2015年高考真题：文科数学(浙江卷)试卷(含答案)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合{

}

2

23x x x P =-≥，{}

Q 24x x =<<，则Q P =I （ ）

A ．[)3,4

B ．(]2,3

C ．()1,2-

D ．(]1,3- 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q =I ，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.

2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）

A ．83cm

B ．123cm

C ．

3233cm D ．40

3

3cm 【答案】C

考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.

3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】D

考

点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】

试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，

,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，

//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.

考点：直线、平面的位置关系. 5、函数()1cos f x x x x ?

?

=-

???

（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x

-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排

除A, B ；取x π=，则1

1

()()cos ()0f πππππ

π

=-

=--<，故选D.

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <

<，三种颜色涂料的粉刷

费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）

A ．ax by cz ++

B ．az by cx ++

C ．ay bz cx ++

D ．ay bx cz ++ 【答案】B

考

点：1.不等式性质；2.不等式比较大小. 7、如图，斜线段

AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足

30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）

A ．直线

B ．抛物线

C ．椭圆

D ．双曲线的一支 【答案】C 【解析】

试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60o

角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.

考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）

A ．若t 确定，则2b 唯一确定

B ．若t 确定，则22a a +唯一确定

C ．若t 确定，则sin 2

b

唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 【答案】B 【解析】

试题解析：因为1sin a b t +==，所以2

2

2

(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B. 考点：函数概念

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9、计算：22

log 2

= ，24log 3log 32+= ． 【答案】1

,332

-

考点：对数运算

10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则

1a = ，d = ．

【答案】2

,13

- 【解析】

试题分析：由题可得，2

111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3

d a =-=

. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.

11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．

【答案】32

,π- 【解析】

试题分析：()2

11cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222

x f x x x x x x x -=++=

++=-+ 23sin(2)242x π=

-+，所以22

T π

π==；min 32()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.

12、已知函数()2,1

66,1

x x f x x x x ?≤?

=?+->??

，则()2f f -=???? ，()f x 的最小值

是 ． 【答案】1

;2662

--

考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.

13、已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且121

2

e e ?=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ?=?=r r r r ，则

b =r

．

23

【解析】

试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e =u r ，213

(2e =u u r ，设(,)b x y =r ，则11b e x ?==r r ，213122b e x y ?=+=r r ，所以3(1,3b =r ，所以123133

b =+=r .

考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.

14、已知实数x ，y 满足2

2

1x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15

【解析】

试题分析： 22,2224631034,22x y y x

z x y x y x y y x

+-≥-?=+-+--=?

--<-?

由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当

22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，

故

10

15

z d -=

=，所以15z =，故该目标函数的最大值为15. 考点：1.简单的线性规划；

15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b

y x c

=的对称点Q 在椭圆上，

则椭圆的离心率是 ． 【答案】

2

2

考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （本题满分14分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24

π

+=.

（1）求

2

sin 2sin 2cos A

A A

+的值； （2）若B ,34a π

=

=，求ABC ?的面积.

【答案】(1)2

5

；(2)9

考

点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.

17. （本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*

1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈

*1231111

1(n N )23n n b b b b b n

+++++=-∈L .

（1）求n a 与n b ;

（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2;n

n n a b n ==；(2)1

*(1)22()n n T n n N +=-+∈

【解析】

试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 18.

（本题满分

15

分）如图，在三棱锥

111ABC A B C -中，

011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

(1)证明: 11D A BC A 平面； (2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略；(2)78

(2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF.

因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥. 因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .

所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角. 由2,90AB AC CAB ==∠=o

，得2EA EB ==. 由AE ⊥平面1A BC ，得1114,14A A A B A E ===.

由111

4,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=o ，得17

A F =. 所以17sin A BF ∠=

考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角. 19. （本题满分15分）如图，已知抛物线21

1C 4

x

：y=

，圆22

2C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.

(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ?的面积.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.

【答案】(1)2

2

22

22(2,),(

,)11t t A t t B t t ++；(2)32t 因为直线PA 与抛物线相切，所以2

16160k kt ?=-=，解得k t =.

所以2x t =，即点2

(2,)A t t .

设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故

有00001220

y x t x t y ?=-+???-=?，

解得

2 00

22

22

,

11

t t x y

t t ==

++

.即点

2

22

22

(,)

11

t t

B

t t

++

.

(2)由(1)知，2

1

AP t t

=+，

直线AP的方程为20

tx y t

--=，

所以点B到直线PA的距离为

2

2

1

d

t

=

+

.

所以PAB

?的面积为

3

1

22

t

S AP d

=?=.

考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.

20. （本题满分15分）设函数2

(),(,)

f x x ax b a b R

=++∈.

(1)当

2

1

4

a

b=+时，求函数()

f x在[1,1]

-上的最小值()

g a的表达式；

(2)已知函数()

f x在[1,1]

-上存在零点，021

b a

≤-≤，求b的取值范围.

【答案】(1)

2

2

2,2,

4

()1,22,

2,2

4

a

a a

g a a

a

a a

?

++≤-

?

??

=-<≤

?

?

?-+>

??

；(2)[3,945]

--

考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.