初中三角形有关问题重难点突破

数学

三角形有关线段重难点突破

三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的

中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

EH=1/2BF，AH=HF,HF=1/2FC

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形

面积相等。

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三

角形的重心，AOA’、BOB'、COC'分别为

a、b、c边上的中线

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC’=1/3CC'

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

外心到三顶点的距离相等

若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

内心到三角形三边距离相等。

初中数学难点去绝对值符号

带绝对值符号的运算在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ；当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

何老师教辅资料——初二数学重难点专题突破-等腰三角形

初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----“等边对等角”与“等角对等边”在同一三角形中：“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等” 例1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A的度数。例2．如图，AB=AD=AC，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。例3．如图，DE∥BC，BG=CG，∠1=∠2。求证：ΔDGE是等腰三角形。【例4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF。求证：AD垂直平分EF

1．如图，已知AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 2．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE =CD。求证：BD =DE。 | 3.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状，并说明理 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。

5．如图，△ACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。求证：△ACE≌△BCD。初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----等腰三角形中常用解题方法、求角的方法，求边的方法，利用角平分线与平行线的关系，构造倍半关系角例1．如图，在ΔABC中，AB=AC，D在BC上，且AD=BD，AC=CD，求∠B。例2．等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，求另两边的长。

例3．如图，在ΔABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE∥BC，求证：DE=BD+CE。 * 例4．如图，已知∠B=2∠C，∠CAD=∠BAD。求证：AC=AB+BD。 1．如图，已知BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=30o，DE=，求AB的长。 2．求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 3．如图，在△ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC。求证：∠ABC=∠ACB。

专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，

把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0

特殊三角形复习学案

特殊三角形复习课标要求（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。 (2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。教学目标： 1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；

数轴、绝对值、相反数重难点研习

数轴绝对值、相反数重难点研习一、教材知识研习研习点1 数轴的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．【梳理总结】首先，要理解数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展．二是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．三是原点：原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计的零刻线；正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的，正方向一般地规定为向右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就是说单位长度是一条人为规定的代表“１”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定．典例1下列各图中，表示数轴的是( ) [研析]画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确．解A图没有指明正方向； B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致； C图中没有原点； D图中三要素齐全． ∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴．研习点2 数轴的画法画法：①画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。 ②规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。 ③选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

等腰三角形学案及习题

12.3.1 等腰三角形学习目标:1.理解并掌握等腰三角形的概念、性质、及判定。 2.运用性质及判定进行证明和计算。重点:等腰三角形性质和判定的运用。难点:等腰三角形性质、判定的证明和灵活运用。学习过程：一、知识频道（交流与发现） 1、想一想： ①重合图形的边是什么关系？ ②如图：把一张长方形的纸对折，沿虚线剪开，再把它展开，得到的ΔABC 有什么特点？ 2、总一总：上述过程中，剪过的两边是相等的，即AB=AC 。像这样有_______的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫____，如上图中的边___和____,另一边叫____,如边____,两腰所夹的角叫______,如_____,底边与腰所夹的角叫_____,如____和_____. 3、思考？上面剪出的等腰ΔABC 是轴对称图形吗？图形中重合的线段和重合的角分别是哪些？ 3、等腰三角形的性质：性质1 _________________________可以简写成______________. 性质2 __________________________________________________. 可以理解为“三线合一”。 4、验证一下吧！ ①如图：在ΔABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD. 在ΔABD 和ΔACD 中 ∵ AB=_____ BD=_____ AD=_____ ∴_____≌_______(_____) ∴ ∠B=∠C 如果把作中线该为作底边的高线可以吗？作顶角的平分线呢？ ②自己证明性质2 （相信你一定行） 6、ΔABC 中 ∠B=∠C,作AD ⊥BC ∵AD ⊥BC ∴_____=_____=90o 在ΔABD 和ΔACD 中 ____=_____ ____=_____ ____=_____ ∴_____≌______ (_____) ∴AB=AC 7、新发现！经过上面的推证，我们得到等腰三角形的判定方法_____________________可以简写为________. 二、知识频道：（由解题理解知识） 1、例题在ΔABC 中AB=AC, ∠B=80°，∠C=____. （根据等边对等角得∠C= 80°）试一试：在ΔABC 中，AB=AC ∠A=50°则∠B=____,∠C=____. 2、例题在ΔABC 中，AB=AC ，周长为30，AB=12，求BC 的长。解：∵AB=AC AB=12∴AC=12 ∵周长为30∴BC=30-12-12=6 试一试：等腰三角形的周长为30，一边长是12，求另两边的长。 A C D C D C D

中考总复习讲义：三角形的基本性质+特殊三角形

21 D C B A D C B A 学生：科目：数学教师：刘美玲 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=1 2BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=1 2∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部；课题中考总复习 : 三角形基本性质、特殊三角形教学内容三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C _B _A

