职高复习第一轮教案02指数函数和对数函数

指数式与对数式

一、高考要求：

1. 掌握指数的概念、指数幂的运算法则.

2. 掌握对数的概念、性质和对数的运算法则,掌握换底公式,了解常用对数和自然对数. 二、知识要点：

1. 指数的定义及性质:

(1)有理数指数幂的定义:①)0(10≠=a a ; ②),0(1

+-∈≠=N n a a

a n n ;

③),,0(为既约分数且

、n

m

N n m a m a

n n

m +∈>=; ④),,0(1

为既约分数且

、n

m

N n m a m

a

n

n

m +-

∈>=

. (2)实数指数幂的运算法则:①n m n m a a a +=?; ②mn n m a a =)(; ③n n n b a ab ?=)(. 2. 对数的定义及性质:

(1) 对数的定义:令N=b a (a ＞0且a≠1)中,b 叫做以a 为底N 的对数,N 叫做真数,记作:b N a =log .

(2) 对数的性质:①真数必须是正数,即零和负数没有对数; ②01log =a (a ＞0且a≠1); ③1log =a a (a ＞0且a≠1); ④对数恒等式:N a N a =log (a ＞0且a≠1).

(3) 对数的运算法则:当a ＞0且a≠1,M ＞0,N ＞0时,有

①N M MN a a a log log )(log += ②N M N

M

a a a log log log -=

③M n M a n a log log = ④M n M a n a log 1

log =

(4) 换底公式:a

N

N b b a log log log =

. (5) 常用对数:底是10的对数叫做常用对数,即N N lg log 10=.

(6) 自然对数:底是e 的对数叫做自然对数,即N N e ln log = (其中无理数e≈ . 自然对数和常用对数的关系是:e

N

N lg lg ln =

. 三、典型例题： 例1:计算: (1) 31

213125.0104

1027.010])8

33(81[])87(3[)0081.0(?-+??--

----;

(2)3log 333558log 9

32

log 2log 2-+-.

例2:化简: (1)43

)

1(1)1(--a a ; (2)50lg 2lg )5(lg 2

?+

例3: (1)已知a =2log 14,求7log 2

的值; (2)设,518,9log 18==b

a 求45log 36的值.

例4:解下列方程:

(1)32x-2=81; (2)lg(x-1)2=2; (3)53443)()(=x ; (4)lg(2-x 2)=lg(2-3x)-lg2;

(5)803322=--+x x ; (6)1log 38log 28=-x x .

四、归纳小结：

1. 掌握指数和对数的定义、性质以及运算法则是正确进行指数式和对数式的计算与化简的关键,特别是运算法则及换底公式的灵活运用.

2. 指数、对数方程属于初等超越方程,可以化成代数方程后求解的简单的指数、对数方程主要有以下几种类型:

(1) 基本型:b a x =b x a log =和b x a =log b a x =;

(2) 同底数型:)

()(x g x f a a =)()(x g x f =和)(log )(log x g x f a a =??

?

??>>=0)(0)()()(x g x f x g x f ;

(3) 需代换型:作代换)(x f a y =或)(log x f y a =后化为y 的代数方程,解出y 后转化为基本型求解.

五、基础知识训练： （一）选择题：

1. 下列运算正确的是( )

A.2332)()(a a -=-

B.3232)(+-=-a a

C.3232)(+=-a a

D.632332)1()(a a a -=-=-? 2. 考查如下四个结论:

(1)当a ＜0时,3

2

32

)(a a =; (2)函数02

1)73()2(---=x x y 的定义域是x ≥2; (3)312

1)5()3(-<-a a ; (4)已知,210,50100==b a ,则2a+b=1. 其中正确的结论有( )

个 个 个 个 3. 下列各式中计算错误的是( )

A.873222)()(b a ab b a -=-?-

B.3332332)()(b a ab b a =-÷-

C.663223)()(b a b a =-?-

D.181833223])()[(b a b a -=-?- 4. 与对数式)1,0,0(log ≠>>=b b a N a b 对应的指数式是( )

A.N a b =

B.N b a =

C.b a N =

D.a b N =

5. 4

3

1681-???

??的值是( ) A.278 B.278- C.23 D.2

3- 6. 若0)lg(log 3=x ,则x=( )

.3 C 或10 7. 下列等式不成立的是( ) A.b b a n a n log log = B.N N a a

log 2log =

C.a b b a log 1log =

D.N N a a log 3

1

log 3= 8. 设a,b 是正数,且a b b a =,b=9a,则a 的值为( )

A.9

1

B.99

C.39

D.43 9. 若2

3

8log =x ,则x 的值是( )

B.4

C.21

D.4

1

10. 如果0)](log [log log 235=x ,那么4x =( )

A.42

B.432

C.32

D.23

11. 已知b a ==5log ,3log 22,则5

9

log 2

=( ) B.2a-b C.b a 2 D.b

a

2

12. 若a ＞b ＞1,P=b a lg lg ?,Q=)lg (lg 21b a +,R=2

lg b

a +,则( )

＞P ＞R ＞Q ＞P ＞P ＞Q ＞R ＞P （二）填空题：

13. 若23=a ,53=b ,则b a -23= . 14. 已知

82

12

1

=+-

x

x ,则x

x 1

2+= .

