高中必修1-5错误解题分析系列-《3.3三角函数的恒等变换》
3.3三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1） 两角和与差的三角函数公式
βαβαβαs i n c o s s i n s i n )s i n (±+=± βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±
β
αβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n ( ±=±
（2） 二倍角公式 αααc o s
s i n 22s i n = ααααα2
222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=
α
αα2
tan 1tan 22tan -=
（3） 半角公式
2c o s 12s i n 2αα-= ， 2c o s 12c o s 2αα+= ， αααc o s 1c o s 12t a n 2+-= α
α
αααs i n c o s 1c o s 1s i n 2t a n -=+=
2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.
二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如
αααcos sin 22sin =成立的条件是“α是任意角，αα是2的2倍角”，精髓体现在角的“倍
数”关系上.
3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±、
2
2cos 1sin 2
α
α-=
、2
2cos 1cos 2
α
α+=
等.
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2βαβαα-++=、ββαα-+=)(、 2
2
β
αβ
αβ+-
+=
，
)2
(
)2
(2
βα
β
αβ
α+--
=-等，注意到倍角的相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.
三、典型例题导讲
[例1] 在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
6
π
或π6
5
D ．
3
π
或
3
2π
错解：C
错因：求角C 有两解后未代入检验. 正解：A
[例2] 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,
2
π
π
)，则α+β=（ ）
A ．
3
π
B ．
3
π
或-π3
2
C ．-
3
π
或π3
2
D ．-π3
2
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围. 正解：D.
[例3] 若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1
B. 区间（0，1）
C.
12
1
n - D. 不能确定
错解：C
错因：此题极易认为答案A 最不可能，怎么能会与n 无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件sin cos 2
2
1θθ+=，导致了错选为C 或D. 正解：解法一 设点(sin cos )θθ，，则此点满足 x y x y +=+=???1122
解得x y ==???01或x y ==???1
即sin cos sin cos θθθθ==???==??
?011
或 ∴+=s i n c o s n n
θθ1 ∴选A
解法二：用赋值法，
令sin cos θθ==01， 同样有sin cos n n θθ+=1 ∴选A
[例4] △ABC 中，已知cosA=13
5，sinB=
5
3，则cosC 的值为（ ） A.
65
16 B.
65
56 C.
65
16或
65
56 D.65
16-
错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘. 正解：A
[例5] 已知5
3sin +-=
m m θ，524cos +-=
m m
θ（
πθπ
<<2
）
，则=θtan （ ） A 、3
24--m m B 、m
m 243
--±
C 、12
5- D 、12
54
3-
-
或
错解：A
错因：是忽略1cos sin 22=+θθ，而解不出m 正解：C [例6]求值：
sin cos sin cos sin sin 71587158
+?-?=_______________
解：答32－
解法一 原式=
-+?--?sin()cos sin cos()sin sin 158158158158
=
??s i n c o s c o s c o s 158158
==-tg tg 154530
()
=-+
=-
+=-
133133
333323
解法二
（余同解法一）
…原式==?=
++=
-+
-+
=
15
8cos 15cos 28
cos 15sin 27
cos 23cos 7sin 23sin )
7cos 23(cos 2
17cos )7sin 23(sin 217sin tg
[例7] 已知θ是第三象限的角，若sin cos sin 4459
2θθθ+=
，则等于（ ）
A. 223
B. -223
C. 43
D. -23
解：选A.
解析：sin cos 44θθ+
=+-(s i n c o s )s i n c o s 22222
2θθθθ
=-
=
112
259
2
s i n θ
∴=s i n 2
289
θ
2232
42243202223
k k k k k Z ππθππππθππθθ+<<+
∴+<<+∈∴>∴=
（）s i n s i n
[例8]β
αβαβα2cos 2cos 2
1cos cos sin sin 2222?-?+?化简
分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少.
