有趣的数学悖论

有趣的数学悖论

“悖论”的含义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，这些结论会使我们惊讶无比。许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅能开阔我们的眼界，还可以从中享受到无穷的乐趣。这种趣味带来的乐趣，或许是我们在数学课本中永远体会不到的。请看下面的两个例子：

我们先来看雪花曲线，从中可以看到大自然的又一项神奇的杰作。雪花曲线的形状可以按下述程序画出：先画一个正三角形（图①）；然后将这个三角形每边三等分，再以每边的两个三等分点为顶点分别向原三角形外画小正三角形，并擦去各边两个三等分点间的线段，这样就成了六角星形（图②）；再在六角星形的每边用同样的方法向外画更小的正三角形，并擦去相应的线段，这时就成了一个十八角形（图③），其形状就有点像一朵天上飘下的雪花了。再重复以上的过程，图形可以不断地画下去，所得到的图形，就是我们所说的雪花曲线。

现在的问题是，这个不断画出的图形——雪花曲线的周长会是多少？ 假如第一个三角形每边长为1厘米，那么这个不断画出的图形始终在一个半径为3

3厘米的小圆内，其周长大不了有1米吧？怎么看也不像会有1米长。这就是我们的直觉判断。事实上，这个图形的周长可以任意长。也就是说，只要上述画雪花的过程一直继续下去，这个图形的周长将趋于无穷大。这不是太神奇了① ② ③

吗？我们具体来算算看：

由于图①的边数为3，图②的边数为3×4，图③的边数为3×42，……，图○

n 的边数为 3×4n-1，它们的边长分别为1厘米、31厘米、231厘米、……、13

1-n 厘米，而雪花曲线的周长等于边数与边长的乘积，因此，如果用C 1、C 2、C 3、…、

C n 分别表示图①、图②、图③、…、图○

n 的周长的话，于是有： C 1＝1×3＝3（厘米）；

C 2＝3

1×3×4＝4（厘米）； C 3＝231×3×42＝3

42

（厘米）； ……

C n ＝131-n ×3×4n-1＝3×134-??? ??n （厘米）。

由此我们不难看出，当n 足够大时，C n 能比我们指定的任何数更大。也就是

说，雪花曲线并不像我们想象的不够1米长，还是要多长就有多长！

我们再来看一个甲虫爬行的问题，它将让你的直觉经受更加严峻的考验。 一只甲虫沿着一条长1公里的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟，橡皮绳就伸长1公里。比如，10秒钟后，橡皮绳就伸长10公里了。假定橡皮绳可以任意拉长，并且拉伸是均匀的。甲虫也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，甲虫的位置理所当然地相应均匀向前挪动。如此下去，甲虫最后究竟能不能爬到橡皮绳的另一端呢?

乍一想，甲虫爬行的那点可怜的路程，肯定赶不上橡皮绳成万倍的不断伸长，随着橡皮绳的拉伸，甲虫只怕是离终点越来越远了！这也是我们的直觉判断。然而，甲虫却千真万确地爬到了终点（即橡皮绳的另一端）。如果你不信，就看看下面的计算结果吧：

1公里等于100000厘米，第1秒后，甲虫爬行了整个绳长的100000

1；第2秒后，它又爬行了整个绳长的200000

1（因为橡皮绳是均匀拉长的，所以甲虫在第二个1秒里爬行了231?厘米，这里的1是甲虫的爬行速度，2

3是橡皮绳由2公里拉伸到3公里的拉伸系数。因此，甲虫在第2秒内爬行了整个绳长的2000001300000023=÷）；以此类推，第3秒后，甲虫又爬行了整个绳长的3000001；第4秒后，甲虫又爬行了整个绳长的400000

1；……如此下去，甲虫第n 秒后在橡皮绳上的位置到起点的距离与整个不断拉伸的橡皮绳长的比为：

).14131211(10000011000001300000120000011000001n

n +++++=?++++ 括号内是调和级数前n 项的和，当n 足够大时，它的和值可以要多大有多大。因此，只要括号内的和值等于100000，上式的值就等于1，这时就表示甲虫已爬到了橡皮绳的另一端点。当然，这里的n 值是很大的，约等于e 100000（е为自然对数的底数，约等于2.718），大得难以相象，但e 100000毕竟是一个有限的数。