全等三角形易错题(Word版 含答案)

全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1

2

BC，则△ABC的顶角的度数为

_____．

【答案】30°或150°或90°

【解析】

试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．

解：①BC为腰，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴∠ACD=30°，

如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，

如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，

②BC为底，如图3，

∵AD⊥BC于点D，AD=1

2 BC，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴∠BAD+∠CAD=1

2

×180°=90°，

∴顶角∠BAC=90°，

综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．

故答案为30°或150°或90°．

点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．

【答案】

5 4),0,

4

??

?

??

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．

【详解】

有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝

=

∴D（0）；

②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4，

∴P（0，4）；

③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，

由勾股定理得：OC＝AC，

∴OC＝5

4

，

∴C（0，5

4

）；

故答案为：

5 4),0,

4

??

?

??

．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

3．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将

△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．

【答案】363

【解析】

【分析】

分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；

【详解】

解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°

∵∠C＝45°

∴∠AME＝∠C

又∵∠AME＞∠C

∴这种情况不成立；

②若AE＝EM

∵∠B＝∠AEM＝45°

∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°

∴∠BAE＝∠MEC

在△ABE和△ECM中，

B

BAE CEN

AE EII

C

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABE≌△ECM（AAS），

∴CE＝AB＝6，

∵AC＝BC＝2AB＝23，

∴BE＝23﹣6；

③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝45°

∴AE平分∠BAC

∵AB＝AC，

∴BE＝1

2

BC＝3．

故答案为23﹣6或3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．4．如图，在ABC

?中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE AC

=．若70

C

∠=?，50

DAC

∠=?则EBD

∠的度数为______．

【答案】10?

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠=

∴BE BF =， 70DBF ?∠=

∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=

故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：

①AE=CF ；

②△EPF 是等腰直角三角形；

③EF=AB；

④

1

2ABC

AEPF

S S

?

=

四边形

，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).

【答案】①②④

【解析】

试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE=∠CPF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∴∠PAE=∠PCF，

在△APE与△CPF中，

{?

PAE PCF

AP CP

EPA FPC

∠=∠

=

∠=∠

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可证△APF≌△BPE，

∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=1

2

S△ABC，①②④正确；

而AP=

1

2

BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，

∴故③不成立．

故始终正确的是①②④．

故选D．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．

6．如图，在ABC

?中，AB AC

=，点D和点A在直线BC的同侧，

,82,38

BD BC BAC DBC

=∠=?∠=?，连接,

AD CD，则ADB

∠的度数为__________．

【答案】30°

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．

【详解】

解：∵AB AC =，82BAC ∠=?，∴180492

BAC ABC ?-∠∠==?， ∵38DBC ∠=?，∴493811ABD ∠=?-?=?，

作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，

∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，

∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，

又∵AB=AC ，EA=EA ，

∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =

1302

BEC ∠=?， ∴∠ADB =30°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作

点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．

7．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连

结DE ，若50C ∠=?，设 ABC x CDE y ∠=?∠=?,

，则y 关于x 的函数表达式为_____________．

【答案】80y x =-

【解析】

【分析】 根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．

【详解】

∵BD 是ABC ?的角平分线，AE BD ⊥

∴1122

ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=?，90AFB EFB ∠=∠=? ∴1902BAF BEF x ∠=∠=?-

? ∴AB BE =

∴AF EF =

∴AD ED =

∴DAF DEF ∠=∠

∵180BAC ABC C ∠=?-∠-∠，50C ∠=?

∴130BAC x ∠=?-?

∴130BED BAD x ∠=∠=?-?

∵CDE BED C ∠=∠-∠

∴1305080y x x ?=-?-?=?-?

∴80y x =-，

故答案为：80y x =-．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．

8．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 2＝4，则△A n B n A n +1的

边长为_____．

【答案】2n．

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．

【详解】

解：∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1＝A2B1，

∵∠MON＝30°，

∵OA2＝4，

∴OA1＝A1B1＝2，

∴A2B1＝2，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，

∴A3B3＝4B1A2＝8，

A4B4＝8B1A2＝16，

A5B5＝16B1A2＝32，

以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．

故答案为：2n．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到

OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．

9．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分

线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=4

3

，则DH=______．

【答案】

2

3

【解析】

连接AF.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.

∵DE=DC，∠EDC=30°，

∴∠DEC=∠DCE=75°，

∴∠ACF=75°-60°=15°.

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

在△ABF和△CBF中，

AB BC

ABF CBF

BF BF

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF，

∴∠FAC=∠ACF=15°，

∴∠AFH=15°+15°=30°.

∵AH⊥CD，

∴AH=

1

2

AF=

1

2

CF=

2

3

.

∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，

∴∠BDE=75°-60°=15°，

∴∠ADH=15°+30°=45°，

∴∠DAH=∠ADH=45°，

∴DH=AH=

2

3

.

故答案为

2

3

.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.

10．如图：在ABC ?中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=?，则DCE ∠的大小为______.

【答案】036

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.

【详解】

∵∠ACB=1080，

∴∠A+∠B=1800-1080=720,

∵AC=AE,BC=BD,

∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,

∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902

A =-∠ 01(180)2BDC

B ∠=

-∠ =01902

B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，

∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠

= 00011180(90)(90)22A B --

∠--∠ =1122

A B ∠+∠ =1()2

A B ∠+∠ =360

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，平面直角坐标系中存在点A （3，2），点B （1,0），以线段AB 为边作等腰三角形ABP ，使得点P 在坐标轴上.则这样的P 点有（ ）

A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．7个

【答案】D

【解析】

【分析】 本题是开放性试题，由题意知A 、B 是定点，P 是动点，所以要分情况讨论：以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．

【详解】

由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；

以AP 、BP 为腰的三角形有2个；

以BP 、AB 为腰的三角形有2个．

所以，这样的点P 共有7个.