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种. 解法一：（复角→单角，从“角”入手）
原式)1cos
2)(1cos 2(2
1cos cos sin
sin 2
22
22
2--?-
?+?=βαβαβα
=?+?-
?--+sin sin cos cos (cos cos cos cos )2
2
2
2
2
2
2
2
12
4221αβαβαβαβ
=?-?++-
s i n s i n c o s c o s c o s c o s 222222
12
αβαβαβ
=?++-
s i n s i n c o s s i n c o s 2222212
αβαββ
=+-
2s i n c o s ββ212
=-
=
112
12
解法二： （从“名”入手，异名化同名）
原式=?+-?-
?sin sin (sin )cos cos cos 2
2
2
2
112
22αβαβαβ
=---
?c o s s i n (c o s s i n )c o s c o s 2222
12
22βαββαβ
=-?-?c o s s i n c o s c o s c o s 2
2
21
2
22βαβαβ =-?+c o s c o s
(s i n c o s )2
2
212
2ββαα
=
+-+-??????1222121222
c o s c o s s i n (s i n )β
βαα
=+-=
122
12
212
c o s c o s β
β
解法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=
-?
-+
+?
+-
?122
122
122122
12
22cos cos cos cos cos cos αβαβ
αβ
=+?--++?++14
1222214
12222(cos cos cos cos )(cos cos cos cos )αβαβαβαβ
-??1222c o s c o s αβ =
+=14
1412
解法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=?-?+???-?(sin sin cos cos )sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβ2
212
22
=++?-?c o s ()s i n s i n c o s c o s 2
122212
22αβαβαβ
=+-
?+c o s ()c o s ()212
22αβαβ [
]
=+-?+-c o s ()c o s ()2
2
12
21αβαβ
=
12
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法. 四、典型习题导练
1.已知集合M=}{R x x x y y ∈+=,cos sin ，N=}{R
x x x y y ∈=,cos sin
π则MUN 等于
（ ）
A ．M B.N C.ф D.}{22≤≤-y y
2.若sin α+cos α=2,则tan α+cot α=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
3.已知
2
л＜α＜л＜,sin α=
5
4,则cos
2
α的值为( )
A.25或-55
B.-
55 C.
5
5 D.以上都不对
4.已知θ=5л,则`
34an
3an
33
4an
3t θθθθt t t an +
+= .
5.计算sin
10
лsin
10
13л= .
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ） A ．22-
B ．
2
2 C ．2
2±
D ．21±
7．求值：tg tg tg tg 204032040
++?=__________
8.函数y x x =++sin cos 2的最小值为（ ） A. 22-
B. 22+
C. 0
D. 1
9．已知角A 是△ABC 的一个内角，且3
2cos sin =+A A ，则△ABC 是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．形状不确定
10.已知向量.5
52||),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b a b a ββαα
（1）求)cos(βα-的值； （2）若αββπ
π
αsin ,13
5sin ,02
,20求且-
=<<-
<<的值.
