配方法题研究-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(原卷版)

备战2020中考数学解题方法专题研究

专题6 配方法专题

【方法简介】

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．

运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．

【真题演练】

1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）

A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝8

2. 用配方法解下列方程：

(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.

3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．

4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.

【名词释义】

把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．

用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：

1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；

4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．

“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．

【典例示例】

例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.

小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”

(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；

(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．

例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题

完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：

解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)

＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)

＝2[(x+3)2﹣11]

＝2(x+3)2﹣22