绝对值优秀教案

《绝对值》教案贵州省织金县三塘中学：程佳一、教学目标 1、知识与技能（1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。（2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 2、过程与方法目标：（1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的（2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识；（3）、通过对“做一做”“议一议”“试一试”的交流和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝试评价两种不同方法之间的差异。 3、情感态度与价值观：借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“做一做“议一议”“试一试”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。二、教学重点和难点理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。三、教学过程： 1、教师检查组长学案学习情况，组长检查组员学案学习情况。（约5分钟） 2.在组长的组织下进行讨论、交流。（约5分钟） 3、小组分任务展示。（约25分钟） 4、达标检测。（约5分钟） 5、总结（约5分钟）四、小组对学案进行分任务展示（一）、温故知新: 前面我们已经学习了数轴和数轴的三要素，请同学们回想一下什么叫数轴？数轴的三要素什么？（二）小组合作交流，探究新知 1、观察下图,回答问题: （五组完成）

等腰三角形重难点教学设计

等腰三角形本周重点、难点分析：一、等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又重要的三角形。它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着关键作用，因为等腰三角形的特殊性。我们在处理问题时很多时候需要分类讨论。（1）由于题目条件的不确定性导致结果的不唯一 1．已知等腰三角形的一个角为75度，则其顶角为_____________。分析：等腰三角形的一个角是750这个角可能是顶角，也可能是底角。因此需要分类讨论当等腰三角形的底角是750时，则顶角为300 当等腰三角形的顶角是750 时，也符合题意。评点对于等腰三角形，若条件中没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,再用三角形内角和定理求解。 2．已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_____________。分析：等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，没有指明哪个是腰长，哪个是底边的长，因此要分类讨论当5是等腰三角形的腰长时那么底边长就是6 则它的周长等于16 当6是等腰三角形的腰长时那么底边长就是5 则它的周长等于17 这个等腰三角形的周长等于16 或17. 评点对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确底和腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论 3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。分析：如图，由于中线分周长为两部分并没有指明哪一部分是9cm 哪一部分是12cm 因此应有两种情形设这个等腰三角形的腰长为x cm底边长为y cm 当腰长是6cm时底边长是9cm 当腰长是8cm时底边长是5cm 评点求出来的长不一定能构成三角形三条边应满足三角形三边关系定理（2）由于题目条件的画出图形的不确定性导致结果的不唯一

专题特殊三角形-讲义

特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．

金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理

特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略

绝对值、相反数重难点研习

绝对值、相反数重难点研习一、教材知识研习研习点1绝对值一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数的绝对值记作│a│ 如：│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，记作│5│。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。【梳理总结】无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性，即│a│≥0；（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0，若│0│＝0；（3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。典例求下列各数的绝对值。（1）-18；（2）3 5；（3）0 [研析]一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种： ①正数的绝对值是它本身； ②负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0。解：（1）因为-18是负数，所以-18的绝对值等于18，即-= 1818。（2）因为3 5是正数，所以 3 5的绝对值等于 3 5，即 3 5 3 5 = 。（3）0的绝对值等于0，即00 =。说明： ①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。

②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如+a ，并没有+=a a ，同样，对于-b ，也没有-=b b 。研习点2 相反数只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如31和-31；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，521与-52 1互为相反数，图1－2－2 【梳理总结】一般地，数a 的相反数是-a,记作-(a)=-a ；-a 的相反数是a,即-(-a)=a ，这里a 可表示正数，负数和0。正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。典例填空题：（1）2的相反数的绝对值是______；（2）绝对值等于5的数是_______；（3）绝对值不大于2的整数是________。 [研析] 求一个数的绝对值，用代数定义比较方便，求绝对值等于5的数用几何定义比较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于2的整数点表示的数。解：（1）2；（2）±5；（3）-2，-1，0，1，2。二、思维误区辨析易错点1 绝对值理解错误典例写出绝对值不大于5的整数．

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.

青岛版-数学-八年级上册-三角形易错点突破和重难点析解

三角形易错点突破和重难点析解易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？错解：这两个三角形全等. 图3 图4

特殊三角形基本知识点整理汇编

学习-----好资料特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60° ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°那么它所对的直角边等于斜边的

学习-----好资料一半? ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于 30° 两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在△ ABC中，/ C = 90°,贝 ①如果AB = 2BC，那么/ A = 30° ; ②如果/ A = 30°,那么AB = 2BC. 直角三角形 1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“ Rt △”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。如果AB = AC且/ A = 90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半” 学习-----好资料

