2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(I)完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆(I)完整讲义(学
生版)
1.椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹
(或集合)叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程:
①,焦点是,,且.
②,焦点是,,且.
3.椭圆的几何性质(用标准方程研究):
⑴范围:,;
⑵对称性:以轴、轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心
又叫做椭圆的中心;
⑶椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的;
⑷长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,
如图中线段的;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段.
⑸椭圆的离心率:,焦距与长轴长之比,,越趋近于,椭圆越扁;
反之,越趋近于,椭圆越趋近于圆.
4.直线:与圆锥曲线:的位置关系:
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,
平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来
说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位
置关系的判定条件可归纳为:
设直线:,圆锥曲线:,由
消去(或消去)得:.
若,,相交;相离;相切.
若,得到一个一次方程:①为双曲线,则与双曲线的渐近线平行;②为抛
物线,则与抛物线的对称轴平行.
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的
必要条件,但不是充分条件.
5.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐
标,然后运用两点间的距离公式来求;
另外一种求法是如果直线的斜率为,被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为,
则弦长公式为
1212
||
AB x y
=-=-.
两根差公式:
如果满足一元二次方程:,
则
12
x x
-=.6.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有:
①从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解
决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在
适当时利用图形的平面几何性质.
②以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.
【例1】设椭圆过点,且左焦点为
⑴求椭圆的方程;
⑵当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在
某定直线上.
【例2】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程;
⑵设,,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直
线与轴相交于定点;
⑶在⑵的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围.
【例3】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,
求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【例4】在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵当时,求与的关系,并证明直线过定点.
【例5】在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是,直线与轨迹交于不同典例分析
的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵是否存在常数,?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【例6】 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,且离心率,且
过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. ⑴求椭圆的方程;
⑵是否存在直线,使得.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. ⑶若是椭圆经过原点的弦,,求证:为定值.
【例7】 已知椭圆的左、右焦点分别为、,短轴两个端点为、,且四边形是边长为的正方
形.
⑴求椭圆的方程;
⑵若、分别是椭圆长轴的左、右端点,动点满足,连结,交椭圆于点. 证明:为定值.
⑶在⑵的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线、的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【例8】 已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭
圆于、两点,与共线. ⑴求椭圆的离心率;
⑵设为椭圆上任意一点,且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R ,
,证明为定值.
【例9】 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,经过点且离心率.过定点的直线与椭圆
相交于,两点. ⑴求椭圆的方程; ⑵在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
2019-2020年高中数学直线与圆锥曲线板块三直线与抛物线完整讲义(学
生版)
1.椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹(或
集合)叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程:
①,焦点是,,且.
②,焦点是,,且.
3.椭圆的几何性质(用标准方程研究):
⑴范围:,;
⑵对称性:以轴、轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心;
⑶椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的;
⑷长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段. ⑸椭圆的离心率:,焦距与长轴长之比,,越趋近于,椭圆越扁; 反之,越趋近于,椭圆越趋近于圆.
4.直线:与圆锥曲线:的位置关系:
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为:
设直线:,圆锥曲线:,由
消去(或消去)得:.
若,,相交;相离;相切.
若,得到一个一次方程:①为双曲线,则与双曲线的渐近线平行;
②为抛物线,则与抛物线的对称轴平行.
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.
5.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求;
另外一种求法是如果直线的斜率为,被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为,则
弦长公式为1212||AB x y
-=
-.
两根差公式:
如果满足一元二次方程:,
则12x x -===
(). 6.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有:
①从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几
何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利
用图形的平面几何性质.
②以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.
典例分析
【例10】已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
【例11】点在直线上,若存在过的直线交抛物线于,两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是()
A.直线上的所有点都是“点”
B.直线上仅有有限个点是“点”
C.直线上的所有点都不是“点”
D.直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
【例12】如图抛物线:和圆:,其中,直线经过的焦点,依次交,于四点,则的值为()
【例13】斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,若弦长,则 _
【例14】抛物线与直线有两个不同的交点,则实数的范围是_____________.
【例15】若直线与抛物线交于、两点,若线段的中点的横坐标是,则______.
【例16】已知抛物线的一条弦,,,所在的直线与轴交于点,则.
【例17】过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有_______条
【例18】对于抛物线:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线的位置关系是_______
【例19】设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是_______.