高一数学必修一 函数知识点总结
3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
高一地理必修一期中考试试题及答案解析
高一地理必修一期中考试试题及答案解析马上就要来到的期中考试，大家要放松心态，小编为大家准备了高一地理必修一期中考试试题及答案解析，及时查漏补缺。 一、单项选择题(每小题2分，共50分) 读甲、乙两湖分布图，完成1～3题。 1.甲、乙两湖所处的自然带分别是() ①温带荒漠带②亚热带常绿阔叶林带③热带荒漠带④亚热带常绿硬叶林带 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 2.乙湖周围的地带性土壤是() A.黑土 B.荒漠土 C.红壤 D.紫色土 3.目前甲湖正不断萎缩，可能引起() A.农业生产条件优化 B.气候更加干旱 C.洪涝灾害加剧 D.水土流失加重 1～3.解析根据经纬网和湖的形状可以判断甲湖是位于中亚的咸海，乙湖是我国湖南的洞庭湖。咸海周围是温带大陆性气候，洞庭湖周围是亚热带季风气候。 答案1.A 2.C 3.B 如图表示的是某山地垂直自然带的分布，读图完成4～5题。
4.图中①②③依次代表() A.积雪冰川带、高寒荒漠带、高山草原带 B.高寒荒漠带、山地落叶阔叶林带、高山草原带 C.高寒荒漠带、积雪冰川带、高山草原带 D.高山草原带、山地针叶林带、高寒荒漠带 5.决定该山山麓自然带的主导因素是() A.纬度位置 B.海陆位置 C.山脉走向 D.山体坡度 4～5.解析先查看基带所处纬度位置、海陆位置及在气压带风带中的位置，明确基带的自然带属性。再按纬度地带性规律，由基带开始，从低纬向高纬更替的规律，变成由地势低处向高处依次更替的规律。图中基带为热带草原带，故处于低纬度区;①为5 000米以上，判定是积雪冰川带，③以下是森林草原过渡带，可判定③是高山草原带。 答案4.A 5.A 读下面四幅图，完成6～7题。 6.图中甲、乙、丙、丁表示的四种气候类型依次是() A.温带大陆性气候、极地气候、亚热带季风气候、温带季风气候 B.高山气候、温带海洋性气候、亚热带季风气候、地中海气候 C.热带草原气候、温带海洋性气候、高山气候、温带季风气
高一化学必修一第二章教材分析与教学建议
高一化学必修一第二章 教材分析与教学建议 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
人教版必修1第二章《化学物质及其变化》 教材分析与教学建议 广州市第五中学黄昆 一、本章节内容的地位和功能 1．从必修1教材内容结构分析，第一章是从化学科学研究手段——化学实验方面展开化学科学；而第二章则是从化学学科内容方面展开化学学科。作为学科内容方面使学生认识化学科学的起始章，是义务教育阶段和高中化学的纽带和桥梁，对于发展学生的科学素养，引导学生有效进行高中阶段的化学学习，具有非常重要的承前启后的作用。 2．本章内容分三个部分──物质的分类、离子反应和氧化还原反应，都属于化学基本概念范畴，是学生学习元素化合物重要的理论工具，也是深入认识和理解物质性质和化学变化的入门性知识，为化学必修课程的学习，乃至整个高中阶段的化学学习奠定了重要的基础。因此，本章内容占有特殊的地位，具有重要的功能，是整个高中化学的教学重点之一。 3．从化学基本观念体系分析，本章内容作为重要的化学基本概念知识，涉及对学生元素观、微粒观、变化观和分类观的进一步形成和完善。
二、内容结构与特点分析 从本章内容结构框架图可以看出，化学物质及其变化的分类的是统领本章的一条基本线索：纯净物的分类—→混合物的分类—→化学反应的分类。化学物质和变化是化学科学的重要研究对象，要认识它们的规律性，就必须运用分类的方法，分门别类地进行研究。 第一节内容主要是对物质进行分类，从已有经验体会“物质分类”的目的和意义，—→从物质分类的实践中领悟“分类”方法的实质是分类标准的确定—→在新旧知识的联系中拓展“化学物质分类”的应用，体会“同一种元素的
高中数学必修一函数难题
高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
高中地理必修一教案(完整版)
必修一（教案1） 第一章第一节地球的宇宙环境 一. 多层次的天体系统 (1) 可见宇宙：天文学家把人类已经观测到的有限宇宙叫“ 可见宇宙”或“已知宇宙”，其半径约200亿光年 （2）光年：是天文学中的距离单位，即光在真空中一年所传播的距离，约等于9.4608×1012千米 （3）天体系统的形成及层次 ①形成：宇宙中的天体都处于不停地运动和发展之中。天体之间由于相互吸引和相互绕转 形成天体系统 ②层次： 总星系 ??????? A ：银河系????? B ：太阳系????? C ：地月系????? 地球月球其他行星系其他恒星系 河外星系 二．太阳系 (1) 组成：太阳系的中心天体为太阳，围绕太阳运行的天体包括行星、彗星和
