三角形中点常用辅助线添加方法

三角形中点常用辅助线添加方法

一.倍长中线法

例1.如图①，在△ABC 中，AB=10， AC=6, AD 是BC 边上的中线，求AD 的取值范围. 解:如图②，延长AD,使得ED=AD,连接BE

在△BDE 和△CDA 中:

BD=CD,∠BDE=∠CDA, ED=AD

∴△BDE ≌△CDA

∴BE=AC=6

∴AB -BE < KAE<

∴ 10-6

又 ∵AD=21AE ∴2

二.倍长类中线法

例2.如图①，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于点F.求证: AF=EF.

证明:如图②，延长DE 至点G ，使得DE=DG,连接CG

在△BDE 和△CDG 中:

BD=CD,∠BDE=∠CDG, DE=DG

∴ △BDE ≌△CDG (SAS)

∴∠BED=∠DGC, BE=CG

又∵ BE=AC

∴ AC=GC

∴∠EAC=∠DGC,

又∵∠BED=AEF

∴∠AEF= ∠FAE

∴AF=EF

例3:如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的角平分线，M 为BC 的中点，AD//ME. 求证: BE=CF=3 证明:延长FM 至点G,使得FM=MG,连接BG

在△BMG 和△CMF 中: BM=CM ，∠BMG=∠CMF, FM=GM

∴△BMG ≌△CMF(SAS)

∴∠G= ∠CFM ，BG=CF

又∵AD//EM,

∴∠BAD=∠E,∠DAF=∠EFA

又∵∠BAD=∠DAF,∴∠E=∠EFA ∴ AE=AF

又∵∠AFE=∠CFM ∴∠E=∠CFM ∴∠G=∠E

∴ BE=BG=CF,

∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE =2BE

∴BE=CF=

2

1(AB+AC)

三.直角三角形斜边上的中线

例4:如图，已知△ABC 中，BD 和CE 均为高线，点M 是BC 的中点，点N 是DE 的中点. 求证: MN ⊥DE.

证明:连接EM 、DM

∵点M 是BC 的中点

∴在Rt △BEC 中，EM=21 BC, 在Rt △BDC 中，DM=2

1 BC ∴ EM=DM,

又∵ EN=ND, ∴MN ⊥DE (三线合一 )

四.构造三角形中位线

例5:如图①，在四边形ABCD 中，E.F 分别是BC. AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA, CD 的延长线交于点M ，N,则∠BMF=∠CNE,求证: AB=CD.

证明:如图②.连接BD,取DB 的中点G,连接EG.FG.

∴点E 是BC 中点，

∵ EG 是△BCD 的中位线∴ EG//CD, EG=

2

1 CD, 同理，点F 是AD 的中点，∴FG// AB, FG=21AB, ∴∠BMF=∠GFE,∴∠CNE=∠GEF.

又∵∠BMF= ∠CNE,∴∠GFE=∠GEF.

∴ EG=FG. ∴ AB=CD.

例6:如图①，△ABC 中， 点F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，连接FE 并延长，交BA 的延长线于点G.若AB=DC=10,∠FEC=60° ,求EF 的长度

解:连接BD,取DB 的中点H ，连接EH, FH.

∵点E 是AD 的中点，H 是BD 的中点

∴ EH 是△ABD 的中位线 ∴ EH=

2

1 AB 同理FH 是△BCD 的中位线∴FH=21 CD 又∵ AB=CD, ∴ EH=FH ∴∠HEF=∠HFE

又∵ FH 是△BCD 的中位线

∴ FH// CD ∴∠HFE=∠FEC=60° ，

∴△EFH 是等边三角形. ∴EF=EH=

21 AB=2

1 X10=5

课后巩固练习15题

1.如图，四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E. F 分别是BD, AC 的中点，AC=8, BD=10， 求EF 的长.

2.如图，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且AB=CE,

求证:∠BAD= ∠CED.

3.如图，△ABC 中上，AC>AB,M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F. 求证: MF=21(AC -AB).

4.在梯形ABCD 中，AD//BC, AB=AD+BC, E 为CD 的中点，求证: AE ⊥BE.

5.如图，在△ABC 中，∠A=90°,D 是BC 的中点，DE ⊥DF.求证: BE 2 +CF 2 =EF 2.

6.如图，在正方形ABCD 中，F 是AB 的中点，连接CF,作DE ⊥CF 于点M ，交BC 于点E.求证: AM=AD.

7.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD, E.F 分别是BC. CD 的中点，BA. CD 的延长线分别交EF 的延长线于点G. H.求证:∠BGE= ∠CHE.

8.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，点C 在AB .上，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE,设M 为DE 的中点，连接MB, MC.求证: MB=MC.

9.如图，在△ABC 中，N 是AC 上的一点，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2 +CN 2 =DM 2 +DN 2.求证: AD 2=41(AB 2 +AC 2 )

10.如图，在△ABC 中，AB=AC=5, BC=6, M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N,求MN 的长度。

11如图， ABCD 中，对角线AC.BD 相交于点0,BD=2AD,E.F.G 分别是0C. OD. AB 的中点. 求证:(1)BE ⊥AC (2)EG=EF.

12.在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点0,AB=CD,E. F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF,分别交DC 、AB 于点M 、N,判断△0MN 的形状.

13.探索:(1).如图a 所示，BD.CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD, AE ⊥CE,垂足分别为D.E,连接DE,求证: DE// BC, DE=21 (AB+BC+AC) ; (2).如图b 所示，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变;

(3).如图c 所示，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变;研究:在图b 、图c 两种情况下，DE 与BC 还平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明。

14.在△ABC 中，AC>AB,D 点在AC 上，AB=CD,E 、F 分别是BC.AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G,若∠EFC=60°，连接GD, 判断△AGD 的形状并证明.

15.探索，拓展，推广题

探索问题1:如图1，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC,垂足分别为点E 、F, AE 、BF 交于点M ，连接DE 、DF.若DE=kDF,则k 的值为

拓展问题2:如图2, AABC 中，CB=CA,点D 是AB 边的中点，点M 在△ABC 的内部，且∠MAC=∠MBC,过点M 分别作ME I BC, MF ⊥AC,垂足分别为点E, F,连接DE,DF.求证: DE=DF.

推广问题3:如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA"变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.