变量间的相关关系与统计案例(教师版)

变量间的相关关系与统计案例

【知识要点】 1.相关关系的判断

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系．

(2)样本数据),(i i y x (i ＝1,2，…，n )的相关系数2

1

2

1

1)()()

)((y y

x x y y

x x r i

n

i i

n

i i

i

n

i ----=

∑∑∑=== 当0

>r 时，两变量正相关，当0

2.回归方程的求法

求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．

若变量x 与y 具有线性相关关系，有n 个样本数据),(i i y x (i ＝1,2，…，n )，则回归方

程a x b y

+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

11

222

1

1

()(),()∧∧∧

====-∑--===-∑--∑∑n

n

i i i i i i n

n i i

i i x y nx y x x y y b a y b x x x x nx 其中i n i x n x ∑==1_

1，i n

i y n y ∑==1

_1，),(__y x 称为样本点的中心．

【重点】 回归直线a x b y

+=必过样本点的中心),(__y x ，这个结论既是检验所求回归

直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．

3．独立性检验

设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为{}x 1，x 2和{}y 1，y 2，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：

利用随机变量2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

【例题解析】

题型一变量间的相关关系

【例1】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3

解析：选 A 易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2＜r4＜0＜r3＜r1.

【变式1】四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y

^

＝2.347x－6.423；

②y与x负相关且y

^

＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且y

^

＝5.437x＋8.493；

④y与x正相关且y

^

＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

解析：选D 正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.

相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．【例2】(2014·湖北高考)根据如下样本数据

x345678

y

4

.0

2

.5

－

0.5

.5

－

2.0

－

3.0

得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )

A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0

解析：选B 由表中数据画出散点图，如图，

由散点图可知b<0，a>0，选B.

【例3】对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为y

^

＝0.8x－155，则实数m的值为( )

x

1

96

1

97

2

00

2

03

2

04

y1367m

．8.5解析：选A x＝

196＋197＋200＋203＋204

5

＝200，y＝

1＋3＋6＋7＋m

5

＝

17＋m

5

.

样本中心点为

?

?

??

?

200，

17＋m

5

，将样本中心点

?

?

??

?

200，

17＋m

5

代入y

^

＝0.8x－155，可得m ＝8.故A正确．

题型二回归方程的求法

【例4】某城市理论预测2011年到2015年人口总数与年份的关系如下表所示

(1)请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出关于的线性回归方程；

(2)据此估计2016年该城市人口总数.

参考公式：1

22

1

,

n

i i

i

n

i

i

x y nxy

b a y bx

x nx

=

-

=

-

==-

-

∑

∑

解：(1)210

,

x y

==，…… 2分

∑

=

5

1

i

i

i

y

x= 0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，∑

=

5

1

i

2

i

x=22222

0123430

++++=

1

2

2

1

??

? 3.6

n

i i

i

n

i

i

x y nx y

b a y bx

x nx

=

=

-

∴==-=

-

∑

∑

=3.2，故y关于x的线性回归方程为

第19题图

3.2.2.1.y

?=3.2x+3.6 (2)当x=5时，y

?=3.2*5+3.6即y ?=19.6 据此估计2016年该城市人口总数约为196万.

【例5】某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）试估计平均获益率；

（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：

（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧

∧

=+y b x a ； （ⅱ）若把回归方程∧

∧

=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.

参考公示：1

1

2

2

2

1

1

()()

,()

∧

∧∧

====-∑--=

=

=-∑--∑∑n

n

i i

i i i i n

n

i i

i i x y nx y

x x y y b a y b x x x x

nx

解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55， 取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，

平均获益率为

0.050.100.150.200.250.250.350.300.450.100.550.050.275?+?+?+?+?+?=

（Ⅱ）（i ）

12

21

50

0.10,0500

∧

∧∧==--∴=

==-=-=-∑∑n

i i

i n

i i x y nx y

b a y b x x nx

则 6.00.10(40)-=--y x 即0.1010.0=-+y x

（ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为0.1010.0=-+y x ，则保费获益为

()(20)(0.1010.0)=+-+f x x x 万元，

22()0.182000.1(40)360=-++=--+f x x x x

当40=x 元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获益为3600.275=99?万元.

题型三 独立性检验

【例6】为考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：

计 07

根据以上数据，则种子经过处理与是否生病________(填“有”或“无”)关． 解析：在假设无关的情况下，根据题意K 2

＝

n ad －bc 2

a ＋b

c ＋

d a ＋c

b ＋d

≈0.16，

可以得到无关的概率大于50%，所以种子经过处理跟是否生病有关的概率小于50%，所以可以认为种子经过处理与是否生病无关．

答案：无

【例7】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：

喜欢“应用统计”

课程 不喜欢“应用统计”

课程

总计 男生 20

5

25 女生 10 20

30 总计

30 25

55

(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．

下面的临界值表供参考：

P (K 2

≥k )

0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式：K 2

＝

n ad －bc 2

a ＋b

c ＋

d a ＋c

b ＋d

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )

解：(1)由公式K 2＝

55×20×20－10×5

2

30×25×25×30

≈11.978>7.879，

所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．

(2)设所抽样本中有m 个男生，则630＝m

20，得m ＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，

分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，G 1，G 2.从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，B 4)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，(G 1，G 2)，共15个，

其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，

G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，共8个．

所以恰有1个男生和1个女生的概率为8

15

.

【变式1】经过对计量2K 的研究，得到了若干个临界值如下：

当2K 的观测值 3.841K 时，我们（ A ）

A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提可认为A 与B 有关

B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提可认为A 与B 无关

C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提可认为A 与B 有关

D. 没有充分理由说明事件A 与B 有关系

【变式2】某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分150分）进行分析，按照不小于120分为优秀，120分以下为非优秀的标准统计成绩，已知从全班100人中随机抽取1人数学成绩优秀的概率为3

10

，调查结果如下表所示.

（1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，问是否有95%的把握认为“数学成绩与班级有关系”； （3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为6或10的概率.