2020 年-分类讨论与整合

分类讨论与整合思想方法

高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.

1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.

分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.

解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.

(2)当0a ≠时，函数()2

224433f x ax x a x a a ??=+-=+-- ???，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a -≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .

点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.

变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log n

n b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .

2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.

例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.

解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；

当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12??????

上单调递减，因此()max 142g x g ??== ???

，从而a ≥4； 当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x

-，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.

点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.

变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于

A ．

π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案

3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论

例3.已知数列}{n a 、Λ3,2,1,),(,1:}{121=?===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足

（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；

（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b n

n =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.

解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211

212112111,a a

a a a a a a a

b b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===??==?=?=-+++++++则

即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ?????????±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,

)1( ,2

2a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b n

n n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a Λ…是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,,Λ …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： Λ22,,,,,1aq q aq q a .当

2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.

注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.

点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.

变式练习3: 解关于x 的不等)(222

R a ax x ax ∈-≥-．

4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14

92

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求|

|||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.

解:由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =2

7. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF ，2||2=PF ，

故 2|

|||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .

5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.

分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.

解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b

∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,

x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.

令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .

① 当4，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和 为

)(x f 的单调减区间.

② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为

)(x f 的单调减区间.

点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.

变式练习5. 已知椭圆152

2=+m

y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3

B ．253或3

C ．5

D ．3155或15

6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等

例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？

解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分

类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；

（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含

有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +3

62313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.

变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共

有 种．

变式练习答案及专题总结:

1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即

,211,0132,032212131=

==+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -??≠∴==? ???Q 故

()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --???-≤???=?==-∴=??? ?->??????

?? ()()

()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()???

????>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π

=a ⑵当10<

值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=

a . 由⑴⑵知，答案

为C.

3. 解:原不等式可化为? 02)2(2≥--+x a ax ,

(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].

(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x a

x ， 当?????->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a Y ． 当?????-≤>120a

a ，此时a 不存在． ②0

a ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当?????-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当?????-=<120a

a ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1． 综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a Y ；当－2

,1[a

-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 2

55或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(2

22=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 55

522

2==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为

2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于2

55或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.

据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,2

2222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,3

25=m .

⑵当50<

2222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 3

25=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．

【命题预测】

分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。因此，分类讨论思想也仍然是高考命题的热点思想，在客观题中会有简单的体现，解答题中将有中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论。

【解题策略】

在高考中，应用分类讨论思想解题时要明确引起讨论的原因，归纳起来一般有：

（1）概念型：涉及的数学概念是分类讨论的，如绝对值、直线的斜率等；

（2）性质型：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n 项和

的公式、数列的前n 项和与通项的关系式；

（3）运算型：涉及的数学运算要求分类讨论，如除法中的除数、不等号的方向等；

（4）几何型：涉及的图形具有不确定性，如形状、位置等；

（5）含参型：求解的数学问题中含有参变量，如含参函数、方程、不等式等；

（6）化归型：有的数学问题较复杂或非常规，分类解决简捷，如排列、组合实际问题等； 运用分类讨论思想解题的基本步骤：

（1）明确讨论的对象和讨论的范围（全域）；

（2）确定统一的分类标准，进行合理的分类；

（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）；

（4）总结概括，得出结论；

简化分类讨论的常用策略：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。这是分类讨论思想应用的更高境界。