放射性废料的处理问题

d 2s

m dt 2

mg gV dt

ds dt t 0 s(0)

v(0) 0

由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程:

综合型 基础实验 1 选修 （一） .实验类型： （二） .实验类别： （三）

.每组人数： （四）

.实验要求： （五） .实验学时：3个学时 三）. 实验目的：巩固和理解微分方程理论及其应用。 （四）? 预备知识：常微分方程理论和Mathematica 解方程的命令。 （五）

. 美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法， 一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水

深90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂， 从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。 为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶

下沉到海底时的速度超过12.2 m/s,圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶 沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为 239.46 kg,体积为0.2058 m 3,海水密度为1035.71 kg/m 3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于 12.2 m/s,就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用 这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为 【实验内容与要求】 （1） 根据问题建立数学模型。

（2） 根据数学模型求解的结果, 判断这种处理废料的方法是否合理? 0.6。 （六）.实验解答

、问题分析及建立模型

圆桶运动规律:

f (1)

ma dv m

一 dt

d 2

s

m

^(

2

)

其中G mg , F

gV

kv k ds dt

2、由(5)及S(t)=90m ,由下面程序

得到：t=12.994,带入(6)，运行如下命令

得V=13.772>12.2，此时说明此法处理废料不行。 三、结果分析

在实际情况中k 与v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对

不同的介质比如在空气中和在水中 k 与V 的关系就不同。在一般情况下，k 应是

v 的函数，即k=k(v)，至于是什么样的函数很难确定。

四、模型推广

2、若 f kv 2

二、计算过程

1、由(1)

dv

m ——mg gV kv (4) dt 9 9

(4)

k 罟2

,类似上面，可得到这时圆桶的速度分别满足如下微分方程:

(2)( 3)( 4)以及题设的初始数据，通过如下 Mathematica 程序就

可以求出圆筒的位移和速度的方程。 源程序:

In [1]:=m=239.46;w=0.2058;g=9.8; p=1035.71;k=0.6; DSolve[{m*s”[t]==m*g -p*g*w-k*s'[t],s[0]==0,s'[0]==0},s[t],t] DSolve[{m*v'[t]==m*g-p*g*w-k*v[t],v[0]==0},v[t],t] Out[1]=

s t

2.71828

o.00250564 t

429.744 2.71828

171511.

0.00250564

171511. 2.71828。恥50564 t

t

t

429.744

429.744 (5)

彳 oco

0.00250564 t 0.00250564 t

2.71828

/

这个模型可以推广到其他方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，落到地面的速度也越大，但决不会无限大。

实验三路程估计问题

（一）.实验类型：综合型

（二）.实验类别：基础实验

（三）.每组人数：1

（四）.实验要求：选修

（五）?实验学时：3个学时

（三）.实验目的：能用数学软件进行数据拟合。

（四）.预备知识：多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原理。

（五）【实验内容与要求】

外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。当身边带有地图时，这似乎是件很容易的事。然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离d，你能由此估计出两地的实际路程

s吗？建立s关于d的模型：s f （d）。

（1）要确定s与d的近似函数关系，必须收集若干s及与之相应的d的具体数据，通过分析找出规律。这里将《中国地图》中量得四川省彭州市到其他几个城市的直线距离，并按比例尺（1cm 为

20km）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表2-2。

表2-2城市间直线距离和实际路程

（2）启动数学软件，将上表中d与s两组数据，按拟合时所需形式输入。

（3）画出数据散布图，观察它们是否大致在一条直线附近。

（4）进行直线拟合，并在同一图中显示拟合直线与数据点。观测拟合情况，并记下所得到的模

型（称为经验模型）。

（5）在只作粗略估计的情况下，为便于计算，若将上面得到的模型修改成s 1.5d b （简单模型）行吗？根据表中数据，取b=3,试画出简单模型与样本数据点的图形，并与（4）所得到的图形相对照。

（6）试计算由两个模型得到的估计值与实际值的差（残差），以大致观测一下两个模型的差

异。在只作粗略估计的前提下，你愿意用哪个模型？

（六）实验解答

一、问题分析与建立模型

问题的关键在于收集数据，然后描出数据散布图，通过观测，决定用什么函

数去拟合。由所给数据，发现它们大致在一条直线附近，故用直线拟合，又因时，S必为零，因此，不妨设模型为S=ad。

二、计算过程

1、ln[1]=

x={36,21.6 ，31，26.4 ，46，15，32.8，34，47.6} ；

y={42,30 ，58，43，68，16，43，50,65} ；

data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,9}]

，PlotStyle PointSize[0.02]] ( *作数据散布点*) Print[ “s=”,s]

Show[shu,p]（* 在同一图上观测拟合效果*）

Out[6]=

S=1.42852d d=0

shu=ListPlot[data

s=Fit[data,{d},d];(* 拟合直线*）

P=Plot[s,{d,0,50}](* 作拟合直线图*）

Out[8]=-Gra phics-

由此，得出经验模型

S=1.42952d

将经验模型修改为简

单模型S=1.5d-b，其目的

很清楚，是为了便于计

算，在只作粗略估计的情况下，我们更宁愿这样作，作为实践中的一条经验，它比前者更具有优势。式中的b显然应因短程与远程而有所不同，这实际上给我们提出了这样一个问题:

对某值比如50km以内的较短路程用一个公式，对较长的路程再用一个公式是否会更好呢?

2、a=1.5b=3b因路程长短有所不同

In [9]=

m=P lot[1.5*d-3,{d,0,50}];

show[shu,m] （*显示简单模型与样本数据点的图形*）

Out[10]:=

-Gra phics-

三、结果分析

In [11]:=

sp =1.42952*x（*由经验模型算估计值*）

ss=1.5*x-3（*由简单模型算估计值*）

error1=y-sp（*计算残差值*）

error2=y-ss（*计算残差值*）

Out[11]:={51.5，30.9，44.3，37.7, 65.8, 21.4, 46.9，48.6, 68}

{51.，29.4，43.5，36.6，66.，19.5，46.2，48.，68.4}

{-9.5，-0.88，14.，5.3，2.2，-5.4，-3.9，1.4，-3.}

{-9. ，0.6，14.5，6.4，2.，-3.5，-3.2，2.，-3.4}

所得结果可见：两个模型的差异并不大，且它们对多数点都吻合得较好，但也有误差较

大的，分析其原因：

：是我们的模型本身是根据小样本而得到，不可能是很精确的；

二：是有两种极端情形（它们的误差都较大）应该注意：（1）路较直，如彭县

成都（误差为-9）；（2）路线起伏大，如彭县灌县，实际路线是彭县唐昌灌县，相当于走三角形的两边（误差为+14.5）。这是不是提醒我们，应该把与AB

垂直的最大偏离h 测量出来，并结合到模型中以提高精度呢？