动态规划试题

1． 某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设1个。各营业区每

年增加的利润与增设的销售店个数有关，具体关系如表1所示。试规划各营业区应增设销售店的个数，以使公司总利润增加额最大。

表1

解：将问题按区分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k S （3,2,1=k ）代表从第k 个区到第3个区的增设个数，决策变量k x 代表第k 个区的增设个数。于是有状态转移率

k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：

)}()({max )(1

0k k k k k S x k k x S f x g S f k

k -+=+≤≤ )1,2,3(=k

0)(44=S f

当3=k 时：

)}({max }0)({max )(330330333

33

3x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=

于是有表7-2，表中*

3x 表示第三个阶段的最优决策。

单位：百万元

当2=k 时：

)}()({max )(223220222

2x S f x g S f S x -+=≤≤

于是有表7-3。

表7-3 （单位：百万元）

当1=k 时：

)}()({max )(112110111

1x S f x g S f S x -+=≤≤

于是有表7-4。

故最优分配方案为：A 区建3个销售店，B 区建2个销售店，C 区建1个销售店， 总利润为490万元。

2． 某工厂有100台机器，拟分4个周期使用，在每一周期有两种生产任务，据经验把机器

投入第一种生产任务，则在一个周期中将有六分之一的机器报废，投入第二种生产任务，则有十分之一的机器报废。如果投入第一种生产任务每台机器可收益1万元，投入第二种生产任务每台机器可收益0.5万元。问怎样分配机器在4个周期内的使用才能使总收益最大？ 解：

阶段：将每个周期作为一个阶段，即k=1,2,3，4 状态变量：第k 阶段的状态变量k S 代表第k 个周期初拥有的完好机器数

决策变量：决策变量k x 为第k 周期分配与第一种任务的机器数量，于是k k x S -该周期分

配在第二种任务的机器数量。

状态转移律：15/60.9()0.91/15K K K K K K S S S x S x +=+-=- 允许决策集合(){}

0K K K K K D S x x S =≤≤ 令最优函数：()()

(){}1max

0.50.50.91/15K K K k K K

K k K K x D S f S S

x f S x +∈=++-

边界条件：()55f S =0 当k=4时：

44

4444550()max {0.50.5()}x S f S S x f S ≤≤=++

44

440max {0.50.5}x S S x ≤≤=+

因)(44S f 是关于4x 的单调递增函数，故取44S x =*

，相应有444()f S S =；依次类推，可求

得：

当3=k 时：33S x =*

，333()11/6f S S = 当2=k 时：22x S *=，222()91/36f S S =

当1=k 时：11x S *=，111(100)671/216310.65f S S ===

计算表明，每一期都将全部机器投入第一种任务中，其中

1S =100，2S =83，3S =69，4S =58

3． 某公司生产一种产品，估计该产品在未来四个月的销售量分别为300、400、350和250

件。生产该产品每批的固定费用为600元，每件的变动费用为5元，存储费用为每件每月2元。假定第一个月月初的库存为100件，第四个月月底的存货为50件。试求该公司在这四个月内的最优生产计划。 解：阶段：将今后4个月中的每一个月作为一个阶段，即1,2,3,4k =；

状态变量：第k 阶段的状态变量k S 代表第k 个月初产品存储量； 决策变量：决策变量k x 代表第k 个月的生产量；

状态转移律：k k k k d x S S -+=+1（k d 是第k 个月的销售量）； 边界条件：1100S =，550S =，55()0f S =； 固定生产费用 0,

k 0χ=

C κ= 600, k 0χ>

和存贮费122()k k k k k Z S S x d +==+- 变动生产费用k G 5κχ= 最优指标函数：最优指标函数具有如下递推形式 11()min{()k

k k k k k k x f S C G Z f S κ++=+++

(){}1()min 52()k

k k k k k k k k k k k x f S C x S x d f S x d +=+++-++-

当4k =时： 表1

当K=3时：

()(){}3

333333344 ()min 52x f S C x S x d f S =+++-+

表2

当K=2时： 表3

当K=1时:

利用状态转移律，按上述计算的逆序可推算出最优策略为：第1个月生产200件，第2个月生产400件，第3个月生产350件，最后一个月生产300件。