西师版六年级上册《数学》知识点

一 分数乘法

1.⑴分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。分数乘整数，用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。结果不是最简分数的，要约分，为了简化计算，可以先约分，再计算。 ⑵求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用这个数×几分之几。一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。结果不是最简分数的，要约分，为了简化计算，可以先约分，再计算。分数乘整数可以看作分数乘分母为1的分数。 ⑶两个数相乘，如果一个因数等于0，那么积等于0。两个大于0的数相乘，如果一个因数大于1，那么积大于另一个因数；如果一个因数等于1，那么积等于另一个因数；如果一个因数小于1，那么积小于另一个因数。

2.⑴“求一个数的几分之几是多少”的应用题的解题方法是：用乘法计算，即用这个数×几分之几。 ⑵“连续求一个数的几分之几是多少”的应用题的解题方法是：第一种：用已知数量(原始单位“1”的量)依次乘已知各分率。第二种：先把已知各分率相乘，求出所求数量占已知数量(原始单位“1”的量)的分率，再用已知数量(原始单位“1”的量)乘这个分率。

⑶“按原价的几分之几出售”的应用题的解题方法是：商品的现价=原价×几分之几；降低的价钱=原价-现价=原价-原价×几分之几=原价×(1-几分之几)。几折就是零点几或十分之几。

二 圆

1.⑴①圆是由一条曲线围成的图形。通常用圆规画圆，用圆规的一只脚固定在一个点上，另一只脚绕着这个点旋转1圈，就能画出一个圆。 ②画圆时，固定的点是圆心，圆心一般用字母O 表示。圆心决定圆的位置。 ③圆心到圆上任意一点的线段是半径，半径一般用字母r 表示。圆有无数条半径；在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等；画圆时，圆规的两只脚之间的距离等于半径的长度；半径决定圆的大小。④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径一般用字母d 表示。圆有无数条直径；在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等；圆中最长的线段是直径；直径也决定圆的大小。

⑤在同圆或等圆中，直径的长度等于半径的长度的2倍，半径的长度等于直径的长度的一半，用字母表示为：d=2r 或r=

2d 。⑥圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。

⑵①顶点在圆心的角是圆心角。圆上两点之间的部分叫做弧。 ②由圆心角的两条边和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。扇形的大小与扇形的半径的长短和圆心角的大小有关；在同一个圆中，扇形的大小与扇形的圆心角的大小有关。扇形是轴对称图形，扇形有1条对称轴，扇形的圆心角的角平分线所在的直线是扇形的对称轴。半圆是圆心角为180°的扇形。

2.⑴围成圆的曲线的长叫做圆的周长。【圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，圆周率用希腊字母π表示。π是一个无限不循环小数(无理数)，π=

3.1415926…，计算时，通常保留两位小数，π≈3.14。】圆的周长等于直径的π倍；圆的周长等于半径的2π倍。圆的周长的计算

公式是：圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，用字母表示为：C=πd 或C=2πr ，圆的周长的长短与圆的半径的长短或直径的长短或面积的大小有关。直径=圆的周长÷圆周率；半径=圆的周长÷圆周率÷2。

⑵扇形的周长的计算公式是：扇形的周长=圆的周长×

360n +半径×2；半圆的周长的计算公式是：半圆的周长=圆的周长的一半+直径。

3.⑴①圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆的面积等于以半径为边长的正方形的面积的π倍，也就是圆的面积等于半径的平方的π倍。圆的面积的计算公式是：圆的面积=半径的平方×圆周率，用字母表示为：S=πr 2，圆的面积的大小与圆的半径的长短或直径的长短或周长的长短有关。半径=圆周率圆的面积 。

②把一个圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似平行四边形，这个近似平行四边形的底相当于圆的周长的一半，高相当于圆的半径，因为平行四边形的面积=底×高，所以圆的面积=

21C ×r=

21×2πr ×r=πr 2。 ③周长都相等的所有四边形中，正方形的面积最大；周长都相等的所有平面图形中，圆的面积最大。面积都相等的所有四边形中，正方形的周长最短；面积都相等的所有平面图形中，圆的周长最短。

⑵①扇形的面积的计算公式是：扇形的面积=圆的面积×

360n ；半圆的面积的计算公式是：半圆的面积=圆的面积的一半。

②圆环的面积的计算公式是：圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积=外圆的半径的平方×圆周率-内圆的半径的平方×圆周率=(外圆的半径的平方-内圆的半径的平方)×圆周率，用字母表示为：S 圆环=S 外-S 内=πr 2外-πr 2内=π(r 2外-r 2内)，其中外圆的半径=内圆的半径+环宽，外圆的直径=内圆的直

