专升本试题及解答

2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）

一、选择题（每题3分，共15分） 1、极限1

3lim(

)1

x x x x +→∞

+=+（ D ） （A ）1 （B ）e （C ）∞ （D ）2

e 【知识点】第二个重要极限。

解析：12122

32lim(

)lim(1)11

x x x x x e x x +?+→∞→∞+=+=++。 2、函数()f x x =在0x =处（ D ）

（A ）(0)1f '= （B ）(0)1f '=- （C ）(0)1f '=± （D ）(0)f '不存在 【知识点】导数的定义。

解析：01,0(0)lim 1,0

x x x

f x x ?→?>??'==?

-?

-与直线623

x t y t z t =+??

=??=-+?

的夹角为（ A ） （A ）

3π （B ）4π （C ）6π （D ）2

π 【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）。

解析：由参数方程6

23

x t y t z t =+??

=??=-+?

得对称式方程：63112x y z --==

-；

于是，1cos 2θ=

=

，即3

πθ=。 4、设32

()(0)a

I x f x dx a =>?，则（ D ）

（A ）2

()a I xf x dx =

?

（B ）0

()a

I xf x dx =? （C ）201()2a I xf x dx =? （D ）0

1()2a

I xf x dx =?

【知识点】凑微分法。 解析：32222

0011()()()22

a

a a I x f x dx x f x dx tf t dt =

=

=?

??。

5、设(,)f x y

连续，交换二次积分1

(,)dy f x y dx ?

的次序是（ C ） （A

）10

(,)dx f x y dy ? （B

）1

0(,)f x y dy ?

（C ）

2

1

10

(,)x dx f x y dy -??

（D ）21

10

(,)x dx f x y dy +??

【知识点】交换二次积分次序。

解析：新积分区域2

:01;01D x y x ≤≤≤≤-，所以，2

1

10

(,)x I dx f x y dy -=??

。

二、填空题：（每题3分，共15分） 6、函数22arcsin 2ln(1)

x z x y =

--的定义域是 。【22

11{(,)01,}22D x y x y x =<+<-≤≤】

【知识点】二元函数的定义域。

解析：定义域为：22

221

11212201101

x x x y x y ?-≤≤-≤≤

?????<--≠??<+

、=?

。

【1)c +】

【知识点】换元法、分部积分法。

t =，2dx tdt =。

于是，22(1)1)t t te dt t e c c ==-+=+?

?。

8、判定级数

11

!

n n n ∞

=+∑收敛还是发散，答： ；【收敛】 【知识点】比值审敛法。 解析：1!(1(1)!)lim

lim lim 01(1)(1)!(1)(1!)n n n n n

u n n n n u n n n n n +→∞→∞→∞++-===<+++++。

9、微分方程2

(1)0xydx x dy ++=的通解 。

【y =

】

【知识点】可分离变量微分方程。

解析：

221

ln ln(1)12

dy x dx y x c y y x =-?=-++?=+??。

10、曲面2

2

2

2336x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面 。【(1)4(2)9(3)0x y z -+-+-=】

【知识点】曲面的切平面方程。

解析：令2

2

2

(,,)2336F x y z x y z =++-，2x F x '=，4y F y '=，6z F z '=； 过点(1,2,3)的切平面方程的法向量{2,8,18}n =r

，

故，切平面方程为：2(1)8(2)18(3)0x y z -+-+-=，即4936x y z ++=。 三、解答题（每小题8分，共56分） 11

、求极限0

1

lim

x x

→。

【知识点】等价替换。

解析：001

sin 21

2lim lim 1x x x

x x

→→==。

12、已知函数()y f x =由方程33

cos sin x a t y a t

?=?=?确定，求22d y dx 。 【知识点】参数方程的二阶导数。

解析：tan dy

t dx

=-，22224sec 13cos sin 3cos sin d y t dx a t t a t t -=

=-。 13、由元素法的思想写出：由X 型区域0a x b ≤≤≤，0()y f x ≤≤绕y 轴旋转的旋转体的体积公式，然后计算由sin y x =，0x π≤≤与x 轴所围成图形绕y 轴旋转的体积。 【知识点】元素法（微元法）。

解析：在区间[,]a b 任取小区间[,]x x dx +，面积元素()dA f x dx =，

而dA 绕y 轴旋转而成圆环（周长2x π），其体积元素2()dV xf x dx π=；（展开为长方体） 于是，平面图形绕y 轴旋转而成立体的体积为：2()2()b

b

a

a

V xf x dx xf x dx ππ==?

?。

由此公式得：2

2sin 2[cos sin ]2y V x xdx x x x π

ππ

ππ==-+=?

。 14、设(,)z f x xy =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???。

【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。

解析：12z

f yf x

?''=+?；

212222z xf f xyf x y ?'''''=++??。 15、求曲线积分2

2L

I xydx x dy =+?，其中22

22:1,0x y L y a b +=≥取逆时针方向。

【知识点】曲线积分（曲线积分与路径无关）。 解析：因

2Q P

x x y

??==??，所以，曲线积分与路径无关。 取直线段（x 轴上）：0y =，于是，2

200a

a

L

I xydx x dy dx -=+=

=?

?

。

16、计算

()D

xy x y dxdy +??，其中D 由y x =、0x y +=和1x =所围成区域。

【知识点】直角坐标系下的二重积分计算。 解析：积分区域:01;D x x y x ≤≤-≤≤。

1

1

22

40

022

()()315

x

x

D

xy x y dxdy dx x y xy dy x dx -+=+==?????。 17、求函数22

2z x xy y x y =-+-+的极值。 【知识点】二元函数的极值。

解析：令220

210

x y f x y f x y '=--=??'=-++=?得驻点(1,0)；又2;1;2xx

xy yy f f f ''''''==-=， 在点(1,0)处，2

1430B AC ?=-=-=-<，且20A =>， 故，函数的极小值为(1,0)1f =-。 四、证明题：（每题7分，共14分）

18、证明：设()f x 在[1,3]上连续可导，2

1

(3)()f f x dx =?

，则(1,3)ξ?∈，使()0f ξ'=。

【知识点】积分中值定理、罗尔定理。

证明：由()f x 在[1,3]上连续可导知，()f x 在[1,2]上连续，

由积分中值定理，0

(1,2)x ?∈，使2

2

1

1

()()()21

f x dx f x f x dx =

=-??；

又2

1

(3)()f f x dx =

?

，即0()(3)f x f =，由题设知()f x 在0[,3][1,3]x ?上连续可导，

由罗尔定理，0(,3)x ξ?∈（即(1,3)ξ?∈），使()0f ξ'=。 19、证明：当0x ≥时，有arctan ln(1)1x

x x

+≥+。

【知识点】单调性判定定理。

证明：令()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-，则(0)0f =，又

2221()ln(1)1ln(1)11x f x x x x x '=++-=++++，22

12()1(1)

x

f x x x ''=+++； 当0x ≥时，()0f x ''>，即()f x '↑，故()(0)0f x f ''>=，即()f x ↑，

所以，当0x ≥时，有()(0)0f x f ≥=，即，(1)ln(1)arctan x x x ++≥，故，结论成立。