几何证明题_特殊平行四边形
特殊平行四边形之证明题
题型一：菱形的证明
1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说确的是( )
A. DE 是△ABC 的中位线
B. AA '是BC 边上的中线
C. AA '是BC 边上的高
D. AA '是△ABC 的角平分线
2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．
（1）求证：BE DG =；
（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG
是菱形？证明你的结论．
4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．
（1）求证：AD ＝CE ；
（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．
5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形． D A E
N
M O A
B
C D E
A ' A D G
C
B F E
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.
8．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56
AB AC
==
，．点D作DE AC
∥
交BC的延长线于点E．
（1）求BDE
△的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ
=．
10．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC 于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
C
D
E
M
A
B
F
N
A Q D
E
B P C
O
11、12、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD
，的延长线分别交于E F
，．
（1）求证：BOE DOF
△≌△；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F
，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
13、如图，四边形ABCD中，AB CD
∥，AC平分BAD
∠，CE AD
∥交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断ABC
△的形状，并说明理由．
14、如图8，在ABCD中，E F
，分别为边AB CD
，的中点，连接DE BF BD
，，．（1）求证：ADE CBF
△≌△．
（2）若AD BD
⊥，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
F
D
O
C
B
E
A
15、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
题型二：正方形的证明题
1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
4、如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.
（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.
A B
C
D
E
F
图12G F
E
D
C B
A
6．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．
（1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
7、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．
（1）求证：△BCG ≌△DCE ；
（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．
9．如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作A B C
D E
F E ' G
A
D E
F C
G B
DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，.
（1） 求证：BED CFD △≌△；
（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.
题型五：矩形的证明题
3.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形．
求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．
6、如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ．
（1）求证：D 是BC 的中点；
（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
A
C
B
D P Q
D C B
E
A
F
8、如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．
题型五：梯形的相关证明题
10.如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．
（1）求证：AF =BE ；
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
11．如图（七），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =．
D E P
B
A
（第22题）
C E B
A
F
C E D
平行四边形常见证明题
1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E
6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E
中考数学几何证明压轴题之令狐文艳创作
北京优学教育中考专题训练 令狐文艳 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ， DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当 BE ：CE=1： 2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交 于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3FE 的延长线与AB 的延长线相交于点线与GF 的延长线相交于点N E B F C D A
4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =35 ，求CD 的长； （2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=3 1∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在 与 C A B D O E
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． #
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
(完整版)平行四边形典型证明题(已分类).docx
平行四边形证明题 1. 在□ ABCD中，∠ BAD的平分线 AE 交 DC于 E，若∠ DAE＝25o，求□ABCD各角度数 .D E C A B 2.如图，把一张长方形 ABCD的纸片沿 EF 折叠后，ED与 BC的交点为 G，点 D、C 分别落在 D′、 C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠ AEG度数． 3.如图在□ABCD 中， E，F 为 BD 上的点， BE=DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明. 4.如图，在□ABCD 中， E、 F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE= ∠ BCF． （1）求证： AE=CF ．（ 2）求证： AE ∥CF 5.如图，□ABCD 中， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E， CF 平分∠ BCD 交 AD 于点 F， 求证：四边形AECF 是平行四边形.
