新版人教版九年级数学(全册)知识点汇总
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax 2
+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 21.2 降次——解一元二次方程
1．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的
一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本
身不是上述两种形式，但可以化为a x 2
=或b )a x (2
=-的形式，也可以用此法解．
(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一
个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2
2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．
(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0
ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2
=++(a ≠0)的形式；
②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；
③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数
根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判
别式．
△>0?方程有两个不相等的实数根．
△＝0?方程有两个相等的实数根．
△<0?方程没有实数根．
判别式的应用
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参数系数的性质确定根的围；
(3)解与根有关的证明题．
3．韦达定理及其应用
定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么
a c x x a
b x x 2121=?-=+，． 当a ＝1时，
c x x b x x 2121=?-=+，．
应用：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；
(4)已知两数和与积求两数．
4．一元二次方程的应用
(1)面积问题；
(2)数字问题；
(3)平均增长率问题．
步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；
②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
③找出相等关系，并用它列出方程；
④解方程求出题中未知数的值；
⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．
这里关键性的步骤是②和③．
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．
第二十二章 二次函数
22.1二次函数及其图像 二次函数概念
一般地，把形如y=ax 2+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，a ≠0，b ，c 可以为0）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。x 为自变量，y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标，交点式为（仅限于与x 轴有交点和的抛物线），与x 轴的交点坐标是和。 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数围任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数公式大全
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax2;+bx+c=0
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
例1，二次函数配方为的形式，则()
用函数观点看一元二次方程
1. 如果抛物线y ax bx c =++2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x x =0时，函数的值是0，因此x x =0
就是方程ax bx c 20++=的一个根。
2. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
1. 图形的旋转
（1）定义：在平面，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
（图形的旋转
本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
二、知识要点
1、旋转：将一个图形绕着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质
① 旋转后的图形与原图形全等
② 对应线段与O 形成的角叫做旋转角
③ 各旋转角都相等
3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质
① 平移后的图形与原图形全等
② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
③各组对应线段平行且相等
5、中心对称与中心对称图形
①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形
(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分
（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换
（1）、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）
（2）、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）（４）、关于直线y＝x对称
两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（y，x）（5）、两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）
注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
第二十四章圆
24.1 圆
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式
1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π
4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)
5、半圆的长：1\2周长+直径
面积计算公式：
1、已知半径：S=πr平方
2、已知直径：S=π（d\2）平方
3、已知周长：S=π(c\2π)平方
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
①点在圆?点到圆心的距离小于半径②点在圆上?点到圆心的距离等于半径
③点在圆外?点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3. 外接圆和外心
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
4. 直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
【初三下学期的数学知识点归纳】 初三上数学知识点归纳
【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： 内角的一半：(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读！
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第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0
代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类：
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
九年级数学上册全册教案(最新人教版)
九年级数学上册全册教案（最新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y kj.co m 义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级上册 XX—XX学年度第一学期 学校： 班级：九（3）班 教师： XX—XX学年度第一学期九年级数学教学进度表 周序 日 期 教学工作内容及课时安排 8.24—8.30 21.1一元二次方程2 21.2降次——解一元二次方程2 2 8.31—9.6 21.2降次——解一元二次方程5
3 9.7—9.13 21.3实际问题与一元二次方程及数学活动2 《一元二次方程》单元小结与练习3 4 9.14—9.20 21.1二次函数的图像与性质5 5 9.21—9.27 21.2二次函数与一元二次方程2 21.3实际问题与二次函数2 《二次函数》单元小结与练习1 6 9.28—10.4 23.1图形的旋转2 23.2中心对称3 7 0.5—10.11 23.3课题学习图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 8 0.12—10.18
24.1圆5 9 0.19—10.25 24.2点、直线、圆和圆的位置关系5 0 0.26—11.1 期中考复习 1 1.2—11.8 期中考试与试卷分析 2 1.9—11.15 24.3正多边形和圆2 24.4弧长和扇形面积2 13 1.16—11.21 24.4弧长和扇形面积2 《圆》单元考及讲评3 14 1.23—11.29 25.1随机事件与概率4 5
1.30—1 2.6 25.2用列举法求概率3 25.3用频率估计概率1 6 2.7—12.13 25.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 7 2.14—12.20 九年级数学下册内容 8 2.21—12.27 九年级数学下册内容 9 2.28—1.3 九年级数学下册内容 20 .4—1.10 期末考复习 21 .11—1.17 期末考复习及考试
最新九年级下册人教版数学知识点归纳
第二十二单元 二次函数 1 一、二次函数概念： 2 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的 3 函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系 4 数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 5 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： 6 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． 7 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 8 二、二次函数的基本形式 9 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： 10 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 11 12 三、二次函数图象的平移 13 1. 平移步骤： 14 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 15 ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 16 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 17 2. 平移规律 18 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 19 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 20 方法二： 21
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 22 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） 23 ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成24 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 25 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 26 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过 27 配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 28 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 29 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，30 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画 31 图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴32 对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组33 关于对称轴对称的点）. 34 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的 35 交点. 36 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 37 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 38 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当39 2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． 40 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为41 2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而42 减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 43 44 七、二次函数解析式的表示方法 45 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 46 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 47 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 48 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的49 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛50 物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 51 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 52 1. 二次项系数a 53