（三）解答题：

15. 已知)2lg(2lg lg y x y x -=+,求y

x

的值.

16. 设3643==y x ,求y

x 1

2+的值.

指数函数和对数函数

一、高考要求：

3. 掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质.

4. 掌握指数函数和对数函数在实际问题中的应用. 二、知识要点：

名 指数函数 对数函数 形

式

)1,0(≠>=a a a y x

)1,0(log ≠>=a a x y a 函数图象

定

(-∞,+∞)

(0,+∞)

例1:已知函数1

1

)(-+=x x a a x f (a ＞0且a≠1).

(1) 求)(x f 的定义域和值域; (2) 讨论)(x f 的奇偶性; (3) 讨论)(x f 的单调性.

例2:求函数)82(log 25.0++-=x x y 的定义域及单调区间.

例3:已知0>a 且1≠a ,)(1

)(log 1

2

--?-=

x x a a x f a . (1) 求)(x f ;

(2) 判断)(x f 的奇偶性和单调性;

(3) 对于)(x f ,当)1,1(-∈x 时,有0)1()1(2<-+-m f m f ,求m 的取值范围.

四、归纳小结：

1. 函数x a y =与函数x a y -=的图象关于y 轴对称；函数x y a log =与函数x y a

1log =的图

象关于x 轴对称；函数x a y =与函数x y a log =的图象关于直线y=x 对称. 2. 指数函数和对数函数互为反函数.它们的性质可以用类比的方法进行记忆. 3. 指数不等式、对数不等式的求解主要依据指、对函数的单调性. 五、基础知识训练： （一）选择题：

1. 同时具有以下性质:①图象经过点(0,1); ②在区间(0,+∞)上是减函数; ③是偶函数 的函数是( ) A.x x f 2)(= B.x x f -=2)( C.1)(2+=x x f D.1)(2+-=x x f

2. 下列函数图象中,一定通过点(0,1)的是( )

A.2x y =

B.x y =

C.x y 2=

D.x y 2log = 3. 若4

54

5a a >-,则a 的取值范围是( )

＞1 ＜0 C.0＜a ＜1 4. 已知函数)1lg()2lg()(++-=x x x f ,关于此函数的命题有

(1) 函数)(x f 的定义域为(2,+∞),在定义域内是增函数; (2) 函数)(x f 的定义域为(-1,+∞),在定义域内是增函数; (3) 函数)(x f 的值为1时,则x 的值为4; (4) 函数)(x f 在定义域内为奇函数.

其中正确的说法是( )

A.(1) (3)

B.(2) (4)

C.(1) (2)

D.(3) (4) 5. 若集合A={y|y=x 2,x ∈R},B={y|y=2x ,x ∈R },则( )

B

=B

6. 函数x x f a log )(=与)(log x y a -=的图象关于( )

轴对称 轴对称 C.直线y=x 对称 D.原点对称 7. 函数)1(log )(2

1-=x x f 的定义域是( )

A.(1,+∞)

B.(2,+∞)

C.(-∞,2)

D.(1,2] 8. 函数3log )(2+=x x f (x≥1),则反函数)(1

x f

-的定义域是( )

B.{x|x≥1}

C.{x|0＜x ＜1}

D.{x|x≥3} 9. 函数)(x f y =的反函数为3)1lg(+-=x y (x ＞1),则)(x f =( )

A.1103++x

B.1103--x

C.1103-+x

D.1103+-x

10. 函数)23(log 22

1+-=x x y 的单调递增区间是( )

A.(-∞,1)

B.(2,+∞)

C.(-∞,

23) D.(2

3

,+∞) （二）填空题：

11. 若1>a ,试将5.0log 1a

,1log a ,6.0log 1a

从小到大用不等号连接,则有

12. 若13

2

log >a

,则a 的取值范围是 . （三）解答题：

13. 已知)1,0,(1

1

)(≠>∈+-=a a R k a a ka x f x

x 、是R 上的奇函数, (1) 求k 值; （2）求)(x f 的反函数)(1

x f -；（3）解不等式0)(1

>-x f

14. 已知函数a x f x

+-=

1

21

)(是x≠0上的奇函数,a 是常数,求a 的值. 15. 已知函数1

1

)(+-=x x a a x f (a ＞1).

(1) 判断)(x f 的奇偶性; (2) 求)(x f 的值域;

(3) 证明)(x f 是区间(-∞,+∞)上的增函数.