2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第六节对数与对数函数 理
第六节 对数与对数函数
知识梳理 一、对数
1．对数的定义：如果a b
＝N (a >0且a ≠1)，那么幂指数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫做底数，N 叫做真数．
2．指数式与对数式的互化： a b
＝N ?log a N ＝b . 3．对数的运算法则．
如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
(2)log a M N ＝log a M －log a N ；
(3)log a M n
＝n log a M .
4．对数换底公式及对数恒等式．
(以下各式中a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，c >0，c ≠1，M >0，N >0)
(1)对数恒等式：①a log aN ＝N ；②log a a n
＝n .
(2)换底公式：log a N ＝log b N
log b a
.
(3)由换底公式可推出如下结论：
①log a b ＝1log b a
； ②log a M ＝log an M n
；
③log a b ·log b a ＝1； ④log a b ·log b c ·log c a ＝1； ⑤log am b n
＝n m
log a b .
5．常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用对数，log 10x 记作lg x ；以无理数e 为底的对数叫做自然对数，log e x 记作ln x ，其中e ＝2.718….
二、对数函数的定义、图象与性质
1．定义：形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．其中x 是自变量，其定义
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是重要的函数模型．
4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1)．
域是(0，＋∞)，值域是(－∞，＋∞)．
基础自测
1．已知函数f (x )＝lg|x |，x ∈R 且x ≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 C ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递减
解析：∵x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，∴函数为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 为增函数．故选B.
答案：B
2．(2013·汕尾二模)函数y ＝x ＋1
（x －1）
的定义域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)∪(2，＋∞)
C ．[0,1)
D ．(0，＋∞)
解析：由题意知????
? x ≥0，x －1＞0，
lg (x －1)≠0，
即????
?
x ≥0，x ＞1，x ≠2.
∴1＜x ＜2或x ＞2，∴所以原函数的定
义域为： (1,2)∪(2，＋∞)．故选B.
答案：B
3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )>0的x 的取值范围是____________．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
4．若x log 32＝1，则4x
＋4－x
＝________.
解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－
x ＝4log 23＋4－log 23＝9＋19＝829
.
答案：829
1．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －
12，则( ) A ．x 解析：x ＝ln π>1，y ＝log 52＝1log 25<12，z ＝e －12＝1e ，12<1 e ＜1，∴y 2．(2013·上海卷)方程33x －1＋13 ＝3x －1 的实数解________． 解析：原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0?3x ＝4?x ＝log 34. 答案：log 34 1．(2013·佛山一模)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ? ?? ??f ? ????14的值等于________． 解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∵当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，∴f ????14＝log 2 1 4 ＝－2， 则f ????f ????14 ＝f (－2)＝－f (2)＝－1. 答案：－1 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程(含不等式)的解法;数学思想方法的运用． 难点：幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质. 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=??② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ?④ 1 n a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=(0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 (1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ? ? ④ 1 log log a a M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N =??② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = (换底公式)? ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求: 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 233 2 lg lg lg = =?=?=. 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数 x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=(10< 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 0 1 3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ． 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 指数函数与对数函数经典讲义 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程（含不等式）的解法;数学思想方法的运用． 难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质． 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=? ② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ④ 1 n n a a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=（0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 （1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ④ 1 log log n a a M M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N = ② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = （换底公式） ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求： 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 2332 lg lg lg ==?=?=． 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 指数函数 对数函数 一般形式 x y a = （0a >且1a ≠） log a y x = （0a >且1a ≠） 定义域 (),-∞+∞ ()0,+∞ 值域 ()0,+∞ (),-∞+∞ 图像 性质 （1）0y > （1）0x > （2）图像经过()0,1点 （2）图像经过()1,0点 指数函数 对数函数 性质 1a > 01a << 1a > 01a << 当0x >时， 1y > 当0x <时， 01y << 当1x >时， 0y > 当01x <<时， 0y < 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=（10< 01a << O x y 1 1a > 01 a << 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0当0 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 对数函数 知识讲解 一、对数函数的图像与性质 ①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下 ②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数． 1a > 01a << 图 象 1 o y x 1 o y x 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当1=x 时，0=y )1,0(∈x 时 0 二、对数函数与指数函数的关系 关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型： ()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=（定义法） ()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =?= （取对数法） 三、对数函数有关的性质 （1）x y a =与log a y x =；2 x x a a y --= 与(l g ()a y o x x R =∈；11x x a y a -=+与 1log 1a x y x +=- 关于y x =对称， （2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +?? += ?+?? （3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点． 2011届高考数学专题复习 专题2——指数函数、对数函数、幂函数（理科） 1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。 [考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。 2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，， ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=， C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，B 不满足其中任何一个等式。 [考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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