6.如图，点 D 、E、 F 分别是△ ABC 各边中点 . （1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形 . （2）若 AB=AC=10 ， BC=12 ，求四边形 ADEF 的周长和面积 . 7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△ CFE． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。 8. 如图，一张矩形纸片ABCD ，其中 AD＝ 8cm，AB＝ 6cm，先沿对角线BD 对折，点 C 落在点 C′的位置， BC′交 AD 于 点G.(1)求证： AG＝ C′G． (2) 求△ BDG的面积 9.如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O.若 AO=3 ，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
七年级几何证明压轴题
一、选择 1．如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上任意一点，DF ⊥AC 于点F ，E 在AB 边上，ED ⊥BC 于D ，∠AED=155°，则∠EDF 等于（ ） A ．50°B．65°C．70°D．75° 2．下列判断错误的是（ ） A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB 中点有且只有一条直线与线段AB 垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 3．下列判断正确的是（ ） A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 二、压轴题 1.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC . （1）求∠AEB 的大小； （2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2．(本题9分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点， PE ⊥AD 交直线BC 于点E. ⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E 的度数； ⑵当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明. 3如图1，△ABC 的边BC 直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且 EF=FP ． O 图 12-1 A 图12-2 P E D C B A
平行四边形证明题
平行四边形证明题 第一篇：特殊平行四边形：证明题 特殊四边形之证明题 1、如图8，在abcd中，e，f分别为边ab，cd的中点，连接de，bf，bd．? （1）求证：△ade≌△cbf． （2）若ad?bd，则四边形bfde是什么特殊四边形？请证明你的结论． fc aeb 2、如图，四边形abcd中，ab∥cd，ac平分?bad，ce∥ad交ab 于e． （1）求证：四边形aecd是菱形； （2）若点e是ab的中点，试判断△abc的形状，并说明理由． 3.如图，△abc中，ac的垂直平分线mn交ab于点d，交ac于点o，ce∥ab交mn于e，连结ae、cd． （1）求证：ad＝ce； （2）填空：四边形adce的形状是． a dmn
4.如图，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be， （1）求证： （2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由 5．如图，在△abc和△dcb中，ab=dc，ac=db，ac与db交于点m． （1）求证：△abc≌△dcb； （2）过点c作cn∥bd，过点b作bn∥ac，cn与bn交于点n，试判断线段bn与cn的数量关系，并证明你的结论． 6、如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef 与ab，cd的延长线分别交于e，f． （1）求证：△boe≌△dof； （2）当ef与ac满足什么关系时，以a，e，c，f为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． f a b e
7. 600，它的两底分别是16cm、30cm。求它的腰长。 (两种添线方法) c 8．如图（七），在梯形abcd中，ad∥bc，ab?ad?dc，ac?ab，将cb延长至点f，使bf?cd． （1）求?abc的度数； （2）求证：△caf为等腰三角形． c b图七f 第二篇：平行四边形证明题 由条件可知，这是通过三角形的中位线定理来判断fg平行da，同理he平行da，ge平行cb，fh平行cb!~ 我这一化解，楼主应该明白了吧!~ 希望楼主采纳，谢谢~!不懂再问!!! 此题关键就是对于三角形的中位线定理熟不!~!~· 已知：f，g是△cda的中点，所以fg是△cda的中位线，所以fg 平行da 同理he是△bad的中位线，所以he平行da，所以fg平行he
北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦
北师大版九年级上学期 第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦 1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． B A O D C E 图2 C B O D 图1 A E 图1 图2 图3
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第 (2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =1 2 ，求22BE DG +的值． 3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． 4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ， A B C D E F 图甲 图乙 F E D C B A F E D C B A 图丙 图4 图5 图6
中考数学超好几何证明压轴题大全
1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状， 并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于 G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什 么特殊四边形？并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中 点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ， FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=31∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地 面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60． E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－1 A ( E ) C O D F C A B D O E
平行四边形经典证明题例题讲解
1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B
连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1
平行四边形综合性质及经典例题
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗
2020年中考数学压轴题精讲：几何证明及几何计算
2020年中考数学压轴题精讲：几何证明及几何计算例题1：如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E． （1）若 1 3 AD DB =，AE＝2，求EC的长； （2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由． 图1 满分解答 （1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC． 所以 1 3 AE AD EC DB ==．所以 21 3 EC =．解得EC＝6． （2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况： ①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余． 因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高． ②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC． 又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG． 所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线． 综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）． 图2 图3 图4 例题2：如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB 交AF于M，作PN//CD交DE于N． （1）①∠MPN＝_______°； ②求证：PM＋PN＝3a； （2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON． （3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．
