优化问题的数学模型及基本要素

第1章 优化设计

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1-1 优化设计

1-1-1 最优化 (, )

所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。( )

结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。( ) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 ()

要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分( )。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。( , , , )

数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。( ) 1-1-3 优化设计

下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。

例1-1 设计一个体积为53

的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。

分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。

传统设计方法:

首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3

5m 的设计要求，则有以下多种设计方案:

如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。

最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。

机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图等环节。传统分析通常是在调查分析的基础上，参照同类产品，通过估算、验算、类比或试

验等方法来确定产品的初步设计方案。然后对产品的设计参数进行强度、刚度和稳定性等性能的分析计算，检查各项性能指标是否满足设计要求。若不能满足要求，则根据经验或直观判断对设计参数进行修改。因此，可以说整个传统设计过程是人工“试凑”和定性分析比较的过程。实践证明，按照这种方法得出的设计方案，有较大地进一步改进和提高的余地。当然，传统设计中也存在着“优选”的思想。如上面例题，设计人员可以在有限的几种可行的设计方案中，分析评价出较好的方案。由于传统的设计方法受到经验、计算方法和计算手段等条件的限制，一般不可能得到最佳的设计方案。 优化设计方法:

在优化设计中，该问题可以用数学的方法描述为：在满足包装箱的体积3

5m abh =，长度m a 4≥，00

>>h b 的限制条件下，确定参数a ，b 和h 的值，使包装箱的表面积

)(2ha bh ab s ++=达到最小。根据这样的描述，可以建立一个优化的数学模型，然后选择

适当的优化方法和计算程序，在计算机进行数值迭代、求解，最后得到这个数学模型的结果是m a 4=，m h b 1180.1==，2

3885.20m s =。用优化方法得到的解，从理论上可以证明是所有可能解中的最优解。

机械产品的优化设计，就是把最优化方法（最优化理论 + 计算机）引入机械设计领域，为设计提供一种新的科学设计方法，使得在解决复杂设计问题时，不用逐个尝试就能从所有可能的设计方案中找到尽可能完善的或最合适的设计方案。应用优化设计方法，可以缩短设计周期，提高设计精度和设计质量，获得显著的技术与经济效益。例如对具有十个变数挡的机床主轴箱进行优化设计，与传统设计相比，中心距可以减少16.5%；如果对整体结构进行优化设计，与传统设计相比，简单结构可以节约材料约7%，较复杂结构可以节约材料约20%，复杂结构可以节约材料约35% - 40%。另据有关资料介绍，美国的一个飞机制造公司采用最优化方法对具有450个设计参数的飞机机翼进行设计，使其重量减轻了35%。一般来说，所涉及的因数越多，设计对象越复杂，优化设计取得的效果就越显著。

最后，可以用二句简单的话来描述传统设计和优化设计的特点。前者凭经验“试”或者“凑”，而后者有目的的去“寻”或者去“找”。

例1-2分别采用传统的和优化的方法，设计一盛液体、体积为V 、液面高度为H 、璧厚为T 的塑料盆。（该盆的产量很大）（p2~7）

图1-1

传统设计：凭直觉，我们选择盆的截面形状为矩形，见图1-1。假定盆的璧厚T 相对于

长和宽很小, 液体的体积就可以写成

V bLH = (1.1) 我们可以任意地选择一个b 值, 然后代入式 (1.1)，就可以得到相应的L 值，这样的设计完全满足要求，但是有无穷多种方案。

优化设计：在进行优化设计时，我们仅考虑相对简单的情况，即忽略应力、振动、变形和重量等因素，只考虑价格。换句话说，设计盆的几何尺寸，在满足一定的条件下使盆的造价最低。

为了达到盆的造价最低的目的，首先来分析它的价格构成：

t l m C C C C =++ (1.2) 其中，t C 设备费，l C 是人工费，m C 是材料费。在式(1.2)中，设备、人工费用与盆的几何形状及材料没有关系，只有材料的价格与之有关。对于矩形盆，材料的价格为

(22)m C c bl bH lH T =++ （1.3a ） 其中, c 是单位体积材料的价格; H 和T 是给定值; b 和L 是盆的几何尺寸,需由设计给出。现在设计的目的就是，要选择合适的材料及几何尺寸b 和L ，使式（1.3a ）表示的造价达到最小值。

