广西大学自动控制原理习题答案(本科)第4章

习题参考答案

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为2

()(0.21)K G s s s =+试求：

⑴使系统增益裕度为10的K 值；⑵使系统相角裕度为30?的K 值。

解:系统开环频率特性为2

)(+=ωωωK

i G (1)求10=m g 的K 值：

令180ω为相角交越频率，有180arctan 0.245ω=?，5180=ω由

10

)

04.01(|)(|1

2180180180=+==K

i G g m ωωω可解得K=1。

(2)求30m ?=?的K 值：

由定义180()180(902arctan 0.2)30m c c G i ?ωω=?+∠=?+-?-=?

?

=302.0arctan c ω求得系统幅值交越频率

c ω=由

1

)

04.01(|)(|2

=+=

c c c K

i G ωωω85

.3)04.01(2

=+=c c K ωω

注意：涉及相角的计算时，可以

（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。

（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。

4-2试由幅相频率计算式

()90arg tan arg tan arg tan103

(5)2

G i G i ω

ωωω∠=-?-+-=确定最小相位系统的传递函数。

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为

(/31)()(1)(101)

K s G s s s s +=

++由幅频计算式

(5)2

G i =

有

2

=

求得10/3K ω==，所求最小相位系统的传递函数为

1312(/31)()(1)(101)

s G s s s s +=

++4-3已知单位反馈系统开环传递函数

)

2)(5.1)(1()(+++=

s s s K

s G 若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist 判据确定增益K 的最大值。

解：令1u s =+，则“u 平面所有极点均处于负平面”等价于“s 平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

)

1)(5.0()(++=

u u u K

u G 可见)(u G 并无右半平面的开环极点，所以)(u G 的Nyquist 轨线不能包围)0,1(i -点。只要满足：)(u G 轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令)(u G 的相频为180-?，得到

()90arctan 2arctan 180c c c u u u G i ωωω∠=-?--=-?

arctan 2arctan 90c c u u ωω+=?2

2arctan

tan9012c c

c

u u ω

ωωω+=?

-0212

=-c

u ω求得)(u G

的相角交越频率

c

u ω=

()1

c u G ω=

=max 34

K =

即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K 的最大值为

3/4。

注意：作变量替换时，尝试选一些点验证一下。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。（1）试求系统稳态误差ss e ；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值A e ss 4.0≤，试选择K 值。

解：(1)求系统稳态误差ss e ，系统开环传递函数为2

)(+=s K

s G ，闭环系统的误差传递函数为

12

Φ()1()2e s s G s s K

+=

=

+++其幅值与相位为

2

22

4Φ()(2)e i K ωωω+=

++Φ()arctan 0.5arctan

2e i K

ωωω∠=-+因输入t A t r ωsin )(=，系统的稳态误差为

222

Φ()sin(Φ())

4arctan 0.5arctan )(2)2ss e e e A i t i A t K K

ωωωωω

ωωω=+∠+=+-+++(2)因1=ω，令

1

2

22

40.4

(2)K ωω=+=++有

25.2642=-+K K 解得

123.57.5K K ==-，(舍去).

故满足题意要求的K 值范围为

5

.3≥K 4-5已知系统

(1)()(1)

k k

v

j

j

K s G s s

T s τ+=

+∏∏型次0ν≥（含有ν个积分环节），Nyquist 曲线起始于实轴（0=ω），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：当开环增益0>K 时，起始点位于正实轴；当开环增益0

4-6设系统的开环传递函数为

12234(1)

()(1)(1)(1)

K T s G s s T s T s T s +=

+++其中1234>0K T T T T ，，，，。

（1）已知2341T T T T ++>，试概略绘制该系统的Nyquist 图。（2）若2341T T T T ++<，请概略绘制该系统的Nyquist 图。解：（1）180(0)i G i e

+

-?

=∞，而且对于小正数ε，有

2341()180()180G i T T T T εε∠≈-?-++-<-?360()0i G i e -?∞=，概略绘制的Nyquist

图如下

（2）180(0)i G i e

+

-?

=∞，而且对于小正数ε，有

2341()180()180G i T T T T εε∠≈-?-++->-?360()0i G i e -?∞=，概略绘制的Nyquist 图如下

注意：一般情况下Nyquist 图的起点总是在正实轴。

4-7设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist 稳定性判据判定闭环系统的稳定性。

开环系统稳定开环系统稳定开环系统有2个RHP 极点

解：（1）P =0，n w =2，N =P +n w =2，闭环系统不稳定，有2个RHP 极点。

（2）P =0，n w =1，故N =P +n w =1，闭环系统不稳定，有1个RHP 极点。

（3）P =2，n w =-2，故N =P +n w =0，闭环系统稳定。4-8已知系统开环传递函数

()(1)

K

L s s Ts =

+

把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist图，据此判定闭环系统的稳定性。

解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。

Nyquist路径L(s)的Nyquist图

w n=-1（逆时针），P=1，N=0，闭环系统稳定。

4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。

（1）试求取系统的开环传递函数；

（2）要求系统具有30 的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。

解:(1)由图可得出系统开环传递函数的基本形式为

()K

G s =

++将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即

20log (0.1)20log 40

0.1

K

G i ==求得K =10，所求系统开环传递函数为

10

()G s =

++(2)由相角裕度的定义

18090arctan10arctan 0.130m c c ?ωω=?-?--=?