故选D ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．

12．已知40MON ∠=?，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ?的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )

A ．40?

B ．50?

C ．100?

D ．140?

【答案】C

【解析】

【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ?周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．

【详解】

分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ?周长的最小值等于P P '''．

由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，

224080P OP MON ∴∠'''=∠=??=?，

(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=?-?÷=?，

又50BPO OP B ∠=∠''=?，50APO AP O ∠=∠'=?，

100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=?．

故选：C ．

【点睛】

此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.

13．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】C

【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，

14．如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG ＝2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG ＝∠ACB ；④∠CFB ＝135°，其中正确的结论有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】

【分析】

由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB ，∠BAG=2∠ABF ．所以可知选项①③④正确．

【详解】

∵AB ⊥AC ．

∴∠BAC ＝90°，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB ＝180°，

∴∠ABC+∠ACB ＝90°

∵CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，

∴2∠FBC+2∠FCB ＝90°

∴∠FBC+∠FCB ＝45°

∴∠BFC ＝135°故④正确．

∵AG ∥BC ，

∴∠BAG ＝∠ABC

∵∠ABC ＝2∠ABF

∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确．

∵AB ⊥AC ，

∴∠ABC+∠ACB ＝90°，

∵AG ⊥BG ，

∴∠ABG+∠GAB ＝90°

∵∠BAG ＝∠ABC ，

∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确．

故选C ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

15．在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）

A ．6cm

B ．7cm

C ．8cm

D ．9cm

【答案】A

【分析】

根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得

ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ?∠=，得

30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．

【详解】

∵CE 垂直平分AD

∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠

∵CD 平分BCE ∠

∴BCD ECD ∠=∠

∴30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=

∴60A ?∠=

∴30B BCD ?∠==∠

∴6CD BD AC cm ===

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．

16．在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，以ABC ?的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ?的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）

A ．9个

B ．7个

C ．6个

D ．5个

【答案】B

【解析】

【分析】

先以Rt ABC ?三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．

【详解】

解：①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则?BCD就是等腰三角形；

②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则?ACE就是等腰三角形；

③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于M，交AC于点F，则?BCM、

?BCF是等腰三角形；④如图4，作AC的垂直平分线交AB于点H，则?ACH就是等腰三角形；⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于点G，则?AGB就是等腰三角形；⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于I，则?BCI就是等腰三角形．

故选：B．

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．

17．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；

②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到

∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．

【详解】

解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，

∴∠ACD=∠BCE ，

在△ACD 和△BCE 中

AC BC ACD BCE CD CE ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），

∴AD=BE ；故①正确；

②设CD 与BE 交于F ，

∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠ADC=∠BEC ，

∵∠CFE=∠DFO ，

∴∠DOE=∠DCE=α，

∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；

③∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC

又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，

∴AM=

12AD ，BN=12

BE ， ∴AM=BN ，

在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），

∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，

又∠ACB=α，

∴∠ACM+∠MCB=α，

∴∠BCN+∠MCB=α，

∴∠MCN=α，

∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，

∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，

∴△CGE ≌△CHD （AAS ），

∴CH=CG ，

∴OC 平分∠AOE ，故④正确，

故选：B ．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．

18．如图，等腰ABC ?中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：

①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ?是等边三角形；

④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；

③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；

④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.

【详解】

连接OB ，

∵AB AC =，AD ⊥BC ，

∴AD 是BC 垂直平分线，

∴OB OC OP ==，

∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，

∵AB=AC ，∠BAC =120°

∴30ABC ACB ∠=∠=?

∴30ABO DBO ∠+∠=?，

∴30APO DCO ∠+∠=．

故①②正确；

∵OBP ?中，180BOP OPB OBP ∠=?-∠-∠，

BOC ?中，180BOC OBC OCB ∠=?-∠-∠，

∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=?-∠-∠=∠+∠+∠+∠，

∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，

∴260POC ABD ∠=∠=?，

∵PO OC ，

∴OPC ?是等边三角形，

故③正确；

在AB 上找到Q 点使得

AQ=OA ，

则AOQ ?为等边三角形，

则120BQO PAO ∠=∠=?，

在BQO ?和PAO ?中，

BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠??∠∠???

＝＝＝

∴BQO PAO AAS ??≌（），

∴PA BQ =，

∵AB BQ AQ =+，

∴AB AO AP =+，故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证

BQO PAO ??≌是解题的关键．

19．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】 首先证明△AEC ≌△GEC （SAS ），推出CA =CG ，∠A =∠CGE =45°，推出DE =DG ，故②正确；再证明△EDC ≌△GDB ，推出∠CED =∠BGD ，ED =GD ，由三角形外角的性质得出∠HDG =∠HDE ，进而得出∠GDH =∠EDH =45°，即可判断①正确；

通过证明△EDC 和△EMD 是等腰直角三角形，得到ED 2MD ，再通过证明

△EFC ≌△EDC ，得到EF =ED ，从而可判断③错误；由CG =CD +DG ，CD =AD ，ED =GD ，变形即可判断④正确．

【详解】

∵AC =BC ，∠ACB =90°，AD =DB ，

∴CD ⊥AB ，CD =AD =DB ，∠A =∠CBD =45°．

∵EH 平分∠AEG ，

∴∠AEH =∠GEH ．

∵∠AEH +∠AEC =180°，∠GEH +∠CEG =180°，

∴∠AEC =∠CEG ．