高中数学竞赛_奥林匹克数学的技巧(中篇)

奥林匹克数学的技巧（中篇）

2-7-8 配对

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，163IMO -也用到了配对。

例2-143 求

502

0305[

]503

n n

=∑之值。 解 作配对处理 502

251

251011

305305305(503)304503

[]([][])30425176304

503503503503n n n n n n ===-?=+==?=∑∑∑ 例2-144 求和 122k n

n n n n n a C C kC nC =+++++…… 解一 由k

n k

n n

C C -=把n a 倒排，有012012k n

n n n n n n a C C C kC nC =++++++……

1(1)()0n n n k n

n n n n n a nC n C n k C C --=+-++-++……

相加 012()2n n

n n n n a n C C C n =+++?… 得 1

2

n n a n -=?

解二 设集合{}1,2,,S n =…，注意到 ,

,1,2,,k n A S A k

k C A k n

?=

=

=∑

… 有n A S

a A ?=

∑

为了求得A S

A ?∑把每一A S ?，让它与补集A 配对，共有1

2

n -对，且每对中均有A A n +=

于是12n n A S

a A n n n n -?=

=++=?∑

…

这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。 例2-145 设12,,,n x x x …是给定的实数，证明存在实数x 使得

{}{}{}121

2

n n x x x x x x --+-++-≤

… 这里的{}y 表示y 的小数部分。 证明 有 {}{}1,0,y Z

y y y Z

?∈?+-=?

∈?? 知{}{}1y y +-≤

下面利用这一配对式的结论。设{}{}{}112i i i n f x x x x x x =-+-++-

{}{}2

1

11(1)

()12

n

i i j j i n i i j n

i j n

n n f x x x x C =≤≤≤≤≤≤-=

-+-≤

==

∑

∑

∑

据抽屉原理①知，必存在(1)k k n ≤≤，使211

2

k n n f C n -≤=

取k x x =，由上式得

{}{}{}1212

n n x x x x x x --+-++-≤

… 2-7-9 特殊化

特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。

特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。

例2-146 已知恒等式 8824

(21)()()x a

x b x c x d --+=++ 求实数,,,a b c d ，其中0a >。

解 对x 取特殊值，当12x =

时，有84

1()()0242

a c

b d -+=++≥ 故有02a b +=（1） 1042

c

d ++=（2）

又取0x =（即比较常数项系数），有 84

1b d -=（3） 比较8x 的系数（考虑特殊位置），有88

21a -=（4）

由④得a =

= 代入（1）

，得2

b =-

代入原式左边，有8

88811

(21)256()255()222

x x x --=--- 82

4

1

1()()2

4

x x x =-=-+ 故知11,4

c d =-=

。 也可以将,a b 的值代入（3）、（2）求,d c ，但要检验排除增根。 例2-147 已知a 为常数，x R ∈，且()1

()()1

f x f x a f x -+=

+

求证 ()f x 是周期函数。