图1 图2 图3 满分解答 （1）①∠MPN＝60°． ②如图4，延长F A、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、 △EPN′都是等边三角形． 所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a． 图4 图5 图6 （2）如图5，联结OP． 由（1）知，AM＝BP，DN＝CP． 由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB， 得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP． 同理△COP≌△DON，得ON＝OP． 所以OM＝ON． （3）四边形OMGN是菱形．说理如下： 由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）． 所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°． 如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°． 又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON． 于是可得△AOM≌△FOG≌△EON． 所以OM＝OG＝ON． 所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形． 所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形． 例题3：已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形． ①求正方形的ABCD的面积；
特殊平行四边形：证明题
基础篇 特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、 CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD △沿CA方向平移得到A C D ''' △．（1）证明A AD CC B ''' △≌△； （2）若30 ACB ∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由． 7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56 AB AC == ，．点D作DE AC ∥交BC的延长线于点E． （1）求BDE △的周长； （2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ =． 8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． 9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE (1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字) 10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． A Q D E B P C O C B A D A'C' （第19 D'
几何证明压轴题选.doc
儿何体精选 1、如图，在梯形ABCD 中，AB〃CD, ZBCD=90°，且AB=1, BC=2, tanZADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，旦NEDC=NFBC, DE=BF,试判断Z\ECF的形 状，并证明你的结论； (3)在(2)的条件下，当BE： CE=1： 2, ZBEC=135° 时，求sinZBFE 的值. ［解析］(1)过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 2 又tanZADC=2,所以DM =- = 1.即DC=BC. 2 (2)等腰三角形. 证明：因为DE = DF,』EDC = ZFBC, DC = BC . 所以，ADEC竺ZXBFC 所以，CE = CF,ZECD = ZBCF. 所以，ZECF =』BCF + ZBCE = ZECD + ZBCE = ZBCD = 90°即AECF是等腰直角三角形. (3)设BE = k,则CE = CF = 2k,所以EF = 2&. 因为为BEC = 135。, XZCEF= 45°,所以ZBEF = 90°. 所以BF =+(2gkV = 3k k 1 所以sinZBFE = —=-. 3k 3 2、已知：如图，在OABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB 交CB的延长线于G. (1)求证：AADE^ACBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什 么特殊四边形？并证明你的结论. ［解析］(1)..?四边形ABCD是平行四边形, .\Z1 = ZC, AD=CB, AB=CD . ?.?点E、F分别是AB、CD的中点， 1 1 ?.?AE=-AB , CF=-CD . 2 2 ???AE=CF
关于平行四边形的证明题例析
关于平行四边形的证明题例析 平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的证明与研究上有着广泛的应用．例1如图所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分． 分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 证明因为ABCD是平行四边形，所以 AD BC，AB CD，∠B=∠D． 又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而 AE=CF． 所以 Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以 △BEM≌△DFN(SAS)， ME=NF．① 又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以 △MAF≌△NCE(SAS)， 所以MF=NF．② 由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分． 例2如图所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF． 分析AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解． 证明作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而 △ABG≌△HBG(AAS)， 所以AB=HB．① 在△ABE及△HBE中， ∠ABE=∠CBE，BE=BE，
特殊平行四边形：证明题
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞ AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证： 四边形BNDM 为菱形． D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ， 连结BE ， CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请 说明理由． 8．在菱形 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，． 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交 AD 于点Q ．求证：BP DQ =． 9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '（第19 D ' A D M
平行四边形常见证明题(经典)
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 2.如图，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝，那么四边形EFCD 的周长是( ) 3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能 拼成平行四边形的个数( ) 4.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( ) 个个个个 5.如图，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形. 6.以下结论正确的是( ) A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 7．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 8．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 9．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 10．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（） （2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（） （5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（） 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗请说明理由．
中考数学几何证明压轴题
(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别 重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察 或 测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此 弭■若不成 辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥ 延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂 请证 立，请说明理由. A G
初二数学平行四边形压轴：几何证明题
1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B