一元二次不等式导学案
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 例2 解下列分式不等式: (1) 2 2 123+-≤-x x (2) 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x . 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2. 例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m . 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax . 例8 解不等式331042<--x x . 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x . 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x .求不等式 02>++a bx cx 的解集. 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞,,Y ,求a 、b 的值. 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值. 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax . 例14 解不等式x x x ->--81032.
例1解:(1)原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知 当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x=6=0; 当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0; 当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线y= x2-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明:由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1<x2),由图2.3-2①可知 不等式ax2+bx+c>0的解为 x<x1,或x>x2; 不等式ax2+bx+c<0的解为 x1<x<x2. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2+bx+c =0有两个相等的实数根x1=x2=-b 2a,由图2.3-2②可知不等式ax2+bx+c>0的解为 x≠-b 2a; 不等式ax2+bx+c<0无解. 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范. 如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方, 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。 3. 3.1二元一次不等式(组)与平面区域. 【教学目标】 1. 了解二元一次不等式(组)这一数学模型产生的实际背景。 2. 理解二元一次不等式的几何意义 3. 会判定或正确画出给定的二元不一次等式(组)所表示的点集合 【教学重难点】 教学重点:1. 理解二元一次不等式(组)的几何意义; 2. 掌握不等式(组)确定平面区域的 一般方法 教学难点:1 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 2 掌握不等式(组)确定平面区域的一般方法 【教学过程】 一、 设置情境,引入新课 一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可以带来30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%,那么信贷部如何分配资金呢? 问题1.那么信贷部如何分配资金呢? 问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢? 二、合作探究,得出概念 (1)设用于企业资金贷款的资金为x 元,用于个人贷款的资金y 元,由于资金总数为25000000元,得到 25000000≤+y x ① 由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30000元以上,所以 ()()30000%10%12≥+y x 即30000001012≥+y x 。 ② 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值,于是0,0≥≥y x ③ 将①②③合在一起,得到分配资金应该满足的条件:???? ???≥≥≥+≤+0 0300000101225000000y x y x y x 二元一次不等式组: 二元一次不等式(组)的解集的意义: (2)二元一次不等式(组)的几何意义 研究:二元一次不等式6<-y x 表示的图形 ①边界的概念 ②二元一次不等式(组)的几何意义,画法要求 ③判定方法(1)特殊点法(2)公式法 三、 典型例题 例题1画出不等式2x +y -6<0表示的平面区域。 解:先画直线2x +y -6=0(画成虚线)。 取原点(0,0),代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6<0, 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =, 方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案 一、选择题 1.解方程组: 222(1)20(2)x y x xy y -=??--=? 【答案】1212 14,12x x y y ==????=-=?? 【解析】 【分析】 先由②得x +y =0或x?2y =0,再把原方程组可变形为:20x y x y -=?? +=?或220 x y x y -=??-=?,然后解这两个方程组即可. 【详解】 222(1)20 (2)x y x xy y -=??--=?, 由②得:(x +y )(x?2y )=0, x +y =0或x?2y =0, 原方程组可变形为:20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=? , 解得:1212 1412x x y y ==????=-=??,. 【点睛】 此题考查了高次方程,关键是通过把原方程分解,由高次方程转化成两个二元一次方程,用到的知识点是消元法解方程组. 2.解方程组: ⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612 x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】(1)2 {1x y ==-;(2)3{45 x y z === 【解析】(1)先用代入消元法求出x 的值,再用代入消元法求出y 的值即可. (2)先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程,解这两个方程组成的方程组求出x 、y ,然后利用代入法求z ,从而得到原方程组的解. (1)2 {1x y ==- ; (2) 3{45 x y z === “点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组:利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题. 3.解方程组:2322441x y x xy y +=?-+=?? 【答案】2112115,175x x y y ?=?=????=??=?? 【解析】 分析:把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程,与组中的第一个方程构成新方程组,求解即可. 详解:2322441x y x xy y +=?-+=?? ①② 由②得2 (2)1x y -=, 所以21x y -=③,21x y -=-④ 由①③、①④联立,得方程组: 2321x y x y +=?-=?? ,23 21x y x y +=?-=-?? 解方程组23 21x y x y +=?-=??得,{ 11x y == 解方程组2321x y x y +=?-=-??得,1575x y ?=????=?? . 所以原方程组的解为:11 11x y =?=??,221575x y ?=????=?? 