泛珠三角物理奥林匹克竞赛

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

（2005年1月29日上午）

题1（5分） 光滑平面上有两条长度均为2 l 、而质量为m 的均匀蠕虫A 和B 。它们的起始位置如图所示，蠕虫A 的质心位于

x -y 坐标（0, 0）。蠕虫B 开始慢慢从A 身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角。试用参量l , θ 表示：

当蠕虫B 爬过A 后，两蠕虫各个质心位置的坐标。

题2（13分）

一体积为 0.001m 3 的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下2.0 km 深处放出。不考虑磨擦。气泡温度不变。空气在水面的密度为1.21 kg/m 3，大气压为1.0 x 105

N/m 2

。(提示: ???? ??++=+?a b x dx b

a βαβαββαln 1 )

(a) 求气泡到水面时体积。 （3分）

(b)求在深度 h (h < 2.0 km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式。（7分） (c) 用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度。（3分）

题3（12分）

一质量为0.5M 的人站在一以角速度ω旋转的厚度质量均匀，质量为0.5M ，半径为R 的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为r （< R ） ，并带有10颗质量为0.01M 的石子。

(a) 求整个系统的总角动量。（4分）

为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v ，方向与径向成夹角?.

(b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度， 并找出使角速度减少最多的夹角m ax ?。（4分） (c) 求当他以m ax ?扔光石子后圆台的角速度。(答案可用多项式表达) （4分）

题4（8分）

一均匀长竿长度为L ，质量为M ，在一半径为R (>0.5L )的光滑半球面内处于静止状态。

(a) 求竿在其平衡位置附近作小幅振荡的频率。（4分） (b) 已知小幅振荡时长竿偏离水平线最大偏角为m ax θ。长竿在最大偏角和水平时球面对竿端的力的强度的差

可写成2

max θαMg N =?。求α。（4分）

题5（12分）

?

ω

θ

x y A

一电磁波的电场为)(00t kZ i e x E E ω-=ρρ，其中0E 和ω为实常数, k n

c

~=ω，c 为真空光速，

n ~为介质的介电常数（可以是复数）。

(a) 简单讨论电磁波在介质里传播过程中，当n

~是实数，虚数，或复数时电磁波强度的变化。（4分）

(b) 求磁场B ρ

, 以及Poynting 向量在一个周期里的平均量>?=<)(10

B E S ρρρμ。（4分） (c) dz

S d q ><=ρ是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算q ，并简单讨论当n ~是实数，虚数，或复数时所得结果的物理意义。（3分）

(d) 根据上述结果，电磁波在介质里传播时如果其强度衰减，是否其能量一定有损失?

（1分）

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

（2005年1月29日下午）

题6（12分）

下图中阴影部分为均匀磁场区。磁场方向垂直纸面向外。

(a) 一平面线圈带电流I ，整个线圈在磁场区内，其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的

力。（3分）

(b) 当线圈有部分在磁场区外时，磁场对线圈的力可表达成 F = αwBI , 其中 w 是线

圈与磁场区边缘两交界点间的距离, 其方向则向上或向下（由电流方向决定）。求 α。（3分） (c) 一半圆型线圈半径为 r , 电阻为 R ，质量为 m ，从磁场区内下落。线圈平面始终与

纸面平行，其直边始终与磁场区底部边缘平行，距离为y 。不计线圈自感。导出决定y （

当一半导体被加上相互垂直的电场和磁场时，

与电流方向j ρ垂直的电压H V 。这一现象称为霍尔效应。

(a) 一半导体为W W ?载流子带电荷e ，载流子面密度为 n , 半导体导电率为 σ。另有一负电荷本底使半导体除了边缘以外处处中性。半导体内电场处处均匀。外加磁场B 与薄膜垂直。

当电压 V 加上后，除了产生X-方向的电流j ρ

外，还产生一与电流方向垂直的电

压H V 。 求到达稳态时的霍尔系数V V R H H /≡。（注意电流j ρ

不是已知量）（6分）

最近发现，在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩 m ρ

有关。

在二维系统中载流子会受到一附加的力)(v m F R R ρρρ?=η (Rashba 力)。其中v ρ

为载流子在

二维系统(X-Y)平面的速度，R η为常数。磁矩 m ρ保持与平面垂直，因此z m m )

