【典型例题】 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列 4个结论中:①abc>0;②b0;④b 2-4ac>0 ⑤b=2a.正确的是 (填序号) 【拓展提升】 如图抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交与点(-3,0)、(1,0),与y 轴交与点(0,-3). 结合图象回答: ⑴当0>x 时,y 的取值范围是 ; 当0 二次函数系数符号的确定 活动一:复习引入: 1.复习用“>”“<”填空 ①,反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思:二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上,则a 开口方向向下,则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方,则c 0, 与x 轴交点在下方,则c 0, 练习: 活动三:b 的符号 1.对称轴:a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y 2.思考:a.b 同号,则对称轴在y 轴 侧;a.b 异号,则对称轴在y 轴 侧。 3.练习:快速说出b 的符号。(图略) 活动4: 1.看图填空 (1)a +b +c_______0(2)a -b +c_______0 (3)2a -b _______0(4)4a +2b +c_______0 2.练习: ②(稍难二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠0)的图象开口向上,图象经过点(-1,2) 和(1,0),且与y 轴负半轴交于一点,给出以下结论①abc <0;②2a +b >0;③a +c =1;④a >1.其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.(2009黄石)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图3所示,下列结论:①abc >0 ②2a+b <0 ③4a -2b+c <0 ④a+c >0,其中正确结论的个数为( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5:画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳:①开口方向 ②与y 轴交点,x 轴交点, ③顶点坐标 活动6.达标测评 1.二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2(岳阳2013).二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,对于下列结论:①a <0;②b <0;③c >0;④ b +2a =0;⑤a +b + c <0.其中正确的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y 一、选择题 1. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<. 其中,正确结论的个数是( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2. (2011 甘肃省兰州市) 如图所示的二次函数 2y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)2 40b ac ->;(2)1c >;(3)20a b -<;(4)0a b c ++<.你认为其中错误..的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 3. (2011 湖北省孝感市) 如图,二次函数 2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交, 其顶点坐标为112?? ??? ,,下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③2 44ac b a -=;④0a b c ++<.其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2012 山东省威海市) 已知二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论错误的是 ( ). (A )0abc > (B )32a b > (C )()m am b a b +-≤(m 为任意实数) (D )42 0a b c -+< 5. (2012 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,它与x 轴的 两个交点分别为 ()()1030.-,,,对于下列命题:①20b a -=;②0abc <;③240a b c -+<;④ 二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况,分为三个层次,首先根据函数图象确定a,b,c符号以及对称轴信息,其次是找特殊点的函数值,获取等式和不等式,最后在判断残缺型符号时,将等式代入不等式。过程中考查学生读图,数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题,共100分) 1.(本小题12分)如图,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,且图象经过点(3,0),则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论:① ;②; ③;④b+2a=0;⑤.其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论:①; ②;③;④.其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 4.(本小题16分)如图所示,二次函数的图象中,王刚同学观察 得出了下面四条结论:①;②;③;④.其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 资料 二次函数a 、b 、c 符号的确定 一.选择题(共13小题) 1.(2013?黔东南州)二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) 2.(2013?崇明县一模)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,那么a ,b ,c 的符号为( ) 3.(2014?兰州)二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下 列四个结论错误的是( ) D 5.(2014?沙湾区模拟)函数y=ax +bx+c (a ≠0)的图象如图,则下列说法错误的是( ) > 0 6.(2014?邢台一模)抛物线y=ax +bx+c 如图,考查下述结论:①b <0;②a ﹣b+c >0; ③b 2 >4ac ;④2a+b <0.正确的有( ) 7.(2014?兴化市一模)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过(﹣1,0)、(0,3), 下列结论中错误的是( ) 8.(2013?定西)已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中: ①2a ﹣b <0;②abc <0;③a+b+c <0;④a ﹣b+c >0; ⑤4a+2b+c >0, 错误的个数有( ) 9.(2013?滨州)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为x=1,点B 坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a ﹣2b+c <0;③ac >0;④当y <0时,x <﹣1或x >2. 其中正确的个数是( ) 10.(2013?邢台一模)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,则下列条件正确的是( ) 11.(2013?红桥区一模)如图所示,二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2,其中﹣2<x 1<﹣1,0<x 2<1,下列结论: ①abc >0;②4a ﹣2b+c <0;③2a ﹣b <0;④b 2 +8a >4ac . 其中正确的有( ) 12.(2013?百色)在反比例函数y=中,当x >0时,y 随x 的增大而增大,则二次函数y=mx 2 +mx B 13.(2013?长安区模拟)二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,下列结论: ①a+b+c >0;②a ﹣b+c >0;③abc=0; ④2a ﹣b=0, 其中正确的有( ) 二.解答题(共2小题) 14.(2008?密云县一模)已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的一段图象如图所示. (1)确定 a 、 b 、 c 的符号; (2)求a+b+c 的取值范围. 15.已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示, (1)判断a ,b ,c 及b 2 ﹣4ac ,a ﹣b+c 的符号; (2)求a+b+c 的值; (3)下列结论:①b <1,②b <2a ,③a >,④a+c <1, ⑤﹣a ﹣b+c <0.其中正确的有 _________ ,请说明理由.判定二次函数中的a,b,c
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