2019长春高三一模数学理科

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数(13)(3)i i -+-=

A. 10

B. 10-

C. 10i

D. 10i - 2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M

N M =的集合N 的个数为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 3.函数()sin()sin 3

f x x x π

=++的最大值为，

A.

B. 2

C.

D. 4

4.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数的是

A. ||1y x =+

B. 2

y x -= C. 1

y x x

=

- D. ||2x y = 5.已知平面向量a 、b ，满足||||1==a b ，若(2)0-?=a b b ，则向量a 、b 的夹角为 A. 30? B. 45? C. 60? D. 120? 6.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A. 3- B. 5- C. 3 D. 5

7.在正方体1111ABCD A BC D -中，直线11AC 与平面11ABC D 所成角的正弦值为 A. 1 B.

2 C.

2

D. 12

8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，

则甲被分到A 班的分法种数为，

A. 6

B. 12

C. 24

D. 36 9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为

X Y

A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，

D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 10

11.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、

B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐

进线方程为，

A. y x =±

B. y =

C. y =

D. 2y x =±

12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是 A. c b a >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.24log 4log 2+= .

14. 若椭圆C 的方程为22

134

x y +=，则其离心率为 . 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S = .

16.

则该三棱锥的表面积为 .

三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)

在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2

b a C

c =+

. (1)求角A ；

(2)若3AB AC ?=,求a 的最小值.

18. (本小题满分12分)

在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=?,E 是AD 的中点. (1)求证: BE ⊥平面PAD ；

(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.

19. (本小题满分12分)

平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为2

2(0)y px p =>.

(1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2

||||||QH AB OH =?；

(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.

20. (本小题满分12分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

216362574

最高气温天数

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时？Y 的数学期望达到最大值？

21. (本小题满分12分) 已知函数2

1()(,)2

x

f x e bx ax a b =-

+∈R . （1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；

（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12

； （3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α

α=+??

=?

（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值.

23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)求证：2

2

2a b +≥；

(2)12

+

.

长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算.

【试题解析】D M

N M =有N M ?.故选D. 3. A 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.

【试题解析】A 故选A. 4. B 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.

5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.

【试题解析】C 由题意知2

1

20,cos ,2

?-=<>=a b b a b .故选C. 6. C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.

【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. D 【命题意图】本题考查线面成角.

【试题解析】D 由题意知成角为

6

π

.故选D. 8. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.

【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B. 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.

【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.

【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.

【试题解析】C 由题意可知222

22

223,13y x y x a a a

=-=-，从而渐近线方程为

y =.故选C.

12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.

【试题解析】A 令()(),()(()())0x

x

g x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域

内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(l n 2)(1)f f e f <<，即a b c <<. 故

选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.

5

2

【命题意图】本题考查对数运算. 【试题解析】由题意可知值为5

2

.

14. 1

2

【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.

【试题解析】1

2,1,2

a b c e ====.

15. 10【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.

【试题解析】由题意可得2

63396()()S S S S S -=-，得310S =.

16.

本题考查球的相关知识.

【试题解析】

由题意可知其2

1

42

S =??=三、解答题

17.(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 2

1

cos +

=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以

1cos ,23

A A π

== .

（2）由（1）及3=?AC AB 得6bc =，所以2

2

2

2

2

2cos 6a b c bc A b c =+-=+-

266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a

18.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形

ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD . （2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z

轴，建立空间直角坐标系，

P

，

(1,0,0),(A B C -，有(1,0,3)(0,3,3

P A P B =-=-，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由0

P A n P B n ??=??

?=??，可得一个

(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平

面PBC 所成锐二面角的余弦值为

||10

5||||

m n m n ?=. 19.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.

【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==

||2AB p =，从而22

00||2||||QH y px AB OH ===.

（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px =-+??=?

，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)

M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物

线2

:4C y x =. 20.(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知

()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25

74

5000.490

P X ++===. 因此X （2，至少为200，因此只需考虑

200500n ≤≤.

当300500n ≤≤时，

若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；

若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =?+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =?+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =?+-?+-?=-. 当200300n <≤时，

若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；

若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =?+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =?++-?=+.

所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，

设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，

所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，

因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，

所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，

所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 111

1222

t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.

令()()21

11,2

x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，

所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()211

11122

h x e <-+?=，

所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 1

2

f x <，

故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于1

2

. （8分）

（3）()212

x f x e bx ax =-+，()x

f x e bx a '=-+

由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数

因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()x g x f x e bx a '==-+，()x

g x e b '=-

当0b =时，0ab =；当0b <时，()0x

g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数

x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾

当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>?>

当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22

ln (0)ab b b b b - >≥

令22

()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-

()0()00F x x F x x ''>?>

当x =

,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2

e

-.

（12分）

22. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.

（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有2

4sin 0t t α-=，由

32=AB 得sin 2

α=

，所以3πα=或23πα=.

23.(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.

【试题解析】（1）22

21

()22

a b a b +≥

+=.

（2）2

212133(2()22224a b b a a b a b a b ++=?+=++≥，

12

+.