ρ±=。注意这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。

(b) 设电场处处均匀，其沿X-方向的力远大于R F ρ

，求Y-方向的电流。电流与m ρ是何关系? （6分）

(a)

(b)

(c)

(c) 由于与边界的碰撞，载流子的磁矩方向过了时间τ 之后就变成无序。也就是说每单位长度边界每秒钟有n m /τ 的载流子的磁矩方向成为无序，其中 n m 是还保持

磁矩方向(z )

±)的载流子密度。求边缘区的磁化强度 M ρ。（3分）

题8（23分） 电流变液由绝缘液体（比如硅油）和许多悬浮其中的介电小球组成，是一种因外加电场而从液体形态变成固体形态的物质。如图所示一测试装置，包括两间距为D ，面积为A 的平行导电板，板间充满电流变液。两板间无电压时电流变液

处于液体形态，因此两板可无磨擦地在水平方向相对运动。

两板间加上电压V 后，小球被电场极化并沿电场排成直行。一板相对另一板要平移一

小距离 δx 就需要一力 δf 。切变模量 η 的定义为 x

f

A D δδη=。小球的半径为 R （<< D ）,

介电常数为ε，总体小球占整个电流变液的体积比为 m 。 无小球时液体的介电常数为1。不考虑重力。以下题目要求你将 η 用上述物理量表达出来。

(a) 第一步要通过求解(a1) – (a3)来计算单一小球在一均匀外电

场0E ρ里的极化P ρ。已知球体内的极化是均匀的，方向与0E ρ相同。

(a1) 求在球心位置由极化P ρ

产生的电场。（3分） (a2) 求球体内的总电场。（3分）

(a3) 单个小球极化产生的总电偶极子可表达成00E p ρρ

α=。 求 α。（3分）

(b) 把小球近似当作位于球心的理想电偶极子，并只和0E ρ

有关。如果你没求出(a3)里的

α，你可以当它是已知常数来计算下面的问题。（提示：展开时保留到d 2项，d 是偶极子的长度。）

(b1) 求当两球接触，左右并排和上下排列时（如下图所示）的静电能量。 （4分） (b2) 求当一球与板接触时板对球的静电力。（3分）

(b3) 如下图所示，求当两球上下排列时，上面的球沿水平方向平移一小距离δa 时的

水平回复力。（3分）

(c) 设加上电压后所有小球都排成连续的单行的细柱，连接上下

导电板。根据你(b1)的答案，细柱容易粘在一起吗？只考虑同一柱内最邻近球之间的力，当上板平移了一小距离δx 时, 每根柱最顶端的球仍然粘在板上跟板移动了同样距离。如右图所示，上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最底部的球仍然粘在下板上不动。 求切变模量η.（4分）

0E

ρ0E

ρ

(b1)

(b3)

(b2)

导电板

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2005

Jan. 29th , 2005

Morning Session Marking Scheme

Q1. Original Position of A (center) A 的起始中心位置: (0,0)---- (1分) Original Position of B (center) A 的起始中心位置: (L/2cos θ,-L/2sin θ) --- (1分) Center-of-mass of A+B remains fixed A+B 的重心不变 ---- (1分) Final Position of A (center) A 的最终中心位置: (L/2cos θ,-L/2sin θ) ---- (1分) Final Position of B (center) B 的最终中心位置: (0,0) ------(1分)

Q2.

a. According to the Boyle’s Law 利用理想气体原理,

2211V P V P = 2530]10)1028.91000[(-+???=+=Nm P gh P w h ρ---- (1分)

271097.1-?=Nm ---- (1分)

3335

7

00197.0)10(10

1097.1m m P V P V h h =?==- ---- (1分)

共 (3分)

b. Buoyant Force 浮力,

gV F ρ?= ρρρ-=?w

(w w ρρρρ≈?>>,)

For the tank 钢瓶,

h V V 00ρρ=3

3

10)197.0)(21.1(--=kgm 34.238-=kgm ---- (1分)

h gV E h t ρ?=J J 4331048.1)102)(10)(8.9)(21.2431000(?=?-=- --- (1分)

For the bubble 气泡,

Energy gained = buoyant force part 浮力作功

P ∝ρ00ρρP P b b ?)(00

0P gh P w +=ρρ

---- (1分)