其他小天体等。 (2)八大行星：按与太阳的距离由近及远，A→H依次为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星八颗大行星。 （4）八大行星的运动特征 ①类地行星：水星、金 星、地球、火星 ②巨行星：木星、土星 （5）分类③远日行星：天王星、海王星 ④地内行星：水星、金星、地球 三．普通而特殊的行星--地球 1．普通性：地球是银河系中普通的成员。而在太阳系中，就外观和所处的位置而言，地球是一颗普通的行星。 2．特殊性：地球是目前所知道的唯一存在生命的天体，因此是宇宙中一颗特殊的行星。地球上所具备的生命存在的其他条件：（1）充足的水分；（2）恰到好处的大气厚度和大气成分（3）适宜的太阳光照和温度范围 四．运用拓展 1.天体的类型和分类天体：可分为自然天体和人造天体 ①自然天体：恒星、星云、行星、卫星、流星、彗星及星际空间的气体和尘埃等。最基本的天体是恒星和星云。 太阳是距离地球最近的一颗恒星。 恒星：由炽热气体组成，能自己发光的球状天体，有很大的质量。 星云：由气体和尘埃组成的呈云雾状外表的天体，主要成分是氢。 行星：围绕恒星运行的天体，太阳系共有八大行星，体积、质量木星最大。 流星体：行星际空间的尘粒和固体小块。流星体进入地球大气层与空气摩擦形成流星现象。沿同一轨道绕太阳运行的大群流星体，称为流星群。流星群与地球相遇时，人们会看到某一区域某一时间流星数目显著增加，有时甚至像下雨一样，这种现象称为流星雨。大多数是以辐射点所在星座或附近的恒星命名，如狮子座流星雨。 彗星：在扁长轨道上绕太阳运行的一种质量较小的天体，呈云雾状的独特外貌，
英语写作常见错误分析
大学英语四六级应试技巧写作篇（英语写作常见错误分析） 检查主要针对四个重点部位：1）是否切题它又分三个层面： 一是整篇文章内容是否切合文章标题要求； 二是段落主题句的内容是否与各段落提示句内容相一致； 三是段落内部的内容是否与段落主题句的表达相一致。如果发现任何一个层面不切题，应尽可能弥补，删除那些多余的或不切题的地方；增添残缺的、语义表达不足的地方。由于时间所限，删的内容一定要精，要切中要害，切忌动“大手术”。 2）是否连贯检查上下文是否连贯，句子衔接是否自然流畅，检验的标准主要是句子是否通顺，该用连接词的地方用了没有，以及所用的连接词是否合适。 3）是否有语法错误主谓是否一致，动词的时态、语态、语气的使用是否正确，词组的搭配是否合乎习惯。为避免不必要的语法错误，对把握性不大的词组、句型绝不要用。而应使用那些自己熟悉的词组、句型来表达相同或相近的意思。 4）是否有大小写、拼写、标点错误在这些细枝末节上，谨慎细心地处理，无疑会进一步提高文章的整体质量。在检查、改错的过程中，切忌乱涂乱抹。保持卷面清洁，无疑会给阅卷者留下好印象。英语写作常见错误 一、不按提纲写/ 不切题 一、不切题英汉不同的语篇思维模式是造成不切题的直接原因。一些外国人认为东方人写作善用迂回法，也就是总绕着主题的外围转，而不从主题入手展开讨论。汉语语篇的思维模式是中国历史文化的产物，人们认为这种方式含蓄、委婉，容易使人接受，而英美人则喜欢开门见山的叙述主题；所以我国学生进行英语写作时，由于受汉语语篇思维模式的影响，阐述时不从主题入手，不能紧扣主题进行写作，致使文章主题不明确，观点不够鲜明。我们来看一篇以＂Trees＂为题目的作文：Trees are man's friends. 1. We can see trees everywhere. 2. We plant trees every year. 3. We can make tables with trees. 4. Trees also give us fruits to eat. 5. I like to eat fruits very much. 再来看改写后的段落：Trees are man’s friends.1.They provide man with timber, fruits and seeds. With timber, man can build houses and make furniture. 2. Fruits are the food, which is necessary to us every day. 3. As for seeds, they can be used to extract oil. 这样就克服了前面所犯错误，紧紧围绕了主题句来展开，算是一篇好的作文。 二、语言表达的错误 从题目或给出的关键词中照搬，不注意单词在句中所做的成分及大小写 忽视第三人称单数 忽视被动语态的用法 三、语言表达的错误重点分析。 1．句子结构混乱，出现句子不完整或句子成分多余2．词性误用3．主谓不一致 4．根据中文逐字硬译5. 名词可数与不可数的误用 6.介词to和不定式符号的混淆7 .动宾搭配不当 8. 词组搭配错误 9．综合性语言错误: 有诸如时态，语态，标点符号，大小写等方面的错误 1．句子结构混乱，出现句子不完整或句子成分多余。句子不完整（Sentence Fragments）在口语中，交际双方可借助手势语气上下文等，不完整的句子完全可以被理解．可是书面语就不同了，句子结构不完整会令意思表达不清，这种情况常常发生在主句写完以后，笔者又想加些补充说明时发生． 例1．There are large number of people die from the disasters.