绝对值说课稿

绝对值各位评委，领导: 下午好！我叫,来自四川师范大学。今天我说课的课题是《绝对值》。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明。一、教材分析（一）教材的地位和作用《绝对值》是七年级上第二章的内容。《绝对值》是在引入有理数和数轴等基本概念后又一重要内容，在教材编排中起承上启下的作用，是学习有理数加减法、乘除法的基础，在今后学习二次根式化简时,也是一个必不可少的工具,它也是我们所认识的第一个非负数。本节课要求从代数与几何两个角度初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。通过应用绝对值解决实际问题，使学生体会绝对值的意义，感受数学在生活中的价值。对于从没有学习过类似知识的七年级学生来说，接受起来有点难和慢，尤其在绝对值的意义方面有一定的难度。但七年级学生有思维活跃，富有激情的特点，我在教学时充分把握和利用了这一特点。（二）、学情分析通过前一阶段的教学，学生对数轴和有理数的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生在已初步掌握了数轴和相反数，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。能力层面：学生在初中已经初步具备了数形结合的思想。情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. （三）教学内容本节内容分1课时学习。（本课时，品味数学中的和谐美，体验成功的喜悦。）二、教学目标分析根据教学大纲的要求、本节教材的特点和七年级学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：知识与技能目标： ⑴借助数轴，初步理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值 ⑵通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用，感受数学在生

“等腰三角形”重难点剖析

“12.3等腰三角形”重难点剖析丁浩勇（安徽省无为县刘渡中心学校 238341）等腰三角形有着广泛的应用，一定要熟练掌握它的相关知识．知识点一：等腰三角形的性质【例1】如图1，已知AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =．分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出BD CE =．证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ． ∵AB AC AD AE ==，，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴BD CE =．点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便．知识点二：等腰三角形的判定【例2】如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ．求证：△EAD 是等腰三角形．分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形．证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）． ∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠． ∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形．点拨：判定一个三角形是等腰三角形的方法有（1）等腰三角形的定义；（2）等腰三角形的判定定理；（3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形．知识点三：等边三角形的性质【例3】已知：如图3，△ABC 是等边三角形，过顶点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，E 是BC 延长线上一点，且CDE E ∠=∠．求证： DE DB =．分析：要证DE DB =，只要E DBC ∠=∠即可．证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ， ∴?=∠?=∠30,60DBC ACB ．又∵CDE E ∠=∠，∴?=∠=∠=∠302 1ACB CDE E ．∴E DBC ∠=∠．∴DE DB =． M B D C E A 图1 图2 B C A D E 2 3 1 A B C D 图3 E

解三角形(复习课)教学设计

解三角形（专题课）教学设计一、教材分析本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。二、学情分析学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。三、教学目标知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。四、教学重难点重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。五、课堂结构设计根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

九年级数学重难点突破专题

15年期中考试重难点突破 15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。中考考点：一、一元二次方程：三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论；中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系）一、一元二次方程： 1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是。 2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++= 221的顶点，则方程12 1 2=++c bx x 的解的个数是（） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2 3、二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2 +bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12 +bx 1=ax 22 +bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 4、已知方程x 2 -2（m 2 -1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0 G N D C B A

四年级数学下册《三角形》重难点突破英语教案.docx

.精品文档 . 四年级数学下册《三角形》重难点突破英语教案四年级数学下册《三角形》重难点突破学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。在此基础上本单元安排了三小节内容：三角形的特性、三角形的分类和三角形的内角和。使学生认识三角形的特性；会根据三角形角的特点给三角形分类，认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形；知道三角形任意两边的和大于第三边；三角形的内角和是 180°；在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，在边数增加变化中，感悟数学研究方法，发现多边形的内角和规律，渗透合情推理。通过教学使学生获得有关三角形的系统知识，促进空间观念的发展。一、概括三角形的含义，认识三角形各部分名称，会画三角形的高突破建议： 1．在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义，培养学生的观察能力和语言表达能力。 2．在说一说、指一指、写一写三角形各部分名称的活

动中，认识三角形的基本特征，建立三角形表象。 3．在动作操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试的过程中，学会画三角形的高。画三角形的高，实际上与学生已学过的过直线外一点画已知直线的垂线段一样。因此，在学习画高前应先使学生清楚什么是三角形的底，什么是三角形的高。这些可以由学生阅读教材自主学习。在此基础上可以安排两次画高的活动。第一次：学生尝试画高后，展示出他们的作品，并引导学生辨析，在辨析交流中，与已学过的旧知建立联系，掌握画高的方法。第二次：画出三角形所有的高，使学生认识到任意三角形都有 3 条高。在尝试中，学生可以画出锐角三角形的三条高，而直角三角形和钝角三角形部分学生可能只能画出在三角形内的那一条高，可以通过教师的讲解和演示，使学生知道到这两 3 条高。种三角形也有三条高，进而总结出任意三角形都有二、发现三角形稳定性，了解三角形稳定性的本质突破建议： 1．从学生生活常见的物品引入，引到学生自己提出问题：为什么有些地方要用三角形，而有些地方要用四边形？激发学生的探究欲望。培养学生“发现问题——提出问题” 的能力。