径+环宽×2。

③求一个不规则图形的面积，可以将其转化为求一个规则图形的面积，或将其转化为求几个规则图形的面积的和或差。

三 分数除法

1.⑴①乘积是1的两个数互为倒数。例如：因为85×58=1，所以85与58互为倒数，85的倒数是58。因

为113×311=1，所以113与311互为倒数，113的倒数是311。因为1×1=1，所以1与1互为倒数，1的倒数是1。因为0乘任何数都不等于1，所以0没有倒数。

②求一个非0数的倒数，只要把这个非0数的分子和分母交换位置就可以了。例如：

94的倒数是49，381的倒数是38，27的倒数是271，19100的倒数是10019，294的倒数是229，3.65的倒数是7320，a 的倒数是

a 1(a ≠0)。 ③0没有倒数；-1和1的倒数等于它本身；小于-1的数和大于0且小于1的数的倒数大于它本身；大于-1且小于0的数和大于1的数的倒数小于它本身。

⑵①加减法的关系：加数+加数=和，一个加数=和-另一个加数；被减数-减数=差，被减数=差+减数，减数=被减数-差。乘除法的关系：因数×因数=积，一个因数=积÷另一个因数；在没有余数的除法里，被除数÷除数=商，被除数=商×除数，除数=被除数÷商；在有余数的除法里，余数小于除数，被除数=商×除数+余数，除数=(被除数-余数)÷商，商=(被除数-余数)÷除数，余数=被除数-商×除数。

②分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算；除法是乘法的逆运算，0不能作除数。分数除以非0整数，等于分数乘这个整数的倒数；一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数；甲数除以乙数(乙数不为0)，等于甲数乘乙数的倒数。

③两个数相除(除数不为0)，如果被除数等于0，那么商等于0。两个大于0的数相除，如果除数大于1，那么商小于被除数；如果除数等于1，那么商等于被除数；如果除数小于1，那么商大于被除数。

2.⑴“求一个数的几分之几是多少”的应用题的这个数(单位“1”的量)是已知的，其解题方法是：这个数×几分之几；“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的这个数(单位“1”的量)是未知的，其常用解题方法是：先设这个数为x 再列方程解答。

⑵“求比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少”的应用题的这个数(单位“1”的量)是已知的，其解题方法是：这个数×几分之几±几；“已知比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少，求这个数”的应用题的这个数(单位“1”的量)是未知的，其常用解题方法是：先设这个数为x 再列方程解答。

⑶“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的应用题的这个数(单位“1”的量)是已知的，其解题方法是：这个数±这个数×几分之几=这个数×(1±几分之几)；“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的应用题的这个数(单位“1”的量)是未知的，其常用解题方法是：先设这个数为x 再列方程解答。

四 比和按比例分配

1.⑴①求两个数量之间的关系要用一个数除以另一个数，我们还可以把这两个数量之间的关系用比

来表示。例如：5÷4可以写成5∶4或

45，都读作“5比4”。两个数相除又叫做这两个数的比。在5∶4或4

5中，5是比的前项，“∶”或“—”都是比号，4是比的后项。两个量的比可以是同类量的比，也可以是不同类量的比；比有顺序；比没有单位名称。 ②比的前项除以后项所得的商，是这个比的比值。例如：求比值300∶12=300÷12=25，

15

14∶1021=1514÷1021=1514×2110=94，45=5÷4=45，4∶5=4÷5=0.8。比值可以是整数、分数或小数。 ③比、除法、分数之间的联系是：比的前项相当于除法的被除数和分数的分子；比号相当于除法的除号和分数的分数线；比的后项相当于除法的除数和分数的分母，比的后项、除数和分母都不能为0；比值相当于除法的商和分数的分数值。比、除法、分数之间的区别是：比是一种关系；除法是一种运算；分数是一种数。比、除法、分数之间的关系可以用字母表示为a ∶b 或

b a =a ÷b=b a (b ≠0)。

⑵比的前项和后项同时乘或除以相同的非0数，比值不变。这叫做比的基本性质。前项和后项只有公因数1的比叫做最简整数比。把一个比化成同它相等的最简整数比的过程叫做化简比。化简比的依据是比的基本性质。化简比的方法是：

①化简整数比，用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。例如：化简比12300=121212300÷÷=125。 ②化简分数比，通常先用比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数将分数比转化成整数比。 例如：化简比1514∶1021=(1514×30)∶(1021×30)=28∶63=(28÷7)∶(63÷7)=4∶9。 ③化简小数比，通常先用比的前项和后项同时乘10或100或1000或……将小数比转化成整数比。例如：化简比2.75∶1.5=(2.75×100)∶(1.5×100)=275∶150=(275÷25)∶(150÷25)=11∶6。

2.把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫做按比例分配。“按比例分配”的应用题的常用解题方法是：先用“已知的数量÷已知的数量对应的份数”求出每份的数量，再用“每份的数量×未知的数量对应的份数”求出未知的数量。