高中数学必修一教材分析1
高中数学必修一教材分析 作为新课程高中数学的起始模块—必修一，它是由“第一章集合和函数概念、第二章基本初等函数、第三章函数的应用”三部分内容组成.下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一一分析. 1 集合 集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理. 本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如，集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一起，并给出子集的概念；集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习. 教学目标 集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习. ⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号. — ⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. ⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力. ⑷了解全集与空集的含义. ⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. ⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. ⑺能使用Venn图表达集合的关系及运算. 教学重点和难点 教学重点 ,
高中数学必修1《函数的应用》知识点
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第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????
()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?
高中数学必修系列函数基础知识
高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 一、标题常见问题分析 公文标题是公文内容的摄要，在发挥公文效能上起着举足轻重的作用。但受诸多因素的影响，公文标题时常出现一些毛病，现归纳为以下八个方面，并作粗浅分析。 （一）要素不全 完整的、规范的公文标题，一般应具备“三要素”，即发文机关名称、事由、文种，以标明由谁发文、为什么发文和用什文种发文。2012年7月1日起施行的《党政机关公文处理工作条例》作出明确规定：“公文标题应当准确简要地概括公文的主要内容（事由）并标明公文种类（文种），一般应当标明发文机关”。当然，特殊情况下，也可省略标题中的一至二个要素，但不可随意省略，要相对规范，否则，将毛病百出。 常见的病例有三种： 一是随意省略事由。如《××县人民政府决定》，由于省略事由，受文者看不出标题所反映的主要内容、事项和基本观点，不利于学习、贯彻、领会、落实文件精神。除一些非重要的、极其简短的通知、通告和特殊机关发出的特定公文外（如中华人民共和国国务院、司法部门发出的国务院“公告”、“主席令”、“布告”等），一般情况下不得省略事由。 二是随意省略发文机关。如：一份没有版头的文件标题《关于加强农村党支部建设的报告》，待上级看完文件后，才从落款处知道文件是哪个机关发出的，既不庄重，也不严肃，更不利于公文运转和办理。具有重大决策和事项的下行文不得省略发文机关；没有版头的下行文、上行文均不得省略发文机关，但有版头（发文机关标识）的，也可不标明发文机关。 三是随意省略文种。使受文者不得要领，失去公文的严肃性。如《××乡人民政府关于召开春耕生产会议的有关事宜》。 （二）乱用文种 主要表现在三个方面： 一是混用文种。如《全国人大常委会党组关于县乡换届选举问题的请示报告》，这里把“请示”、“报告”两个不同的文种混淆在一起使用，不论是已经废止的《国家行政机关公文处理办法》，还是自2012年7月1日起施行的《党政机关公文处理工作条例》，都没有“请示报告”这一文种，明显不妥。从该“请示报告”的内容看，应使用批转式“报告”这一文种。 二是错用文种。