高数公式汇总

高等数学公式

Jtgxdx= -In cosx +C Jctgxdx = ln sinx +C Jsecxdx = In secx +tgx +C d^x 2

—= sec xdx = tgx C cos x

= csc 2

xdx 二-ctgx C sin x

Jcscxdx = In cscx — ctgx

+ C dx

secx tgxdx 二 secx C cscx ctgxdx = - cscx C

x

a x dx — C

In a

shxdx = chx C chxdx 二 shx C

n

~2

= sin n

xdx 二 cos n

xdx = 0

导数公式: 基本积分表:

(tgx)二 sec x (ctgx)二-esc 2

x (secx) =secx tgx (esex) - -cscx ctgx

x

x

(a ) a Ina 1

(log a x) ——

xl na (arcsin x)

二

(arccos x)

二

(arctgx)

二

1 1 - x

2 1 1 x 2 (arcctgx)

1 +x

=纭 x 2 +a 2

2

.x 2

-a 2

dx 八 x 2

-a 2

2 a 2

-x 2

dx 二 x

a 2

_x 2

2

2

西 In (x x 2 a 2

) C

2

2 ___________ __________

-—I nx+Px 2-a 2

+C 2 2

a . x

arcs in C 2 a

2

a

x 2

c a

dx _ 1

2

x 2 -a 2a

dx _ 1 2

a 2 -x 2a

dx —z*

dx .x 2 _ a 2

I

n_2 n

I n a 2

2

-x

In j C a -x rcsi n° C

a C I

三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 三角函数公式: ?诱导公式： 两个重要极限:

a + P a - P

sin k " sin ： =2 sin cos ----

2 2 R a + P a - P sin -sin - =2 cos ------------------ sin ----

2 2

sin （、

￡ 二 I

'）: cos （：；二 I J tg （卅- I'）=

ctg （二 I ）

:sin ： cos L 二 cos ： sin : = cos ： cos ：「sin ： sin : tg ： -tg : 1 "t^ tg - ctg ： ctg ： _ 1 ctgL -ctg :

R

a + P a - P

cos ： cos =2 cos cos —

2 2 a + P a -P cos ： -cos - _

2sin ---------------- sin ----

2 2

?和差角公式:

-和差化积公式:

-倍角公式: ?半角公式： ?正弦定理：

— b C 2R

?余弦定理：c 2

=a 2

? b 2

-2abcosC sin A sinB sinC

?反三角函数性质：

arcsinx =王-arccosx

arctgx =王一 arcctgx

2 2

高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式： 中值定理与导数应用： 曲率：

定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用:

|x =

⑴

空间曲线y =<(t)在点M(x 0,y 0,z 0)处的切线方程:

z - (t)

曲面 F(x, y, z)=0上一点 M(x °,y 0,Z 0),则:

1、 过此点的法向量： n 二{F x (X 0, y °,Z 0), F y (X 0,y °,Z 0),F z (X 0,y 0,Z 0)}

2、 过此点的切平面方程:F x (X 0,y °,Z 0)(x-X 。)F y (X 0,y °,Z 0)(y-y °) F z (X 0,y 0,Z 0)(z-Z 0)= 0 F x (X 0,y °,Z 0) F y (X 0, y °,Z 0) F z (x °, y °,Z 0)

方向导数与梯度:

X - X o _ y - y ° Z z

-

在点M 处的法平面方程： ’(t °)(x — x °)

(t °)(y - y °)

F y

G y

x - x °

y - y ° z - z °

3、过此点的法线方程:

若空间曲线方程为:

{;(:;:);则切向量-{

F y

G y

GvG:

F x F x

G x ,G x

函数z =f(x, y)在一点p(x,y)沿任一方向I 的方向导数为：」 f cos f

sin 「 d e x c y

其中:为x 轴到方向I 的转角。

f

:

f —

函数z = f(x,y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i j

次矽

多元

/f

_ _ ■ ■

它与方向导数的关系是：一 =gradf(x,y)e ，其中e=cos 「j sin —j ，为I 方向上的

单位向量。

.f 是gradf (x,y)在I 上的投影。 函数的极值及其求法： 重积分及其应用:

11 f (x, y)dxdy = f(rcosr,rsin ^)rdrd 二

D

D '

H x P (x, y)do

平面薄片的重心：x =M

^二丄

(x, y)d ；二

D

平面薄片的转动惯量： 对于x 轴I x = 『P(x, y)db,

对于y 轴I y = [[x^(x, y)do'

D

D

平面薄片(位于xoy 平面)对z 轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F={F x ,F y ,F z }，其中:

面坐标和球面坐标:

曲面z =f(x, y)的面积A =

J 「「dy

..r (x, y)d-

D

..;?

(x,y)d-

F"f ..

?

(x, y)xd 二

r ，

(x 2

- y 2

a 2)2

F y 「.亠性,

D

(x 2 + y 2 +a 2)2

F z —fa..

，(x, y)xd 二

(x 2

- y 2 - a 2)2

|x = r COST 柱面坐标：《 y=rsinG, z = z

其中： F (r, J ,Z )二 f (r cos 入 rsin v,z)

'x = r sin WcosO

球面坐标：y = r sin 半 sin 日, d v = rd ? r sin ④，d 日 dr = r 2

sin ?drd 半dT

z = r COS ?

H I f (x, y,z)dxdydz =

F (r ,)z)rdrd

vdz,

ri 3

2

兀 2 2

!!! f(x,y,z)dxdyd^ iiiF(r,「)r sin 「drd dv - dr d 「 F(r,「)r sin 「dr 重心：x 二丄? HI x ：「dv, M '人 兀r （鮒

转动惯量:

_ 1 … , 『七川忖, Q M Q :in (y z ) ?

dv,

I y

Q

o o o _ 1 z z

「dv, M 「

二 (x z ) ?dv,

其中 M =X 二

：

?dv

Q

2 2

二(x y ) Dv

Q

线积分: 曲面积分:

对面积的曲面积分: 对坐标的曲面积分:

f (x,y,z)ds 二 f[x,y,z(x,y)] ： 1 z ；(x,y) z ：

(x,y)dxdy

D xy

i iP(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy,其中： Z

R(x, y, z)dxdy 口！ R[x, y,z(x, y)]dxdy, Z D xy

P(x, y, z)dydz 利！ P[x(y,z), y, z]dyd 乙

取曲面的上侧时取正 取曲面的前侧时取正

取曲面的右侧时取正 号; 号; 号。

Q(x,y,z)dzdx 二 一 Q[x,y(z,x),z]dzdx Z D zx

两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy II (P COSJ 'Q COS ： R COS )ds

Z

Z

公式: 即 cQ cR

III （

）dv " Pdydz Qdzdx Rdxdy = -（Pcos 「Qcos ： Rcos ）ds

x :

y

：z

高斯公式的物理意义 ——通量与散度：

div P

-

即：单位体积内所产生

的流体质量，若 div ： ：：：0,则为消失…

以 ￡y ￡z

Il A nds 二 An ds 二（Pcos ： Q cos ： Rcos ）ds , z z z

高斯公式又可写

成：div Adv = Ands

散度:

通量: 因此,