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湖南省2016届高三六校联考试题

数学（文科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,3,4,5M N ==，则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．M N I B ．()U C M N I C ．()U M C N I D ．()()U U C M C N I

2.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若3a i bi +=-，则1a bi

i

+=

-（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．1i +

3.下列各组命题中，满足“‘p q ∨’为真、‘p q ∧’为假、‘q ?’为真”的是（ ） A ．:0;:0p q =?∈?

B ．:2p x >是1x >成立的充分不必要条件；{}:1,1,0,210q x x ?∈-+>

C ．:2(0,0);:p a b ab a b q +≥>>不等式x x >的解集是(,0)-∞

D ．1:p y x

=

在定义域内是增函数；:()x x

q f x e e -=+是偶函数 4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b e ===，且(2)a b c -⊥，则实数k =（ ） A ．

152 B ．3 C ．9

2

D ．0

6.已知2是函数2log (),2

()2,2x

x m x f x x +≥?=?

的一个零点，则[](4)f f 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．2log 3

7.已知x y 、满足10

1010

x y x x y +-≥??

-≤??-+≥?

，目标函数2z y x =-的最大值为m ，则2sin()2y mx π=+的最小正击期

是（ ）

A ．

3

π

B ．23π

C ．π

D ．2π

8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果2015

2016

S =

，则整数m 的值为（ ）

A ．2017

B ．2016

C ．2015

D ．2014

9.如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的外接球的表面积是6π，则正视图中三角形的高x 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

10.已知函数()sin()(0,)2

f x A x π

ω?ω?=+><

的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A ．(0)1f =-

B ．()f x 关于直线6

x π

=-对称

C ．()f x 在,2ππ??

?

???

上的值域为[]1,1- D ．()f x 的增区间为,,6

3k k k Z π

πππ?

?

-+

∈???

?

11.圆心在曲线2

(0)y x x

=

>上，且与直线:210l x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A ．22(2)(1)5x y -+-=

B ．22

(1)(2)5x y -+-= C ．2

2

(1)(2)25x y -+-= D ．2

2

(2)(1)25x y -+-=

12.已知函数11,2

()2(2),2

x x f x f x x ?--<=?-≥?，1

2()2x g x -=，设方程()()f x g x =的根从小到大依次为

*12,,,,n x x x n N ∈L L ，则数列{}()f x 的前n 项和为（ ）

A ．122n +-

B ．21n -

C ．2

n D ．2

1n -

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13.如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，若这10场比赛复仇的众数为16，则这10场比赛得分的中位数为 ________．

14.函数3

()2f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线为l ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点1

(2

,)n n S n ++ 在直

线l 上，则数列{}n a 的通项n a =_________．

15.若以双曲线

22

21(0)2x y b b -=>的左、右焦点12,F F 和点2)M 为顶点的三角形为直角三角形，则24y bx =的焦点坐标为 ________．

16.给定两个平面向量OA u u u v 和OB uuu v ，它们的夹角为120°，且OA OB =u u u v u u u v ，点C 在以O 为圆心OA u u u v

为半径的圆弧AB 上，若OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v （其中,x y R ∈），则满足3x y +≥的概率为________．

三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2

2

2

b c a bc +-=． （1）求角A 的大小；

（2）设函数2

()sin 2cos ,2,()212

x

f x x a f B =+==+时，求b ． 18.（本小题满分12分）

某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题，他们随机调查了100名同学，其中55个女同学，45个男同学，下图是根据调查结果绘制的周课外阅读时间的频率分布直方图，将周阅读时间不低于4小时的同学称为“阅读爱好者”，已知“阅读爱好者”中有10个女同学． 非阅读爱好者 阅读爱好者 合计

男 女 合计

（1）根据已知条件完成22?列联表，并据此资料你能否有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关？

（2）将周阅读时间不低于5小时的同学称为“读书迷”，已知“读书迷”中有2名女同学，若从“读书迷”中任意选取2人，求至少有1名女同学的概率．

附22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

19.（本小题满分12分）

如右图，平行四边形ABCD 中，0

,,60AB BD DE BC A ⊥⊥∠=，将,ABD DCE ??分别沿,BD DE 折起，使//AB CE ．

（1）求证：AB BE ⊥；

（2）若四棱锥D ABEC -的体积为33

2

，求CE 长并求点C 到面ADE 的距离． 20.（本小题满分12分）

在圆2

2

1x y +=上任取一个动点P ，作PQ x ⊥轴于,Q M 满足2QM QP =u u u u v u u u v

，当P 在圆上运动时，M 的

轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）曲线C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，直线(0)y kx k =>与曲线C 交于E 、F ，当四边形AEBF 面积最大时，求k 的值． 21.（本小题满分12分）

已知定义在(0,)e 上的函数()ln x a

f x x x

-=-． （1）求此函数的单调区间；

（2）若过点(1,1)A -有且仅有一条直线与函数()y f x =的图象相切，求a 的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图，AB 为圆的直径，过C 作ABC ?的外接圆的切线,,CD BD CD BD ⊥与外接圆交于点E ．

（1）求证：2

BC AB BD =g ； （2）若2,3CD BE ==，求AB 长． 23.（本小题满分10分）

已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6

π

α=

，圆2cos :2sin x C y θ

θ=??