有的该用“请示”的，却用了“报告”，而该用“报告”的反而用的是“请示”；有的该用“函”的却用“通知”；有的把没列为文种的公文种类作为文种使用，如“条例”、“规定”、“办法”、“总结”、“计划”等，以上这些，都不可作为文种使用，不可直接行文。《党政机关公文处理工作条例》所确定的公文文种共有15种，决议、决定、命令（令）、公报、公告、通告、意见、通知、通报、报告、请示、批复、议案、函、纪要。除此之外，均不可直接行文，但可作为“印发”、“颁发”或“通知”的“附件”行文。 三是生造文种。如《关于调整工资的补充说明》、《关于机构改革中有关问题的解释》等，这里的“补充说明”、“解释”均不应作为文种使用，以上两个标题可修定为《××（发文机关）关于印发调整工资补充说明的通知》、《××（发文机关）关于印发机构改革中有关问题解释的通知》。还有的把“安排”、“要点”、“细则”这些既不是公文文种又不是应用文体种类的东西常常作为公文文种直接行文，是错误的。 （三）隶属不清 不该用“批转”的，用了“批转”；该用“批转”的却用了“印发”、“转发”，分不清三者之间的隶属关系和词性。如《××县政府办公室关于批转××市长在××会议上讲话的通知》，这里的“批转”使用不当，应该使用“印发”或“转发”。因为“批转”具有“批准转发”之意，是上级对下级报告的认同并转发下去贯彻落实的。下级对上级机关的文件和上级领导同志的讲话、批示等不可使用“批转”，否则将混淆了上下级的隶属关系。 （四）提炼不精。主要表现在标题冗长上。如《×××（发文机关）关于招收退休退职职工子女就业，进行合理安 人教版高中物理(必修一)教材分析 江苏省射阳中学高三物理备课组 一、教学要求 必修一模块是高中物理共同必修模块，所有的学生都必须完成这一模块的学习。本模块划分为“运动的描述”和“相互作用与运动规律”两个二级主题，模块涉及的概念和规律是高中物理进一步学习的基础。有关实验在高中物理中具有典型性，通过这些实验学习，可以掌握基本的操作技能、体会实验在物理学中的地位及实践在人类认识世界中的作用,其具体的教学要求如下:（一）运动的描述 [内容标准] 1.通过史实，初步了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用。 2.通过对质点的认识，了解物理学研究中物理模型的特点，体会物理模型在探索自然 规律中的作用。 3.经历匀变速直线运动的实验研究过程，理解位移、速度和加速度，了解匀变速直线运动的规律，体会实验在发现自然规律中的作用。 4.能用公式和图像描述匀变速直线运动，体会数学在研究物理问题中的重要性。 [学习要求] 1.质点 认识质点的概念，通过实例分析知道质点是一种科学抽象，是一个理想模型。 在具体事例中认识在哪些情况下可以把物体看作质点，体会质点模型在研究物体运动中的作用。 2.参考系和坐标系 知道参考系概念，通过实例的分析了解参考系的意义。 在具体问题中正确选择参考系，利用坐标系描述物体的位置及其变化（不要求介绍“惯性系”和“非惯性系”） 体会研究物理问题中建立参考系的重要性，体验数学工具在物理学中的应用。 3.时间（间隔）和时刻 通过实例了解时刻和时间（间隔）的区别和联系。 用数轴表示时刻和时间，体会数轴在研究物理问题中的应用。 4.路程和位移 理解位移的概念。 通过实例，了解路程和位移的区别，知道位移是矢量，路程是标量。 知道时刻与位置、时间与位移的对应关系；用坐标系表示物体运动的位移。 5.速度匀速直线运动 理解物体运动速度的意义，知道速度的定义式和矢量性，知道速率的概念。 理解平均速度的意义，并用公式计算物体运动的平均速度，认识有关显示物体运动速度大小的仪表。 知道瞬时速度的意义，在具体问题中识别平均速度和瞬时速度，初步体会极限的思维方法。 知道速度和速率的区别。 理解匀速运动的概念。 认识匀速直线运动的s－t图像和v—t图像，并用他们描述匀速直线运动。 6.速度的测量 理解测量速度的基本原理。 会用打点计时器测量物体运动的速度，会处理实验数据。 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 高一地理必修一学情分析及应对措施 一、高一地理必修一学情分析 1.初、高中地理知识衔接不够，缺乏必要的知识准备——关键原因 地理必修一是自然地理，涉及许多学科内的准备知识，如地球、地图的基本知识，气候的基本知识等。为了减轻初中生的学业负担，教材内容已大大简化，再加上现实的中考制度，河南省对初中地理和生物学科大大淡化——能够通过初二结业考试即可，所以一些初中学校地理教学没有完成教学任务，导致学生上高中后地理学习显得十分被动。同时，与高一地理有关的一些立体几何、物理、化学、生物等知识要在高一下或者高二才能学到，这种教学中的知识“断层”，增加了学生对有关地理知识理解的难度。 