?=Fdh E b

dh P gh V P g P gh P w w h

w )(

)((0

0000

++-

=?ρρρρ

dh gV P gh V gP h

w w ?-+=000

0)(

ρρρ

h gV P gh

P V P w 000

000]ln[ρρ-+=

J )]102)(197.0)(8.9)(21.1(]197ln[)1097.1[(34?-?=

J )3.424710041.1(5-?=

J 510998.0?= ---- (1分)

(if assume 如果假设w ρρ?≈, we have the following modification 我们得到) ?=Fdh E b

dh P gh V P g w h

w )(

00+=?ρρ

]ln[

000P gh

P V P w ρ+= J ]197ln[)1097.1(4?=

J 510041.1?=

共 (7分)

c. For the tank 钢瓶,

t E mv =2

2

1 0

02V E v t

ρ=1

4)

197.0)(21.1()1048.1(2-?=

ms 14.352-=ms ---- (1分)

b E mv =2

2

1 0

02V E v b

ρ=1

5)

197.0)(21.1()10998.0(2-?=

ms 12.915-=ms

or )

197.0)(21.1()

10041.1(25?=

v 15.934-=ms ---- (2分)

共（3分） Q3. a. ∑=i

i i r m I 22221

)01.0(105.0(R r M +M +M = let 取

1R

n r

=> 22)5.06.0(r n M +=

ωI L =22)5.06.0(r n ωM += (4分)

b. 2r m L ω= where M +=)5.06.0(2n M and M =01.0m In the 1st throw, by the conservation of angular momentum, 扔了一石子后，由角动量守恒

)sin ()(1221ωθω++-=r

v

mr r m M L ---- (2分)

2

1sin Mr mvr L θ

ω-=

? For the optimum angle to slow down, 1sin =?θC 090=?θ ---- (1分)

21Mr mvr L -=?ω)1

(2

M r mv Mr L -= ---- (1分)

共（4分）

c. For the 2nd stone 扔第二颗石子后,

212Mr

mvr

L -=ω ---- (1分) where 其中 211)(r m M L ω-= and m M M -=1

)1

1(2

m M M r mv Mr L -+-= ---- (1分)

For the n th stone 扔第n 颗石子后,

∑=---=n i n m i M r mv Mr L 12

)1(1ω ∑=---=1012

10)1(1

i m i M r mv Mr L ω ---- (2分)

共（4分）

Q4. (a) 长竿绕圆心运动。球面对长竿的力通过圆心，力矩为0。---（1分） According to the Parallel Axis Theorem 根据平行轴定理,

2222012

1

)41(Mh ML L R M I I +=-+= ---（2分） Mgh I

T π

2= where 其中 2241L R h -=

2212

121

L h gh

f +=

π

---（1分） 共（4分）

（b ）长竿最大偏角时两端的力分别为At maximum angle the forces on the ends are N N δ±, respectively

)2

11(cos sin 22

max max θθβ-==Mg Mg N ，---（1）

其中where R

L R 2

24/1sin -≡β。

βδθθωcos 2max max 2N Mg Mh -=---（2）

max 20sin θωβδI NL =---（3）

Putting(3) into(2) one gets the same frequency as in (a) 由(3)得N δ。将 (3) 代入 (2) 可得频率，与(a)相同。

长竿水平时两端的力均为At level position both end forces are N’，angular speed is 角速度

为I Mgh /2

max

2θω=。 2sin '2ωβMh Mg N += --- (4)

Finally 最后得βαsin /)4

1

)/(126(

2++=h L 。 Q5.

a. )(0?t kz i e x E E ω-=ρ where 其中 n c

k ~

ω=

Let 令)(ib a c

k +=ω w here 其中 ib a n +=~ a and b are real, a 和 b 为实数

)(0?t c bz i c az i e x

E E -+=ωρ)

(0?t c az

i c z b e x e E --=ωω ---（1分） if 如果 a c

k ω

=

,

)

(0?t c az

i e x

E E -=ωρ 波幅不随传播而变 ---（1分） if 如果 )(ib a c

k +=ω

,

波幅随传播而变 ---（1分）

if 如果 b

k i c ω=,

$0b z i t c E E e xe ωω-

-=u r 波幅随传播而变 ---（1分）

共（4分）

b. E i B ρρ??=

ω1)?(1

)(0t kz i e y ikE i ωω-=

)(0?t kz i e y E k

ωω

-= ---（1分）

)(0?)(1

t c az i c z b e y e E ib a c --+=ωω ---（1分） For complex k, 如k 是复数.

