2010年全国大学生数学建模优秀论文(A题)

地下储油罐的变位分析与罐容表标定

要

加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在 3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：

测量的油位高度0h 实际的油位高度h 计算体积所需的高度H

于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找α与β最准确的取值。

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。

请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析

本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题，就是需要得出变位后油位高度与油料体积的关系，然后在油料高度间隔为1cm 或10cm 的情况下，算出所有高度所对应的体积值，即可得到新

α

β

的罐容表标定值。

第一问中共做了两次实验，分别为罐体无变位与纵向变位。对于无变位的情况，可以选择合适的体积微元，在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系；对于倾斜角为α=4.1o的纵向变位，我们采用二重积分的方法，分三种情况进行计算。先在油位高度方向积分得到任意处油截面的面积，再积分得到体积公式。最后利用附件1中的实际数据对公式的准确度进行检验，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。

第二问中，将储油罐分成三部分进行计算：中间的圆柱体和两端的球冠体。对于α与β的处理问题，对α、β已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系，根据几何关系得出测得的油位高度0h 与实际油位高度h 的关系（含有参数β），实际油位高度h 与计算体积所需的高度1H 、2H 的关系（含有参数α），并计算得到储油量关于1H 、2H 的表达式，于是便得到了储油量与测量油位高度0h 及变位参数α、β的关系式，代入若干组附表2中的实际数据，即可确定α与β，之后用实际检测数据检验所建模型的正确性与方法的可行性。

三、模型假设

（1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容积； （2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积；

（3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距离； （4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。

四、符号说明

h ：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；

x ：问题一中建立空间直角坐标系后X 轴方向上油料宽度的一半； y ：建立空间直角坐标系后Y 轴方向上的油料长度； z ：建立空间直角坐标系后Z 轴方向上的变量；

i V ：问题一纵向变位第i 种情况下相应某一高度时的油的体积；

0h ：问题一中变位后测得的油料高度；

H ：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度；

S ：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积； g V ：实际储油罐球冠内储油量；

0V ：实际储油罐中间圆柱部储油量；

i m ：附表2中编号为i 的流水号所对应的出油量。

五、模型的建立与求解

5.1小椭圆型储油罐 5.1.1无变位情况

首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分为油料：

从侧面观察得到如下示意图：

根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：

22

22

10.890.6

x z += 于是有

x =取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：

d 2 2.45v z =? 体积微元在z 轴方向进行积分，得到体积公式：

(

)0.6

2 2.45 2.180250.6 1.3083arcsin 10.62h V z h h π--=??????=?-?-+ ??????

??

将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，得到如下曲

线：

图2 截面椭圆示意图

0.2

0.4

0.60.81

1.2

1.4

50010001500200025003000

350040004500油位高度 / m

储油量 / L

储油量与油位高度关系图

图3 计算曲线与实际数据对比图

从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。

5.1.2 4.1α=o纵向变位

以椭圆罐底中心为原点，X 轴，Z 轴平行于罐底，Y 轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：

由图4可知：

0400tan H h α-=

图4 纵向变位情况下建立空间直角坐标系

接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。

第一种情况：

当400tan 2450tan H αα≤≤（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：

先在Z 轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：

()600

25

22 890600 5.3410arcsin 130********h S z h h h h π--=???????=--+??-+ ?

?????????

?

再将h 视为变量，在Y 轴方向上定积分：

()tan 10

d H

V S h y α=?

其中tan h H y α=

-，代入后解得：

()(

)34423891639368.62210 1.2421020.69 1.17107.02110 7.4510arcsin 1.667101 4.4710arcsin 1.6671017.4510V H H H H H H

H ---=-?-?++?-?+???--???-+??

第二种情况：

当2450tan 1200H α≤≤ （单位：mm ）时，两端罐底都接触油面，如图6：

图5 第一种情况

()2450

20

d V S h y =?

代入

tan h H y α=-

得：

()(

)9642326393256

2.55810 6.46210 1.25010 6.057 7.45010arcsin 1.66710 1.2927 +5.77810arcsin 1.66710 1.29277.45010 7.4510 V H H H H H H ---=?-?+?--???-+???--??()(

)3936arcsin 1.667101 4.4710arcsin 1.667101 7.4510H H H --??--???-+?

第三种情况：

当01200H >，其中00400tan H h α-= （单位：mm ）时，一端罐底已经完全被油浸没，如图7：

图6 第二种情况

图7 第三种情况

()'tan 30

2450890600d H V S h y απ=??-?

且'tan h H y α=

-，其中

0'2450tan 1200H H α=-+，

代入上式解得：

()9311.308310'V V H π=?-

将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：

200

4006008001000

1200

50010001500200025003000

350040004500测量油位高度 / mm

罐内储油量 / L

纵向变位后储油量与测量油位高度关系图

图8 变位后储油量与油位高度关系图

从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保持在3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。

将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图9：

200

4006008001000

1200

50010001500200025003000

350040004500测量油位高度 / mm

罐内储油量

纵向变位前后储油量与测量油位高度关系对比图

图9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比

结合公式以及图9可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响：

变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0，刚好接触油浮子时，将数据代入公式可计算得此时储油量约为1.75L ；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L 左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm 时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L 。根据假设，为使油位高度与储油量是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。

从0到1200mm 每间隔10mm 取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值：

5.2实际储油罐变位分析

我们将储油罐分成三段来考虑，两端为球缺，中间为圆柱体。中间部分采用类似第一题的积分方法求解。对于两端的球冠体，若直接积分，结果将十分复杂，为方便计算，同时使误差尽量小，本文把球冠内油液面看做与Y轴平行。