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第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
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结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量 x的指数为，在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量， 函数值，所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质
1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图像： （1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。越小，图像的弯曲度越大。（2）图像的位置和性质： 时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x当的增大而减小； 的增大而增大。x随y时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，当． ）在双曲线的）在双曲线的一支上，则（，（，3）对称性：图像关于原点对称，即若（ba ，）对称，即若（另一支。图像关于直线a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（ 在双曲线的另一支上。． 4．k的几何意义 上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于）是双曲线（如图 1，设点Pa，bB点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC ⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
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人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
(完整)最新人教版九年级数学下学期教学计划
九年级数学下学期教学计划 (2017-2018学年度第二学期） 一、基本情况分析 1.学生情况 本学期我继续授九（1）（2）班的数学课。通过一个学期的努力多数同学学习数学的兴趣渐浓，学习的自觉性明显提高，学习成绩在不断进步，但是由于一些学生数学基础太差，学生数学成绩两极分化的现象没有显著改观，给教学带来很大难度。设法关注每一个学生，重视学生的全面协调发展是教学的首要地位。 2.学习内容分析 本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两大阶段。新课教学共分四章。第一章《反比例函数》、《相似》、《锐角三角函数》、《投影与视图》。总复习是本期教学的一个重点。通过系统的总复习使学生全面熟悉初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所学知识分析和解决问题。本学期就将开始进入专题总复习，将九年制义务教育数学课本教学内容分成代数、几何两大部分，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。在《课标》要求下，培养学生创新精神和实践能力是当前课堂教学的目标。在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，以及与生活实际相联系的应用问题。这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐年
扩大的趋势。如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备扎实的基础知识和知识迁移能力。因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见题解题中的通性通法须掌握。学生解题过程中存在的主要问题： （1）审题不清，不能正确理解题意； （2）解题时自己画几何图形不会画或有偏差，从而给解题带来障碍； （3）对所学知识综合应用能力不够； （4）几何依然对部分同学是一个难点，主要是几何分析能力和推理能力较差。 （5）阅读理解能力偏差，见到字数比较多的解答题先产生畏惧心理。 （6）不能对知识灵活应用。 二、学习目标 师生共同努力，使绝大多数学生达到或基本达到《课标》的要求，注重基础训练，顾及多数人的水平和接受能力，促进全体学生的全面协调发展。 三、为提高学习质量设想采取的措施 1.让数学更贴近学生的生活。“新课标”强调在教学中要引导学生联系自己身边具体有趣的事物，通过观察操作，解决问题等丰富的活动，感受数学与日常生活的密切联系。我觉得这是“新课标”的一大特色，所以在今后的数学教学中，我要结合具体的教学内容，创
华师大版九年级[下册]数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：
3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
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初中九年级数学知识点总结 【篇一】 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 1.代数式与有理式 人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。 第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。 1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化1：将二次项系数化为1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 2020人教版九年级数学教学大纲 第一章《二次函数》 平面直角坐标系。常量。变量。函数及其表示法。 具体要求: (1)理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出直角坐标系:理解平面内点的坐标的意义，会根据坐标确定点和 由点求得坐标。了解平面内的点与有序实数对之间一-一对应。 (2)了解常量、变量、函数的意义，会发现、提出函数的实例，以及分辨常量与变量、自变量与函数。 (3)理解自变量的取值范围和函数值的意义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式.二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。 (4)了解函数的三种表示法，会用描点法画出函数的图象。 (5)通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的，并向学生渗透数形结合的思想方法。 2.正比例函数和反比例函数 正比例函数及其图象。反比例函数及其图象。具体要求: (1)理解正比例函数、反比例函数的概念，能够根据问题中的条件确定正比例函数和反比例函数的解析式。 (2)理解正比例函数、反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况。 (3)理解待定系数法。会用待定系数法求正、反比例函数的解析式. 3. - -次函数的图象和性质 -次函数。一次函数的图象和性质。 二元一次方程组的图象解法。 具体要求: (1)理解一次函数的概念，能够根据实际问题中的条件，确定一次函数的解析式。 (2)理解一次函数的性质，会画出它的图象。 △(3)会用图象法求二元-一次方程组的近似解。 (4)会用待定系数法求一次函数的解析式。 4.二次函数的图象 二次函数。抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 △一元二次方程的图象解法。 具体要求: (1)理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象，会用公式(不要求掌握公式推导过程和记忆公式)确定抛物线的顶点和对称轴。 * (2)会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。 (3)会用图象法求一元二次方程的近似解。 * (4)会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。 九年级数学下册知识点归纳 第二十六章二次函数 26.1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项 式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存有如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和 图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用 配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的 抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以 b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在 y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域：R 值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a， 正无穷);②[t，正无穷) 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] 九年级数学（上）知识点 人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章节的内容。 第二十一章二次根式 一．知识框架 二．知识概念 二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0 对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求： 1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解并掌握下列结论： 1）是非负数；（2）；（3）； 4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； 5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 第二十二章一元二次根式 一．知识框架 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。 （1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举 例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，?将a、b、c代入式子 x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、 乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 第二十三章旋转 一.知识框架 北师大版初三下册数学知识点归纳 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 3的值为1. 2．当x=3时,函数y=1的值为1.-1．当x=2时,函数y=2x 2-x 3．当x=-1时,函数y=1的值为1. 3-x 知识点4：基本函数的概念及性质 12-=1．函数y=-8x是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数y 12=x是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线y 2的顶点坐标是(1,2).+1)2-(x =7．反比例函数y 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。知识点8：直线与圆的位置关系 1．直线与圆有公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 知识点9：圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线切点.人教版九年级上册数学知识点总结
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