【例20】若曲线与直线没有公共点,则、分别应满足的条件是.
【例21】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点,若线段的长为,则_______.
【例22】已知抛物线(为常数,)上不同两点、的横坐标恰好是关于的方程(为常数)的两个根,则直线的方程为_________________.
【例23】抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_______,弦长为______.
【例24】已知抛物线,过定点作一弦,则_______.
【例25】已知抛物线过点,
⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程;
⑵直线:与抛物线交于两点,求线段的中点坐标及的值.
【例26】⑴设抛物线被直线截得的弦长为,求值.
⑵以⑴中的弦为底边,以轴上的点为顶点作三角形,当三角形的面积为时,求点坐
标.
【例27】已知点到定点()与它到定直线的距离相等,
⑴求动点的轨迹方程;
⑵设过点的直线与的轨迹交于、两点,设,当直线与的斜率都存在时,求证直线、的斜率之和为.
【例28】 在平面直角坐标系中,过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点.若点是点关于
坐标原点的对称点,求面积的最小值.
【例29】 过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点,若点为定直线:上的任
意一点,试证明:三条直线、、的斜率成等差数列.
【例30】 已知抛物线.过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、.若,求的取值
范围.
【例31】 已知曲线为顶点在原点,以轴为对称轴,开口向右的抛物线,又点到抛物线的准线
的距离为, ⑴求抛物线的方程;
⑵证明:过点的任意一条直线与抛物线恒有公共点;
⑶若⑵中的直线分别与抛物线交于上下两点,,,,,,,,又点,,,的纵坐标依次成公差不为的等差数列,试分析与的大小关系.
【例32】 已知抛物线和圆,过点作直线交抛物线于、,交圆于(自下而上依次为),且,求实
数的取值范围.
【例33】 已知一条曲线在轴右边,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1.
⑴求曲线的方程;
⑵是否存在正数,对于过点且与曲线有两个交点,的任一直线,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【例34】 已知,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足
3
02
HP PM PM MQ ?==-,,
⑴当点在轴上移动时,求点的轨迹;
⑵过点作直线与轨迹交于、两点,若在轴上存在一点,使得是等边三角形,求的值.
【例35】已知分别是椭圆的左、右焦点,曲线是以坐标原点为顶点,以为焦点的抛物线,自点引直线交曲线于、两个不同的交点,点关于轴的对称点记为.设.
⑴求曲线的方程;
⑵证明:;
⑶若,求的取值范围.
【例36】已知抛物线,点关于轴的对称点为,直线过点交抛物线于两点.
⑴证明:直线的斜率互为相反数;
⑵求面积的最小值;
⑶当点的坐标为,且.根据⑴⑵推测并回答下列问题(不必说明理由):
①直线的斜率是否互为相反数?
②面积的最小值是多少?
【例37】过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于、两点,自、向直线作垂线,垂足分别为、.
⑴当时,求证:⊥;
⑵记、、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,都有成立.若存在,求出的
值;若不存在,说明理由.
【例38】已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹.是过点的直线,是上(不在上)的动点;、在上,,轴(如图).
⑴求曲线的方程;
⑵求出直线的方程,使得为常数.
【例39】已知抛物线:,点在轴的正半轴上,过的直线与相交、两点,为坐标原点.
⑴若,的斜率为1,求以为直径的圆的方程;
⑵若存在直线使得,,成等比数列,求实数的取值范围.
【例40】已知抛物线的焦点为,过点的直线与相交于、两点,点关于轴的对称点为.
⑴证明:点在直线上;
⑵设,求的内切圆的方程.
【例41】已知抛物线及定点,是抛物线上的点,设直线与抛物线的另一交点分别为.求证:当点在抛物线上变动时(只要存在且与是不同两点),直线恒过一定点,并
求出定点的坐标
【例42】在平面直角坐标系中,直线与抛物线相交于不同的两点.
⑴如果直线过抛物线的焦点,求的值;
⑵如果证明直线必过一定点,并求出该定点.
【例43】在平面直角坐标系中,设点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.
⑴求动点的轨迹的方程;
⑵记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为,.
求证:直线必过定点.
【例44】已知:为坐标原点,点、、、满足,,,,.
⑴当变化时,求点的轨迹方程;
⑵若是轨迹上不同与的另一点,且存在非零实数,使得,
求证:.