导出

2

10.1arctan

601c

c ωω=?

-210.10

c c ω+=解出

17

.0=c ω由交越频率的定义有

1

1

017.017.117.0|)(|2

2

=++=

K

i G c ω解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。

4-10已知系统的开环传递函数为

22

400(25159)

()3(0.2)(12)(50)

s s G s s s s s ++=+++（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode 图；（2）由Bode 图判断闭环系统的稳定性；（3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；

（4）由MATTAB 作Bode 图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。

解：（1）首先将()G s 化为尾1标准形式

22

400(25159)

()3(0.2)(12)(50)

s s G s s s s s ++=+++=

()()

2

210(5/3)5/31(51)/121/501s s s s s s ??++??

+++知该系统为典型Ⅱ型系统，各环节转折频率为0.2、0.6、12、50rad/s ，20lg K =20lg10=20，过ω=1，|G (iω)|dB =20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图

所示。

（2）P =0，2()2(11)0n w c c -

+

=-=-=故N =P+n w =0，闭环

系统稳定。

（3）由2

240025|()|31250

c c c c G i ωωωω?≈???=1，解得c ω≈5.56，

1802

15180()180arctan 180925 arctan 5arctan

arcta n 54.621250

c

m c c c c G i ω?ωωωω

ω=?+∠=?+-?----=?（4）MATTAB 程序校验

>>num=400/3*[25159];

den=conv([10.200],[162600]);bode(num,den);grid on

M a g n i t u d e (d B )

10

10

10

10

10

10

10

P h a s e (d e g )

Frequency (rad/sec)

>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)

Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533

交越频率为5.05rad/s ，相角裕度为56.8?，这与近似计算值非常接近。

4-11已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，（1）试确定各系统的开环传递函数；（2）求相角裕度；

（3）概略画出对应的相频特性曲线；（4）分析闭环系统的稳定性。

解：I.针对(a)图：

(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为

2(0.51)

()(0.11)(0.051)

K s G s s s s +=

++1

20lg +40lg

600.1

K =即20lg K =20，解得K =10。

该系统的开环传递函数为

10(0.51)s +++(2)c 2

20=40lg

+20lg 12

ω即20=20lg(2c ω)，解得c ω=5，由此180arctan 0.5180arctan 0.1arctan 0.0527.60m c c c

?ωωω=?+-?--=?

(3)()arctan 0.5180arctan 0.1arctan 0.05G i ωωωω

∠=-?-

-(4)P =0，2()2(00)0n w c c -

+

=-=-=，故N =P +n w =0，闭环

系统稳定。

II.针对(b)图：

(1)设未知转折频率从左至右依次为111/T ω=、221/T ω=、

331/T ω=、441/T ω=，则其开环传递函数形式为

)

1)(1)(1)(1()

110()(4321+++++=

s T s T s T s T s K s G 20lg 20K =，解得K =10；

1

20lg 40200.1ω=-，解得1ω=11T =1；4

10060lg 5ω=，解得4ω=82.54，4T =0.0121

4

3

40lg

155ωω=-，解得3ω=46.42，3T =0.0215

3

2

20lg

4015ωω=-解得2ω=2.612T =0.383

该系统的开环传递函数为

10(101)

()(1)(0.3831)(0.02151)(0.01211)

s G s s s s s +=

++++(2)c ω=100，由此

?

-=----+?=240121.0arctan 0215.0arctan 383.0arctan arctan 10arctan 180c c c c c m ωωωωω?(3)

()arctan10arctan arctan 0.383arctan 0.0215arctan 0.0121G i ωωωωωω

∠=--

--

(4)P =0，2()2(10)2n w c c -

+

=-=-=故N =P +n w =2，闭环系统

不稳定，有2个RHP 极点。

4-12针对正反馈系统，Nyquist 给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist 稳定性定理。

正反馈系统的Nyquist 图，临界点为1

答：若开环传递函数()L s 的RHP 极点数为P ,则闭环系统稳定的充分必要条件是L (s )的Nyquist 图{L (iω)，ω=?∞→∞}顺时针环绕临界点L =1的圈数为P 。

4-13设系统的开环传递函数为26(35)

()(3)(1)

s s G s s s -+=+-，求交越频

率c ω和相角交越频率180ω，并用MATLAB 程序进行校核，你得到什么结论。

解：（1）起点：180(0)1010i G i e

+

-?

=-=（2）终点：0()66i G i e

?

∞==（3）26(35)()(3)(1)i G i i i ωωωωω--+=+-=

22226[(5)3][(3)2][(3)2][(3)2]

i i i i ωωωωωωωω-------+---=

422222

6[(815)(51)](3)4i ωωωωωω--+-++与实轴的交点：令虚部为0即251ω-=0解得2ω=0.2，

c ω=0.447，此时()G i ω=-9。

与虚轴的交点：令实部为0即42815ωω--=0解得2ω=9.57

180ω=3.09，此时()G i ω=4.43。

使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但ω相差较大。原因是ω变化范围为-∞~+∞。若指定频率范围，采用命令nyquist(sys,w)，w={wmin,wmax}，可使之与理论计算值吻合。

>>num=[6-1830];den=[12-3];sys=tf(num,den);w={0.1,100};nyquist(sys,w)>>margin(sys)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10

10

10

10

P h a s e (d e g )

M a g n i t u d e (d B )

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s