对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说，我们以中间圆柱体一侧底面圆心为原点，平行于罐体的轴为Y轴，平行于油面的轴为X轴建立空间直角坐标系。

图10 储油罐纵向变位示意图

根据图10可以得到以下关系式：

26tan H h α=-

用垂直于Y 轴的平面去截油罐得到图11所示的储油罐的横向变位截面示意图，图中两个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中，并使油位探针方向相同，以方便计算，此时前后液面形成夹角β：

0h 为测量值，h 实际油位高度，根据图像可得如下关系式：

()0 1.5cos 1.5h h β=-+

综合上面几个式子，可得1H 、2H 与0h 的关系式：

()10 1.5cos 2tan 1.5H h βα=-++ ()20 1.5cos 6tan 1.5H h βα=--+

5.2.1球冠体内储油量的计算

根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为1.625m ，球过球心的截面图如下，以圆心为原点，平行于空间坐标系Y 轴的轴为X 轴，建立新的平面直角坐标系，阴影部分为储油部分：

该圆的方程为：

2221.625x y +=

x 表示圆上一点到Y 轴距离，所以：

横向变位后油液面

图11 储油罐横向变位示意图

x =以平行于空间坐标系Y 轴的平面去截球冠，得到如下所示截面图：

图13 球冠体截面图

可以得知：

0.625cos()arc arc x θ==

所以球冠内油料截面面积为：

222)S x arc y θ=-=--当球冠内油位高度为H 时，球冠内储油量为：

1.5

1.5

d H g V S y --=?

在计算两端球冠内储油量时，分别用1H 、2H 代替H 即可求出结果。 5.2.2中间圆柱体内储油量的计算

计算方法与第一问中类似，用垂直于Y 轴的平面去截得到如下截面示意图：

图14 圆柱部截面示意图

截面圆的方程为：

2221.5x z +=

于是得到：

x =又有：

1tan h y H α=-+

即：

1tan H h

y α

-=

于是该截面面积：

1.5

1.5

h S --=?

由于有转折点，又要分三种情况讨论，分别求解。 当12tan 8tan H αα<<（单位：m ）时

1

010

H V Sdy =?

当18tan 3H α<<（单位：m ）时

1

2

02H H V Sdy =?

当238tan 36tan H αα-<<-（单位：m ）时

03001V V V =-

其中0V 为圆柱体的总体积

用Matlab 积分得到的结果过于冗长，不便于写在正文中，具体结果见附录。

5.2.3参数α，β的确定

由于第二种情况的可能性最大，数据最多，所以在求解参数α与β时，利用附表2中显示油高值在中间部分的值进行计算。由于显示的油量容积是利用没有变位情况下的公式计算得到的，不是真实值，故不能加以利用。附表2给出了出油量与显示油高的对应数据，我们用差值计算，即利用累计出油量与油高的变化值的对应关系求解α、β。

取流水号分别为323、337、351的三组数据， 令：

1231696.61 ; 1609.06 ; 1516.81h h h ===

于是得到如下方程组：

()()()()()()()()()()()()337

11210211222022324

351

12220221323023338g g g g i i g g g g i i V H h V H h V h V H h V H h V h m V H h V H h V h V H h V H h V h m ==?

++-++=????????????????????++-++=??????????????????

∑∑

用Matlab 7.0求解该方程组，得到一组解α=1.6o，β=0o 于是便得到了变位后储油量与油位高度的关系式，间隔10cm 取值代入得到如下罐容表标定值：

将得到的关系曲线

00.51 1.52 2.53

-1

1

2

34

5

674

油位高度(m)

罐容量(L )

变位后罐容量与油位高度关系图

六、模型的评价与推广

6.1模型的评价

本题主要运用微积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型，进而求出罐内油料体积与测量油位高度之间的关系式，并利用附表中的数据对模型进行检验以及求解参数，结果表明得到的公式精确度足够高，可以应用于实际。模型原理简单明了，在计算复杂积分时借助Matlab软件，提高了计算效率。

题目中给出了储油罐向一个方向纵向倾斜后的示意图，如果储油罐向相反的方向倾斜，计算方法类似，可将本模型应用到其求解过程中。但由于油位探针在储油罐的一侧，两种情况的结果将有部分差异，这一点在实际应用中应加以考虑。

模型建立时忽略了题目未给出数据的罐壁厚度等因素，在实际中时建议测出这些值，从而进一步提高模型精度。

6.2模型的推广

本模型虽解决的是储油罐的变位识别及其罐容表标定问题，但可以推广到各种罐状容器，用类似方法建模求解，

解决该问题时，我们计算的是平顶和球缺顶的圆柱形储油罐，通过查阅国家技术监督局1996年发布的《中华人民共和国国家计量检定规程 JJG 266-1996》，卧式罐的两端顶板按形状可以分为平顶、弧形顶、圆台顶、锥形顶、球缺顶、椭球顶等类顶。本文所建立的模型可推广到其他各种情形。建议根据结果将各种卧式罐内液体体积列成表格，以后只要测出罐的必要参数及液面高度，即可根据相应表格快速计算出对应的液体体积。

参考文献

[1] 苏金明，王永利，MATLAB7.0使用指南，北京：电子工业出版社，2004。

[2] 田铁军，倾斜立式罐部分容积的计算，现代计量测试，第4期：39-44页，1999。

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[4] 高炳军，苏秀苹，各种封头的卧式容器不同液面高度体积计算，石油化工设备，第28卷第4 期：

24-26页，1999。

[5] 黄明山，关于卧式容器中标定液位的简便计算方法，中国调味品，第10期：35-36页，2004。

附录