五 图形变化和确定位置

1.能够完全重合的两个图形的大小和形状完全相同。图形放大或缩小得到的图形与原图形相比，大小不同，形状相同。在方格纸上将一个多边形放大或缩小，要先数出这个多边形各边的格数，再计算出这个多边形各边按相同的比放大或缩小后的新多边形各边的格数，最后画出新多边形。注意：斜边的放大或缩小可以转化成直角三角形的两条直角边的放大或缩小；角的大小(度数)不能放大或

缩小；如果一个多边形的各边按n ∶1放大即各边放大到原来的n 倍，那么这个多边形的周长按n ∶1放大即周长放大到原来的n 倍，面积按n 2∶1放大即面积放大到原来的n 2倍；如果一个多边形的各边按1∶n 缩小即各边缩小为原来的n 1，那么这个多边形的周长按1∶n 缩小即周长缩小为原来的n 1，面积按1∶n 2缩小即面积缩小为原来的2

n 1。 2.比例尺是图上距离与实际距离的比，就是

实际距离图上距离=比例尺；实际面积图上面积=比例尺2。比例尺按表示的形式可以分为数字比例尺、线段比例尺和文字比例尺三类。比例尺按图上距离与实际距离的大小关系可以分为放大比例尺、等大比例尺和缩小比例尺三类。图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。

3.⑴确定参照点后，根据物体相对于参照点的方向和距离就能确定物体的位置。 ①根据平面图描述物体的实际位置，要说出物体相对于参照点的方向和实际距离。注意：除东、南、西、北四个方向外，其他方向通常说成南(北)偏东(西)多少度的方位角。

②画平面图确定物体的图上位置，要先画出以参照点为原点的十字线并标注上“北”右“东”和比例尺，再根据物体相对于参照点的方向和图上距离画出线段并标示方位角和物体。 ⑵①根据平面图描述行走路线，要从起点开始依次说出从一个地点向什么方向行走多长的实际距离到达下一个地点。

②画行走路线图，要先画出方向标和标注比例尺，再根据各个物体相对于参照点的方向和图上距离依次画出行走路线图的各条线段并标示方位角和物体。

六 分数混合运算

1.⑴分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同。 ①在没有括号的综合算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算。 ②在没有括号的综合算式里，如果既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，再算加减法。 ③在有括号的综合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。

⑵我们学过的运算律和运算性质，在分数运算中同样适用。

①两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。这就是加法交换律。如果用a 和b 表示两个数，那么加法交换律可以表示为：a+b=b+a

②3个数相加，先把前两个数相加，再加第3个数；或先把后两个数相加，再加第1个数，和不变。这就是加法结合律。如果用a ，b ，c 表示三个数，那么加法结合律可以表示为：(a+b )+c=a+(b+c )

③减法的运算性质可以表示为：a-b-c=a-(b+c )；a-b+c=a-(b-c )

④两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这就是乘法交换律。如果用a和b表示两个数，那么乘法交换律可以表示为：a×b=b×a

⑤3个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第3个数；或先把后两个数相乘，再乘第1个数，积不变。这就是乘法结合律。如果用a，b，c表示三个数，那么乘法结合律可以表示为：(a×b)×c=a×(b×c)

⑥除法的运算性质可以表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)；a÷b×c=a÷(b÷c)

⑦两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数分别与这个数相乘，再将两个积相加，结果不变。这就是乘法分配律。如果用a，b，c表示三个数，那么乘法分配律可以表示为：(a+b)×c=a×c+b×c

2.分数应用题可以分为如下三类：

⑴“求一个数是另一个数的几分之几”的应用题；“求一个数比另一个数多(或少)几分之几”的应用题。

⑵“求一个数的几分之几是多少”的应用题；“求比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少”的应用题；“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的应用题。

⑶“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题；“已知比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少，求这个数”的应用题；“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的应用题。

七负数的初步认识

1.⑴①在标准大气压下，规定水结冰时的温度是0℃，水沸腾时的温度是100℃。零上3摄氏度记作+3℃；比0摄氏度低的温度，我们用带“-”号的数表示，零下4摄氏度记作-4℃。表示海拔高度时，规定海平面的高度为0m。比海平面高8844.43m记作+8844.43m；比海平面低155m记作-155m。

②像+0.72，+3，+8844.43，…这样大于0的数都是正数。正数有无数个，1不是最小的正数，最大的正数和最小的正数都不存在。“+3”读作“正三”，“+”是正号，通常“+”号省略不写。像-0.098，-6，-155，…这样小于0的数都是负数。负数有无数个，-1不是最大的负数，最大的负数和最小的负数都不存在。“-0.098”读作“负零点零九八”，“-”是负号，“-”不可以省略不写。0既不是正数，也不是负数。

⑵正数和负数可以用来表示相反意义的量。如果规定用“+”分别表示向东走，向北行驶，体重增加，盈利，上升，收入，逆时针旋转，往银行存入……那么用“-”分别表示向西走，向南行驶，体重减少，亏损，下降，支出，顺时针旋转，从银行取出……

八可能性

(略)