高中数学选修1-1导数的概念

高中数学选修1—1

3.3.1函数的单调性与导数

教师：贾巧

【教学目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握运用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形

结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善 总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系，会用导数求函数的单调 区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学过程】

一．回顾与思考

1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

2、如果遇到函数：y=x-33x 判断单调性呢？还有其他方法吗？

二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变

化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导

数一样，都是反映函数变化情况的，那么函数的单调

性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随

时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图

（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函

数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最

高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．

【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的

斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化

的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？

【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间

的关系.

【探究】函数的单调性可简单的认为是:若

2121

()()

f f x x x x -->0则函数f(x)为增函数. 可把2121()()f f x x x x --看作y x ∆∆=2121

()()f f x x x x --.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的

导数与函数的单调性有着密切的联系.

观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>；

（2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；

而2

()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。

（3）函数3y x =的定义域为R ，在定义域上为增函数；

而32()3y x x ''==，若0x ≠，则0y '>，当0x =时，0y '=； （4）函数1y x

=

的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减； 而21

1()y x x

''==-，因为0x ≠，显然0y '<. 【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内

如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么'

()0f x >.

如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么'()0f x <． 【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？

【探究】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．

在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，

函数()f x 在0x 附近单调递增；

在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，

函数()f x 在1x 附近单调递减．

用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2π,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾斜角大于2

π、小于π，函数曲线呈向下减小状态. 知识归纳 函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，

如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ；

如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内

特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是 ．

注意：1.若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余的点恒有'()0f x >，则()f x 仍为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间内'()0f x >是()f x 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.

2.()0f x '>能推出()f x 为增函数，但反之不一定．如函数3()f x x =在()-+，∞∞上单调递增，但()0f x '≥．所以()0f x '>是()f x 为增函数的充分条件，但不是必要条件．

3.()f x 为增函数，一定可以推出()0f x '≥，但反之不一定，因为()0f x '≥，即为()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 为常数，函数不具有单调性．所以()0f x '≥是()f x 为增函数的必要条件，但不是充分条件．