第11章练习题+答案

第十一章 机械波和电磁波

三. 计算题

1. 一横波沿绳子传播时的波动方程式为 0.05cos(104)y t x ππ=- (SI)。 （1）求此波的振幅、波速、频率和波长；

（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；

（3）求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ （4）分别画出t=1s ，1.25s ，1.5s 各时刻的波形。 解：（1）原波动方程式可改写为 0.05cos10)2.5

x

y t =-

π（ (SI) 由波动方程式可知A =0.05m ，ν=5Hz ， 2.5/u m s =，u

=λν

=0.5m ，00?=

（2）0.5 1.57/m v A m s ωπ===，222

549.3/m a A m s ωπ===

（3）x =0.2m 处质点在t =1s 时的相位为(0.2,1)(10140.2)9.2?πππ=?-?= 与t 时刻前坐标原点的相位相同，则(0,)(1040)9.2t t ?πππ=?-?= 得t =0.92s

（4）t =1s 时，0.05cos(104)0.05cos 4()y x x m πππ=-=

t =1.25s 时，0.05cos(12.54)0.05sin 4()y x x m πππ=-=

t =1.50s 时，0.05cos(154)0.05cos4()y x x m

πππ=-=- 分别画出其波形图如下图所示：

图4

2. 设有一平面简谐波 0.02cos 2()0.010.3

t x

y π=- (SI)。 （1）求其振幅、波长、频率和波速。 （2）求x=0.1m 处质点振动的初相位。

解：（1）由波动方程有A =0.02m ，λ=0.3m ，ν=100Hz ，00?=，且30/u m s λν==

（2）0

0.1

00.122()0.010.33

x π

?π==-=-

3. 已知一沿x 轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s 时的波形如图4所示，且周期T=2s 。 （1）写出O 点和P 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P 点离O 点的距离。

解：解：由波形曲线可得A =0.1m ，λ=0.4m ，且0.2/u m s T

λ

==，2/rad s T

π

ωπ=

= （1）设波动表达式为0cos[()]x y A t u

ω?=-+ 由图可知O 点的振动相位为23

π

，即1003

2()3

3

Ot t s t π

π?ω??==+=

+=

得O 点的初相03

π

?=

所以O 点的振动表达式为0.1cos()()3

O y t m π

π=+

同样P 点的振动相位为013

[()]

3

0.2

3

2

P

Pt t s x x t u

==-+=

-

+

=-

ππ

π

π

?ω?，得

7

0.2330

P x m m =≈（）

所以P 点的振动表达式为50.1cos()()6

P y t m =-π

π （2）波动表达式为0.1cos[(5)]()3

y t x m π

π=-+

（3）P 点离O 点的距离为7

0.2330

P x m m =

≈（）

图1

三. 计算题

1. 一平面简谐声波的频率为500Hz ，在空气中以速度u=340m/s 传播。到达人耳时，振幅A=10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=1.29kg/m 3）。 解：人耳接收到声波的平均能量密度为22631

6.3710/2

w A J m ρω-=

=? 人耳接收到声波的声强为3

2

2.1610/I wu W m -==?

2. 一波源以35000W 的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为7.8×10-15J/m 3，求该处离波源的距离。电磁波的传播速度为

3.0×108m/s 。 解：设该处距波源r ，单位时间内通过整个球面的能量为2

4P SA S r π==

则43.4510r m =

==?

3. 一列沿x 轴正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=0.25s 时的波形如图1所示。试求： （l ）P 的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O 点的振动曲线。

解：由图1中的波形曲线可知A =0.2m ，

1T s =， 0.6m =λ，1T s =，1

1Hz T

ν=

=， 0.6/u m s λν==

（1） 由P 点的振动状态知02

P π

?=-，故P 点

的振动表达式为0.2cos(2)()2

P y t m π

π=-

（2）由O 点的振动状态知02

O π

?=

，故O 点的振动表达式为0.2cos(2)()2

O y t m π

π=+

所以波动表达式为100.2cos[2()]0.2cos(2)()0.6232

x y t t x m ππ

πππ=-+=-+ （3）O 点的振动曲线如下图所示

图

1

三．计算题

1．同一介质中的两个波源位于A 、B 两点，其振幅相等，频率都是100Hz ，相位差为π，若A 、B 两点相距为30m ，波在介质中的传播速度为400m/s ，试求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

1．解：建立如下图所示的坐标轴，根据题意，设

0A ?=，B ?π=，且4u

m λν

=

=

在A 、B 间任选一点C ，两波在C 点引起的振动分别

为

cos[()]cos ()AC A x x

y A t A t u u ω?ω=-+=-

()

cos[()]BC x L y A t u

-=++ωπ

两振动使C 点静止的相位差应为(21)C BC AC k ???π?=-=+ 即 ()2[()]()(2)(21)x L x t t x L k u u π

ωπωππλ

-+

+--=-+=+ 解得 215,0,1,2,

,7x k k =+=±±±

即AB 连线间因干涉而静止的点距A 点为（1,3,5,…,29）m ，共有15个。

在A 、B 两点外侧连线上的其他任意点，比如D 点和E 点，A 、B 两相干波的传播方向相同，并且在这些点处均为同相叠加，是干涉加强区域，所以在A 、B 两点外侧的连线上没有静止点。

2．两个波在一很长的弦线上传播，设其波动表达式为

10.06cos (0.020.8)2

y x t π

=- 20.06cos

(0.020.8)2

y x t π

=+

用SI 单位，求：（1）合成波的表达式；（2）波节和波腹的位置。

解：（1）ω=0.4πrad/s ，U=40m/s,λ=200m ，将两波改写成如下形式

120.06cos(0.4)200y t x =-

ππ，220.06cos(0.4)200

y t x =+π

π 则合成波为122(2cos )cos 0.12cos0.01cos0.4y y y A x t x t =+==π

ωππλ

这是个驻波。

（2）波节有cos0.010x π=

0.01(21)

2

x k π

π=+

故波节位置为 50(21),0,1,2,

x k m k =+=±

±

波腹有 cos0.011x π=

0.01x k ππ=

故波腹位置为100,0,1,2,

x k m k ==±

±

3．（1）火车以90km/h 的速度行驶，其汽笛的频率为500Hz 。一个人站在铁轨旁，当火车从他身旁驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大？设声速为340m/s 。

（2）若此人坐在汽车里，而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h 的速率迎着火车行驶。试问此人听到汽笛声的频率为多大？

解：设声波在空气中传播的速率为u ，波源（汽笛）的频率为ν，波源（火车）运动的速

率为39010/25/3600S m s m s υ?=

=，观察者的运动速率为3

5410/15/3600

R m s m s υ?==。 当波源和观察者沿两者的连线运动时，观察者接收到的频率为R

R S

u u +=-υννυ （1）火车向着观察者运动时观察者接收到的频率为

1340

(

)()50054034025

S S u Hz Hz u ννυ==?=-- 火车远离观察者运动时观察者接收到的频率为

2340

(

)50046634025

Hz Hz ν=?=+

则频率变化为1274Hz ννν?=-= （2）车中的观察者接收到的频率为

34015

500563.534025

R S S u Hz Hz u υννυ++=

=?=--