2.对地理学科的特点了解不够，缺乏良好的地理学习方法——客观原因 尽管地理课本开篇《致同学们》很有新意地介绍了高中地理学科的主要内容和特点、教材编写体例、学习方法等内容，但要真正领会到地理学科的综合性、空间性、实践性以及文理知识的交叉性等特点还需一个过程。许多学生心目中的地理还是停留在讲述地名、物产加数字的水平上，认为学地理只要划一划，背一背就能了事。很多学生学习地理重记忆、轻理解，忽视理性思考和推理，对地理学科形成了“地理书有趣，地理课好听，地理题难做”的感受。 3.地理学习的兴趣不高，缺乏主动学习的自觉性——主体原因 学生进入高中后，往往在各种因素的引导下，自觉或不自觉地产生地理是一门副课的错误思想。由于现实的高考科目设置导向，部分学生刚入高中，就把自己的奋斗目标和爱好志趣定位在理科上，从而在潜意识中产生学地理简直是在“浪费”时间，这些学生没有学习地理的兴趣和内在需要，结果是可想而知的。 4.师资流失，难度提高，缺乏学好地理知识的信心——重要原因 为了及早与高考接轨，平时训练用题照搬全国历年高考题，拔高了教学要求，更增加了学生学习地理的恐惧。还有一点也是应该正视的现实，20世纪90年代初地理一度中断高考，很多地理老师流失，高等师范院校地理教育萎缩，导致中学地理教育人才青黄不接，现今相当一部分地理老师是没有学过地理专业的，素质不高，遇到教学困难束手无策。 5.老师的教学方法单一，缺乏活跃的课堂学习气氛——客体原因 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f （x ）和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是（ ） x ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈ Z} ，对应法则 f ：x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ，对应法则 f ：x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f ：x →y= x 2; A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（ ） 变式 1. 列图像中，是函数图像的是（ ② 变式 2. 已知函数 y=f （ x ），则对于直线 x=a （a 为常数） A. y=f （ x ）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y ＝f （x ） ，以下说法正确的有? （ ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ，y 的值也不同 ③f （a ） 表示当 x ＝ a 时函数 f （x ） 的值，是一个常量 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D 变式 5．设集合 M ＝{x|0 ≤x ≤ 2} ，N ＝ {y|0 ≤y ≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函 ，以下说法正确的是（ B.y=f （ x ）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f （x ） 一定可以用一个具体的式子表示出来 ． 4 个 y 2x 1，x ∈ Z 与 y 2x 1， x ∈Z 英语写作常见错误与分析 英语写作常见错误与分析 下面我们对一些在英语写作中典型的病句实例逐一加以剖析． 一．不一致（Disagreements）所谓不一致不光指主谓不一致，它还包括了数的不一致时态不一致及代词不一致等．例１． When one have money ,he can do what he want to .(人一旦有了钱，他就能想干什么就干什么．)剖析：one是单数第三人称，因而本句的have应改为has ;同理，want应改为wants.本句是典型的主谓不一致．改为：Once one has money ,he can do what he wants (to do) 二．修饰语错位（Misplaced Modifiers）英语与汉语不同，同一个修饰语置于句子不同的位置，句子的含义可能引起变化．对于这一点中国学生往往没有引起足够的重视，因而造成了不必要的误解．