点睛:本题考查了二元二次方程组的解法,解决本题亦可变形方程组中的①式,代入②式得一元二次方程求解. 4.解方程组 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高; 逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学 生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价)课前准备】教具:“几何画板”及PPT 课件. 粉笔:用于板书示范. 第1 页共4 页 一元二次不等式的解法(一) 学习目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一:一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式。比如: . 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二:一般的一元二次不等式的解法 ( (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ,计算判别式?; ①0>?时,求出两根21x x 、,且21x x <(注意灵活运用因式分解和配方法); ②0=?时,求根a b x x 221-==; ③0--x x ; (3)0652 >--x x (4)0442 >+-x x ; (5)0542 >-+-x x ; (6)23262x x x -++<- 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1)02322 >--x x ; (2)02232 >+--x x (3)01442 ≤+-x x ; (4)0322 >-+-x x . (5)()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式:(1)6662<--≤-x x (2)18342 <-≤x x 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ,求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三: 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ,则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(,求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围。 举一反三: 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集,求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数,求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集,求m 的取值范围. 5.1.认识二元一次方程组 教学目标: 1.知识与技能:通过实例了解一元二次方程,一元二次方程组及其解的概念,会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考:通过对实际问题的分析,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题:培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力,同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观:激发学生的求知欲,培养他们勇于探索的精神。 教学重难点: 重点:对二元一次方程,二元一次方程组及其解的理解。 难点:二元一次方程,二元一次方程组及其解的个数。 课时安排: 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 (一)复习: 1.一元一次方程的定义. 例:下例哪些方程式一元一次方程? 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 : 一元:一个未知数 一次:含有未知数的项的次数都是1次 整式:分母中不含字母 2.方程的解:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例:x=5是方程3x+5=20的解吗?为什么? 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗?若不是,那又什么呢? (二)新课讲授 1、老牛与小马 分析:审题 A :数量问题 B : 2= -小马老牛 C :设老牛驮了x 个包裹, 小马驮了 y 个包裹。 )(小马 老牛121-=+ 想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点:1、未知数几个? 2个 判断点:2、含未知数项的次数是几次? 1次 判断点:3、整式 分母中不含未知数 练一练: 1.请判断下列各方程中,哪些是二元一次 方程,哪些不是?并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程,那么m =___________,n =______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练: 1.在下列四组数值中,哪些是二元一次方程 31x y -=的解? (A ) 2,3.x y =??=? (B ) 4,1.x y =??=? (C )10,3.x y =??=? (D )5,2.x y =-??=-? 一元二次方程练习题 1. 解下列方程:(1)2(1) 9x -=; (2)2(21)3x +=; (3)2(61)250x --=. (4)281(2)16x -=. 2. 用直接开平方法解下列方程: (1)25(21) 180y -=; (2)21(31)644x +=; (3)26(2) 1x +=; (4)2()(00)ax c b b a -=≠,≥ 3. 填空 (1)28x x ++( )=(x + )2.(2)223x x -+( )=(x - )2. (3)2b y y a -+( )=(y - )2. 4. 用适当的数(式)填空: 23x x -+ (x =- 2);2x px -+ =(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ . 5. 用配方法解方程. 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x = . 7. 用适当的方法解方程(1)23(1) 12x +=; (2)2410y y ++=; (3)2884x x -=; (4)2310y y ++=. (5) ()9322=-x ; (6)162=-x x ; 一元二次不等式 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0 二次函数c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 一、解下列一元二次不等式: 1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==; 一元二次不等式解法一、知识梳理 1.“三个二次”的关系 2.常用结论 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 口诀:大于取两边,小于取中间. 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式-2x 2+x +3<0的解集. 解 化-2x 2+x +3<0为2x 2-x -3>0, 解方程2x 2-x -3=0得x 1=-1,x 2=3 2 , ∴不等式2x 2-x -3>0的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞), 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞). 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式:x 2-(a +1)x +a <0. 解 由x 2-(a +1)x +a =0得(x -a )(x -1)=0, ∴x 1=a ,x 2=1, ①当a >1时,x 2-(a +1)x +a <0的解集为{x |1初中数学 一元二次不等式解法
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