高考数学周周练 2

高考数学周周练 2

【题目1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．

解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，

∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝1

2， 则cos A ＝－1

2. 又A ∈(0，π)， 所以A ＝2

3π.

(2)S △ABC ＝1

2bc sin A ＝3，∴bc ＝4，

又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， ∴(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.

星期二(数列) ____年____月____日

【题目2】 (开放题)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1，且S k ＋1

若S k>S k＋1，则只需S k>S k＋a k＋1，

即a k＋1<0，同理，若S k＋1

则只需S k＋10.

若选①：b1＋b3＝a2时，a2＝－1－9＝－10，

∴a n＝3n－16.

当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1

∴{a n}为递减数列，故不存在a k＋1<0，a k＋2>0，

即不存在k，使得S k>S k＋1，且S k＋1

若选③：S5＝－25，S5＝5（a1＋a5）

2

＝5a3＝－25，

∴a3＝－5.∴a n＝2n－11.

当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1

星期三(立体几何)____年____月____日

【题目3】如图，在三棱柱ABC－DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED 内的射影为O，G为CF的中点．

(1)求证：平面ABED⊥平面GED；

(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A－CE－B的余弦值．

(1)证明取DE中点M，连接OM，GM，在△BDE中，OM∥BE，

OM＝1

2BE.

又因为G为CF中点，

所以CG∥BE，

CG＝1

2BE.

∴CG∥OM，CG＝OM.

∴四边形OMGC为平行四边形．

∴GM∥CO.

因为C在平面ABED内的射影为O.

所以CO⊥平面ABED.

所以GM⊥平面ABED，

又因为GM⊂平面DEG，

所以平面ABED⊥平面GED.

(2)解∵CO⊥平面ABED，

∴CO⊥AO，CO⊥OB.

又∵AB＝BE，∴四边形ABED为菱形，∴OB⊥AO，

以O为坐标原点，OA→，OB→，OC→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

于是A(3，0，0)，B(0，1，0)，

E (－3，0，0)，C (0，0，3)，

向量BE

→＝(－3，－1，0)，向量BC →＝(0，－1，3)， 设平面BCE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ⎩⎨⎧m ·BE →＝0，m ·

BC →

＝0，即⎩⎪⎨⎪

⎧－3x 1－y 1＝0，－y 1＋3z 1＝0. 不妨令z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝－1，取m ＝(－1，3，1)． 又n ＝(0，1，0)为平面ACE 的一个法向量． 设二面角A －CE －B 大小为θ，显然θ为锐角， 于是cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝35＝

15

5， 故二面角A －CE －B 的余弦值为15

5.

星期四(概率与统计) ____年____月____日

【题目4】 某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：

(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；

(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X 的分布列和数学期望． 解 (1)由统计表知，a ＝2550＝0.5，b ＝15

50＝0.3.

依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p ＝0.5， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨，而Y ～B (5，0.5)，

所以P (Y ＝2)＝C 25×0.52×(1－0.5)3

＝0.312 5.

(2)X 的可能取值为4，5，6，7，8，

P (X ＝4)＝0.22＝0.04，P (X ＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2， P (X ＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37， P (X ＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3， P (X ＝8)＝0.32＝0.09， 所以X 的分布列为：

X 的数学期望E (X )＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)．

星期五(解析几何) ____年____月____日

【题目5】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值． 解 (1)由题意，得2b ＝42，∴b ＝22， 又c a ＝1

3且a 2－c 2＝b 2＝8， ∴a ＝3，c ＝1.

∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2

8＝1. (2)由(1)，可知A (－3，0)， B (3，0)，F 1(－1，0)，

据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．