由公式(1.1) 和（1.3a ）可以消去一个非独立变量，如L 得到（1.3b ）

2(

2)m V V C c bH T H b

=++ （1.3b ） 使式（1.3b ）达到最小可从二方面考虑：第一，选择c 最的材料；第二，确定使（1.3b ）达

到最小的b 。由下面步骤得到

22()0,m opt C V

c T H b b b

?=-==? 将b 值代入式（1.1），则

opt opt opt V l b Hb =

= 从造价最低的角度考虑，最优设计，即造价最低，的矩形是正方形，最低造价是

()(

m opt V

C c T H

=+ （1.3c ） 在实际应用中,对盆的放置空间还是有限制的, 如它只能放在二个结构的中间 （见图1.2），即对尺寸的限制就是

max max ,b b l l ≤≤ （1.4）

显然，max b 和max l 的值可能会影响优化设计的结果。如果max b 和max l 都等于或大于

足空间的限制条件了。

图1-2 在做优化设计时，我们先假定盆的几何形状是传统的矩形，那么其他形状盆的造价在满

足设计要求的前提下是否会更低呢？我们发现，圆形盆可能会出现这样的结果，来分析一下。 对于圆形盆（图1-2），其造价为 2

(

)4

m D C c DH T ππ=+ (1.5a)

除了D 以外，式中的其他项均定义过，同样假定T 远远小于D 。那么圆形盆的体积就可以表示成

2

()4

D V H π= （1.6）

由式 (1.5) 和 (1.6) 消去D 得

(

m V

C c T H

=+ (1.5b) 比较式（1.3c ）正方形盆的造价和 (1.5b) 圆形盆的造价，可以发现，显然后者要低。如果圆形盆在放置时也受到限制，则形状就会变成图1.2所示。

1-2 优化设计的基本内容和方法 ( )

1-2-1 引例 ()

如何进行优化设计，下面以一个引例来进行说明。

例1-3 如图1-3，一中心受压的管柱，所承受的压力N P 22680=，柱长

M P a L 41003.7?=，密度3

6/10768.2cm g -?=ρ，许用应力MPa 140)[=σ，截面中心

线直径（平均直径）2/)(10D D D +=，壁厚为T 。对该管进行最优设计，在保证强度和稳定性的条件下，寻找一组参数D 和T ，使管柱的重量最轻。

图1-3 图1-4

分析 管的重量表达式为 DT DT L W ππρ703.0==，显然，它是变量D 和T 的函数，把它称为该优化问题的目标函数；D 和T 称为设计变量。现在，优化设计的任务就是，找到一组设计变量D 和T ，使目标函数),(T D W 达到最小值，并满足以下条件： （1） 压杆的强度条件

→≤][σσ 014022680

≤-DT

π （2） 压杆的强稳定性条件 →≤e

σσ 0254

81003.7226802

22

6≤??-D DT ππ 其中，欧拉临界应力)(8222

2T D L E

e +=πσ（二端铰支杆），由于T D >>可将2T 忽略不计。

（3） 局部稳定性条件

→≤c

σσ →≤?-010812.2226804

D

DT π 简化成 005.0≤-T

其中，局部稳定性临界应力D

ET

c 4.0=σ （4） 工艺、几何尺寸限制 09.8,0,

01.0≤-≥≤-D D T

以上选择设计变量、确定目标函数和约束条件的过程称为建立优化问题的数学模型。接下来的工作就是求解数学模型，得到问题的最优解。求解数学模型可以用解析法、图解法和各种优化算法。对于这个简单问题，可以采用图解法来求。

如图1-4，分别以设计变量D 和T 为坐标轴，建立一个二维设计空间。空间中的任何一点都表示一个设计方案（即一组D 和T ）。把所有的约束条件取等式后（极限情况），均画在设计空间内，并标明满足约束的区域。称满足所有约束的区域为可行域，可行域中的任何一个点都代表一个可行的设计方案。显然，优化设计的目的就是要在设计空间的可行域内找到目标函数值最小的点，这一点对应的设计方案就是最优设计方案。为此，作目标函数系列等值线 ,2,1==i C W i

如814.1,722.2==W W 等，越靠近原点，W 值越小。从

图1-4可以看到，在1.0=T 和c

σσ=二条曲线的相交处A 点{}8.128,0.1T

cm ，W 的

值达到最小，为kg W 814.1=。因此，设计变量取8.128,0.1D T == 可以使杆在满足各种限制条件下，其重量达到最轻。 1-2-2 授课内容

从上面的引例可以看到，解决一个优化设计问题，包括二部分的工作，一是把实际问题用数学模型（表达式）来描述；二是用适当的数学方法对数学模型进行求解。因此，本课的授课内容主要有：

（1） 建立数学模型 ( ) 由于没有统一的方法来建立数学模型，只有通过一些例子来说明； （2） 相关术语及数学概念 ( ) 介绍与数学模型相关的术语以及涉及到的数学概念和理

论；

（3） 优化算法 () 介绍求解优化数学模型的各种数学方法；

解析法( )：无约束优化问题；等式约束优化问题，不等式约束优化问题；

数值法( )：求解一维优化问题，多维无约束优化问题，多维约束优化问题的各种解

法。

（4）算法框图及编程目前，虽然可以从书本上、网上甚至软件销售商处可以获取很多优化的软件，但作为初学者，认真学习和掌握各种优化算法的内容、编程和应用有极大好处。可以说，学习优化课程，如果自己不动手编程或在计算机上运行程序，就掌握不了这门课。( & )

（5）介绍机械优化设计实例( )

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