空间解析几何测试题.

1、将正确答案填在横线上：

1） 已知()2a b c ⨯⋅=，则()()()a b b c c a ⎡⎤+⨯+⋅+=⎣⎦4。

2） 直线35x y z ==与平面4122010x y z ++-=的位置关系为 相交 。

3） 点()2,1,0到平面3450x y z ++=

的距离为。

2、设2,3a i j k b i j k =-+=+-，试在,a b 所确定的平面内，求一个与a 垂直的单位向量。

解：设所求向量为{}2,3,a b λμλμλμλμ+=+-+-，则有

()

042303a a b λμλμλμλμμλ⋅+=⇒++-+-=⇒= ()()()

2222223161141λμλμλμλμλμ++-++-=⇒+-=

293193λλ=⇒=±

，93

μ=±

所求向量为,,-⎪⎪⎩⎭

或,,⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭

3、已知三角形的三个顶点为()()()1,2,3,1,1,1,0,0,5A B C -，试证ABC ∆为直角三角形，并求角B 。

解：{}{}{}2,1,2,1,2,2,1,1,4AB AC BC =--=-=--

2240AB AC AB AC ⋅=+-=⇒⊥，所以ABC ∆为直角三角形，

cos 243AB BC

B B AB B

C π⋅===⇒=⨯⋅ 4、试求通过点()2,3,4-，且与y 轴垂直相交的直线方程。

解：设所求直线与y 轴交点为()0,,0a ，则其方向向量为{}2,3,4a --，应为此向量y 轴垂直，所以3a =-，所求直线方程为

24243x z y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩

5、已知直线1210:320

x y L x z +-=⎧⎨

+-=⎩和2112:123x y z L -+-==，证明：12//L L ，并求12,L L

确定的平面方程。

解：1L 的方向向量为{}2101,2,3301

i j k =--，2L 得方向向量为{}1,2,3-，且点

()1,1,2-在2L 上但不在1L 上。所以12//L L 。

过点()1,1,2-垂直于已知直线的平面方程为2330x y z --+=，解方程组 2103202330x y x z x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩得此平面与1L 的交点为5413,,141414⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求平面法向量为 91815,,14

1414⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 所求平面方程为()()()911811520x y z --++-=。

6、指出下列曲面的名称，并作出图。

1）222

1x y z +-=

解：单叶双曲面（或旋转双曲面）

2）222x y z +=

解：锥面（以原点为顶点，以z 轴为对称轴）

3）221z x y =++

解：旋转抛物面（以()1,0,0为顶点，开口朝上）