例１． I believe I can do it well and I will better know the world outside the cus. 剖析：better位置不当，应置于句末． 三．句子不完整（Sentence Fragments）在口语中，交际双方可借助手势语气上下文等，不完整的句子完全可以被理解．可是书面语就不同了，句子结构不完整会令意思表达不清，这种情况常常发生在主句写完以后，笔者又想加些补充说明时发生．例 １． There are many ways to know the society. For exle by TV ,radio ,newspaper and so on . 剖析：本句后半部分＂for exle by TV ,radio ,newspaper and so on .”不是一个完整的句子，仅为一些不连贯的词语，不能独立成句．改为：There are many ways to know society ,for exle ,by TV ,radio ,and newspaper. 四．悬垂修饰语（Dangling Modifiers）所谓悬垂修饰语是指句首的短语与后面句子的逻辑关系混乱不清．例如：At the age of ten, my grandfather died. 这句中＂at the age of ten＂只点出十岁时，但没有说明” 谁”十岁时．按一般推理不可能是my grandfather, 如果我们把这个悬垂修饰语改明确一点，全句就不那么费解了．改为：When I was ten, my grandfather died.例１． To do well in college, good grades are essential.剖析：句中不定式短语“to do well in college” 的逻辑主语不清楚．改为：To do well in college, a student needs good grades. 五．词性误用(Mi suse of Parts of Speech)“词性误用”常表现为：介词当动词用；形容词当副词用；名词当动词用等．例１． None can negative the importance of money.剖析：negative 系形容词，误作动词。改为：None can deny the importance of money. 物理必修一教材分析 必修一模块是高中物理共同必修模块，所有的学生都必须完成这一模块的学习。本模块划分为“运动的描述”和“相互作用与运动规律”两个二级主题，模块涉及的概念和规律是高中物理进一步学习的基础。有关实验在高中物理中具有典型性，通过这些实验学习，可以掌握基本的操作技能、体会实验在物理学中的地位及实践在人类认识世界中的作用,其具体的教学要求如下: （一）运动的描述 1.质点 认识质点的概念，通过实例分析知道质点是一种科学抽象，是一个理想模型。在具体事例中认识在哪些情况下可以把物体看作质点，体会质点模型在研究物体运动中的作用。 2.参考系和坐标系 知道参考系概念，通过实例的分析了解参考系的意义。 在具体问题中正确选择参考系，利用坐标系描述物体的位置及其变化（不要求介绍“惯性系”和“非惯性系”） 体会研究物理问题中建立参考系的重要性，体验数学工具在物理学中的应用。 3.时间（间隔）和时刻 通过实例了解时刻和时间（间隔）的区别和联系。 用数轴表示时刻和时间，体会数轴在研究物理问题中的应用。 4.路程和位移 理解位移的概念。 通过实例，了解路程和位移的区别，知道位移是矢量，路程是标量。 知道时刻与位置、时间与位移的对应关系；用坐标系表示物体运动的位移。 5.速度匀速直线运动 理解物体运动速度的意义，知道速度的定义式和矢量性，知道速率的概念。 理解平均速度的意义，并用公式计算物体运动的平均速度，认识有关显示物体运动速度大小的仪表。 知道瞬时速度的意义，在具体问题中识别平均速度和瞬时速度，初步体会极限的思维方法。 知道速度和速率的区别。 理解匀速运动的概念。 认识匀速直线运动的s－t图像和v—t图像，并用他们描述匀速直线运动。 6.速度的测量 理解测量速度的基本原理。 会用打点计时器测量物体运动的速度，会处理实验数据。 对于具体问题，使用v—t图像描述速度随时间的变化规律。 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1公文写作常见问题分析
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