)Re(1*0B E S ρρρ?=μ])(1Re[2122

00c z b e E ib a c

ωμ--=

c

z

b e

E c

a

ωμ22002-

=

---（3分） 共（5分）

c. dz S d q ρ

=c

z b e

E c

b c a ωωμ--=200)2(2

c

z

b e

E c ab ωμω2202

0--= ---（2分） if a or b = 0 当 a 或 0b =时 0q =

d. 不. 当a = 0 但 0≠b 时，波幅随传播而变，但0q =。 No. When a = 0 but 0≠b , the wave amplitude changes but 0q =.（2分）

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

第二部分答案

Q6

（a ） （3分）答案一：把线圈看成无数个小的正方形的线圈叠加的总效果。小线圈的

合力是零，因此总的合力是零。

答案二：将线圈在磁场里移动并不需要做功，因无电磁感应，因此总的合力是零。 答案三：用矢量投影。

（b ） 将线圈在磁场边界分成两半，假想一正负电流。--- （1分）

α＝1 --- （2分） 共（3分）

（c ） 线圈在磁场中运动时，切割磁场的长度

222y r w -= --- （1分）

产生的电流 R Bwv

I = --- （1分） 其中dt

dy

v = --- （1分）

磁场对线圈的作用力 BIw F = --- （1分）

运动方程为mg F dt

y

d m -=22 --- （1分）

综合上面各式，化简为:

0)(42222

2=+-+g dt dy y r mR B dt

y d --- （1分） 共（6分）

Q7

(a)

E nev j σ==, --- （1分） W

V

E = --- （1分） W

eV F H

E =

, --- （1分） eBv F B = --- （1分） 由B E F F =，--- （1分）

可以求出 en

B V V H σ

= --- （1分）

共（6分）

（b ）y 方向，0=+=-y y j j j , 0≠spin j

spin j 实际上是自旋电流，而不是电荷电流。

2

2nWe

mV

neW V

e m e mv e F E j R R x

R Y

y y ησσσησησσ=

?

=

=

=

=

电流方向一左一右，由自旋是上还是下决定。共（6分） （c ）

达到平衡时，退激化的电子等于电流补充进来的电子

e

j n y m

=

τ

--- （2分）

3

22Wne V

m m n M R m τησ=

= --- （1分）

共（3分） Q ８ (a)部分 A1:

Surface charge density 电荷面密度θσcos P = --- （1分）

??=

????=

π

π

εφθθθθπε20

2

2

2

03cos sin cos 24P

d R d R P E p --- （2分） 共（3分） A2:

E E p E E 3

1

300

0--

=-

=εε， --- （2分） 可得02

3

E E +=

ερ

--- （1分） 共（3分） A3:

E P 0)1(εε-=--- （1分）

002)1(3E +-=εεε--- （1分）

03032

1434E R P R p +-==εεπεπ

2

1

43

0+-=εεπεαR --- （1分） 共（3分） (b) 部分 B1:

左右 302

220232]4121[42R p d

R R Q W πεπε=+-= ----（2分）

上下 3

02

16R

p W πε-= ----（2分） 共（4分）

B2:(电像法image charge) ----（1分）

30216R

p W πε=, ----（1分） 4

02

323)2(R p R W F πε=??= ----（1分） 共（3分） B3：

2

502222222021283))2(1)2(142(4x R p x

d R x d R x R Q W πεπε-=++-+--+=

----（1分） a R

p dx dW F δπε5

02

643=-= ----（2分） 共（3分）

（c ）部分：左右排列时，能量为正，与距离三次方成反比，不易粘在一起。----（1分）

细柱的体积：R D

R 2343?π，总体小球的体积：ADm

细柱的根数：R

D R ADm

2343?π ----（1分）

x D

R a δδ2=, F f =δ----（1分）

220)()21(49D V m x A f D +-==εεεδδη2

020)2

1(49E m +-=εεε----（1分）

共（4分）