教案实际问题与二次函数(面积问题)

§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）

教学任务分析

教学流程安排

教学过程设计

[活动3] 总结反思检测反馈

板书设计

§26.3.2实际问题与二次函数（自由落体问题）

教学任务分析

教学流程安排

教学过程设计

当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应

分析如图，以AB

轴，以过点O的y

立了直角坐标系．这时，拱桥所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是

板书设计

教学反思

二次函数中常见图形的的面积问题

二次函数中常见图形的的面积问题说出如何表示各图中阴影部分的面积？如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h”。三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 x y O M E N A 图 O x y D C 图 x y O D C E B 图六 P x y O A B D 图 E x y O A B 图 x y O A B 图

抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ，（1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B 。（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △ PAB ＝S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为在双曲线3 y x =上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由. A x y O B C 变式二图

二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

用二次函数解决问题优秀教案

用二次函数解决问题【教学目标】 1．会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值； 2．能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题。【教学重点】运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。【教学难点】如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题。【教学过程】一、温习旧知：二次函数图像与性质二、示标导学：

三、反馈练习：四、拓展练习 (2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）。（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润。【作业布置】 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2． 3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间。市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．（2014?武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90 售价（元/件）x+4090

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ．〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1

二次函数的应用——面积最大问题

《二次函数的应用——何时围得面积最大？》说课稿【教材分析】二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，也为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。【课时安排】教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。【学情及学法分析】对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课

标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。【教学目标】 1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。 3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：正确构建数学模型三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：

22.3实际问题与二次函数(1)教案

22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标： 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1) 因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2 ＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a ＝－0.2 因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。二、引申拓展问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A 和点B (－.与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P .使△CMP 为等腰三角形若存在.请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在.请说明理由． (3) 如图②.若点E 为第二象限抛物线上一动点.连接BE 、CE .求四边形BOCE 面积的最大值.并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时.以C 为圆心CM 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M 为顶点时.以M 为圆心MC 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P 为顶点时.线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二.先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为在线段记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值；若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。二次函数最大面积交AB D B E 能力提高例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题(动点)

九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）教学目标: 1.知识与技能：将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 2.过程与方法：通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 3.情感态度：感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 教学重点：利用二次函数解决有关拱桥问题. 教学难点：建立二次函数的数学模型. 教学过程：一、问题导入问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+. （2）P =()()()2 2402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =． ∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

人教版第2套人教初中数学九上 22.3 实际问题与二次函数教案

22.3 实际问题与二次函数教学目标知识和能力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。过程和方法让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。情感态度价值观教学重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式教学准备教师多媒体课件学生“五个一” 课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高 AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB 2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

人教版初三数学上册二次函数与动点问题

（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t 由图可知，PF//CE,所以PF CE = PB BC ，即PF 4 = t 5 , PF= 4 5 t, 所以S=1 2 QB?PF= 1 2 ? 4 5 t（8-t）=- 2 5 t2+ 16 5 t =-2 5 （t-4)2+ 32 5 故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5 . （1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=1 2 BQ, 由PF//CE可得，BF BE = BP BC ,即 BF 3 = t 5 ，BF= 3 5 t, 所以3 5 t= 1 2 （8-t），t= 40 11 . 当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.

当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12 t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC ,即，12t 3=8-t 4，t=245 .所以，当t=4011或4或245 时，ΔPQB 为等腰三角形. （2）1.当 EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积， ∴y=12x 2. 2.当2

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

二次函数面积最大问题

二次函数面积最大问题： 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）求三角形CBM的最大值 2、如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P的坐标； ②设点Q是抛物线上一点，位于线段AC的下方，作QD⊥x轴交抛物线于点D，交AC于点P,求线段QP长度的最大值．（3）求S△ACQ的最大值，

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 4、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

5、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第一课时教案

22.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（1） ※教学目标※ 【知识与技能】 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值. 【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究||，让学生经历数学建模的基本过程||，体会建立数学模型的思想. 【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型||，感受数学的应用价值||，增强数学的应用意识. 【教学重点】通过解决问题||，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题. 【教学难点】分析现实问题中数量关系||，从中构建出二次函数模型||，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※ 一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球||，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时||，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习||，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地||，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时||，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式||，再求出使S 最大的l 值. 矩形场地的周长是60m||，一边长为l m||，则另一边长为 ||，场地的面积S= .化简得S= .当l= 时||，S 有最大值 . 探究2 某商品现在的售价为每件60元||，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格||，每涨价1元||，每星期要少卖出10件；每降价1元||，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元||，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元||，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时||，每星期少卖10x 件||，实际卖出()30010x -件||，销售额为()60x +· ()30010x -元||，买进商品需付()4030010x -元.因此||，所得利润 ()()()60300104030010y x x x =+---||，即2101006000y x x =-++||，其中||，0≤x ≤30.

教案 实际问题与二次函数(面积问题)