数学建模实例—-汽车购买决策.

购买汽车的选择

摘要

“我没有车我没有房”攒了几年钱终于有钱买车了，但我又担心买不到最称心的车子，于是我们团队就试图用数学建模的方法解决这个问题。

对于这种关键因素难以量化的问题，我们决定用最适合的层次分析法。首先，考虑到课题目标除了“做出购买决定”之外还要评出配置最高、最舒适、最漂亮的车子，所以我们将这个决策问题分成四层：首层是目标层，即本课题最重要的目标—购买汽车的决策，第二层是准则层，分成“舒适”“配置”“美观”“价格”四个准则，这样做的好处是便于达到课题的二级目标。第三层是次准则层，将准则层的四大准则细分为八个准则，需要指出的是“价格”因为无法细分我们将它设定为同时属于二三层。第四层，即最后一层是方案层，有三套方案供选择。

当思维过程转化为层次结构之后，从层次结构的第二层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一层诸因素，用层次比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。

对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验，若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过则需重新构造【1】。

最后组合权向量并做一致性检验。都通过之后就便得到了一个决策。此刻我们做的是重新审视模型讨论模型的局限以及不完整之处，力求改进，直到做出满意的模型。

Ⅰ问题重述

工作五年后，你决定要购买一辆汽车，预算十万左右。在汽车网上浏览了很久，初步确定将从三种价格相当的车型中选购一种。一般在购买汽车时考虑的标准可能包括：品牌、配置、动力、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况等等。（以上提到的标准仅供参考，因人而异

（1 ）不同的标准在你心目中的比重也许是不同的，请用定量的方法将其按比重的高低进行排序。

（2 ）请用定量的方法说明哪种车配置最好、哪种车最舒适、哪种车最漂亮？

（3 ）建立数学模型，用确定的量化方法作出购买决定。

Ⅱ问题分析

本题要求用定量的方法研究购买汽车的决策。而购买汽车，人们多半是凭经验或者主观判断的提出决策方案。如何用定量的方法解决定性的问题，是首先要解决的问题。我们马上想到了层次分析法（AHP），这是一种定性和定量相结合的系统化的、层次化的分析方法。用这种方法，首先我们需要查阅大量资料，了解汽车主要构造，相关配置，外观设置等。之后就是尝试着将这些资料整合分类为能为决策提供帮助的一个个准则，然后去确定这些准则在心中的比重。于是得到了层次结构模型。结合三款车子资料，通过成对比较阵、最大特征根、组合权向量等方法求出一个决策结果，接下来并不着急给模型定型，而是审视模型改进模型直到获得满意的模型。

Ⅲ模型假设

1）获得的三款车子资料准确无误。

2）三款车子都没有质量问题。

3）车子的售后服务都一样。

Ⅳ模型的建立与求解

4.1 建立模型

通过仔细分析研究我们将各个因素按照不同的属性自上而下的分解成四个层次（见下图1），分别是目标层，准则层，子准则层，方案层。

目标层即关于购买汽车的决策，准则层有四个因素：舒适、配置、美观、价格。针对这四个因素又补充了七个更具体的因素：空调系统，多媒体，动力，安全，内部配置，外观，车内装饰。第四层，即最底层是方案层。我们选择了三款车子作为备选方案，分别是：

①长安福特嘉年华2011款三厢 1.5L自动时尚型；

②长城V80 2012款1.5L手动尊尚型；

③比亚迪S6 2011款2.0L手动豪华型。

图一：

4.2 模型的求解

1）从准则层开始构造成对比较阵：

A=11/51/21/3513221/311/231/221⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 用和法求其最大特征根和特殊向量：

⒈将A 的每一列向量归一化得 ij ϖ=ij a /1n

ij i a =∑

A= 0.0910.0980.0770.0870.4550.4920.4620.5220.1820.1640.1540.1300.273

0.2460.308

0.216⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪⎝⎭

2．对ij ϖ按行求和得i ϖ=1

n

ij j ϖ=∑=(0.353,1.931,0.630,1.088)T

3.对i ϖ归一化i ω=i ϖ/1

n

i i ϖ=∑,(2)12(,,...,)T n w ωωω==（0.088，0.483,0.158,0.272）

T

4.计算λ=1()1n i i i

Aw n ω=∑=1

4⨯(0.354 1.9410.631 1.0940.0880.4830.1580.272+++)=4.014

5．用公式1

n

CI n λ-=

-检验一致性，得CI =0.05

CI CR RI =

=0.005

0.90

=0.056<0.1 一致性检验通过。 2）同理在子准则层构造三个成对比较阵

B1=121/21⎛⎫ ⎪⎝⎭ B2=1

231/2121/31/21⎛⎫ ⎪

⎪

⎪

⎝⎭

B3=131/31⎛⎫ ⎪⎝⎭ 计算可得(31)W =（0.667，0.333）(32)W =（0.539，0.297，0.164）(33)W =（0.750，

0.250）

需要指出的是B4和C8同是“价格”，所以(34)

W=（1.000）。一致性指标分别为

(31)0

CI=，(34)0

CI=。

CI=，(33)0

CI=，(32)0.005

C1-C8对目标层的权向量分别是(31)

W w=0.667x0.088=0.059 同理

w=(31)(21)

(32)

w=0.119，(37)

w=0.039，

w=0.079，(36)

w=0.026，(34)

w=0.029，(33)

w=0.143，(35)

(38)

w=0.272。

此处组合一致性检验结果为 0.002<0.1 一致性通过。

3)如何对方案层评估是问题的一个关键，为了尽量客观的说明问题，我们取得尽量多的数据便于定量。

表格 1 空调设备对比

表格 2 多媒体对比