弯矩和扭矩教程

梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。( 如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 02 1 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） ()()21 11 12 1qx x M qx x F S -=-= BC 段：（ 2 322l x l ≤≤） 剪力图 弯矩图

()()? ?? ?? -?+??? ??-??-==-= 285428 21852222l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 12,8== AB 段作用有均布荷载，所以 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

弯矩图绘制方法

弯矩图绘制方法 1、基本方法： 采用“截面法”，运用静力平衡方程式（ΣX=0、ΣY=0、ΣM=0等）求解控制截面的内力（弯矩、剪力）。控制截面的内力求解后再勾绘弯矩图。 1）确定内力符号的规律为：“左上剪力正、左顺弯矩正”；“右下剪力正、右逆弯矩正”。 2）确定内力数值的规律为：剪力Q等于截面任意一侧所有外力沿梁轴垂直方向所作投影的代数和；弯矩M等于截面任意一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 2、勾绘弯矩图时线型处理： 除构件受“均布荷载”作用、其弯矩图是曲线外，其余均为直线。 3、弯矩图所画位置： 1）正弯矩画在杆件的下方，负弯矩画在杆件的上方。 2）使杆件下部受拉的弯矩为正,上部受拉的弯矩为负。 3）弯矩图画在杆件纤维受拉的一侧。 4、剪力图所画位置： 1）正剪力画在杆件的上方； 2）负剪力画在杆件的下方； 3）使杆件截面顺时针方向转动的剪力为正剪力； 4）使杆件截面逆时针方向转动的剪力为负剪力； 5）一般情况下，剪力与杆件所受外力的方向相反。 5、弯矩图叠加时注意事项： 1）叠加时以基线为标准，不是以其中某直线或斜线为基准； 2）叠加时要注意正负弯矩的抵消，应先计算每个控制截面的弯矩值，然后勾绘。 6、刚结点会在节点处产生负弯矩，铰结点不会在节点处产生负弯矩。在绘制弯矩图时，只要杆件端部是铰结点，则该节点处的弯矩必为零！ 注意：弯矩M、剪力Q、分布荷载q之间的关系在绘制内力图上的应用： 1、设梁上作用有任意的分布荷载q，规定q向上为正、向下为负； 2、若梁上某段没有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条平行于梁轴的直线，剪力Q为一常数； 2）该段弯矩图为一条直线，分以下3种情况： (1)当剪力Q=常数>0时，弯矩图为一下斜直线（\）； (2)当剪力Q=常数<0时，弯矩图为一上斜直线（/）； (3)当剪力Q=常数=0时，弯矩图为一水平直线（—）； 3、若梁上某段作用有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条斜线，分布荷载q为一常数； 2）分布荷载q为一常数，分以下3种情况： (1)当分布荷载q=常数>0时，Q图为一上斜直线（/）,弯矩M图为上凸曲线（∩）； (2)当分布荷载q=常数<0时，Q图为一下斜直线（\）,弯矩M图为下凸曲线（∪）； 4、在剪力Q=0处，弯矩M有极值。即在剪力Q=0的截面上，弯矩M有极值（极大或极小）。