=?

（θ为参数）．

（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；

（2）设直线l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 24.（本小题满分10分） 设函数()f x x a =-．

（1）当2a =时，解不等式()51f x x ≥-+； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，

11(0,0)2a m n m n

+=>>，求证：24m n +≥． 参考答案

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D A B C D C

A

B

1.C 【解析】1，2两个元素属于M ，故应取M 与其它集合的交集，又不属于N ，故其在N 的补集内，选C ．

2.B 【解析】∵3a i bi +=-，∴3,1a b ==-，则3211a bi i

i i i

+-==+--，故选B ． 3．B 【解析】由题，应选p 为真、q 为假的选项．A 中p 、q 都为假；D 中p 为假、q 为真；C 中p 、q 都

为真；B 中p 为真，q 为假，故选B ． 4．C 【解析】

5．D 【解析】由题：2

111(4)(6)a a a +=+ ，解得 ：1998

8,9(8)202

a S ?=-=?-+

?= ，选D ． 6．A 【解析】由题2log (2)0m += ，∴1m =-；[]2log 3

2(4)(log 3)2

3f f f ===，选A ．

7．B 【解析】题中不等式组表示的是一个三角形区域ABC ，其中(1,2),(0,1),(1,0)A B C ，目标函数2z y x =-在A 取得最大值，最大值为3，故2sin()2

y mx π

=+的最小正周期是

23

π

，选B ． 8．C 【解析】该框图为求和：1111111111223(1)22311

n S n n n n n =

+++=-+-++-=??+++L L ，结果为

2015

2016

，说明输出时S 中的2015n =，进入下一步运算后2016n =，故2015m =．

9．D 【解析】可以把该几何体补形成一个长方体，三棱长分别为2，2，x，其体对角线即其外接球

的直径为：22

224

x x

++=+，外接球的表面积为

2

22

4

44()6

x

S R

πππ

+

==?=，解得：2

x=，选D．

10．C 【解析】由图，()2sin(2)

6

f x x

π

=-．

11．A 【解析】设圆心

2

(,)

x

x

，圆心到直线l的距离为：

22

44

4

121

1

5

55

12

x x

x

x x

x

d

+++

++

==≥=

+

g

，

当2

x=时，最小距离为5，故所求圆的方程为22

(2)(1)5

x y

-+-=，选A．

12．B 【解析】函数

11,2

()

2(2),2

x x

f x

f x x

?--<

=?

-≥

?

的图象如图所示，

1

x=时，()1,3

f x x

==时，()2,5

f x x

==时，()4

f x=，

所以方程

1

2

()2

x

f x

-

=的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{}

()

n

f x从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，

所以数列{}

()

n

f x的前n项和为21

n

n

S=-，故选B．

二、填空题

13．15 【解析】得分的众数为16，故6

x=，中位数为

1416

15

2

+

=．

14．21

n-【解析】函数3

()2

f x x x

=-在点(1,(1))

f处的切线为:2

l y x

=-，

∴11

22,22

n n

n n

S n S n

++

+=-=--，

∴12(1)2n

n S n -=---，

∴1122(2(1)2)21(2),1n n n

n n n a S S n n n n +-=-=------=-≥=时，

2111212121a S ==--==-，

∴*

n N ∈时，21n n a =-．

15．(1,0)

【解析】显然点M

为直角顶点，所以121

2

OM F F c ==

=，∴1b =． 16．1

2

【解析】不妨设1oA =u u v

，以O 为原点，OA 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，则1(1,0),(,)22

A B -

， 设(cos ,sin )C θθ

，则11(cos ,sin )(1,0)(()22x y x y y θθ=+-=-，

所以cos x y θθθ

?

=+????=??

，cos 2sin()6x y πθθθ+==+≥

得,62ππθ??

∈?

???

，故满足x y +≥的概率为126223

π

π

π-

=．

三、解答题

17．【解析】（1）在ABC ?中，因为2

2

2

b c a bc +-=，

由余弦定理可得2221

cos 222

b c a bc A bc bc +-===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵0A π<< ∴3

A π

=

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2

）2

()sin 2cos

sin cos 1)124

x f x x x x x π

=+=++=++，

())114f B B π=++=，∴4

B π

=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∵sin sin a b A B =，即：00

2sin 60sin 45

b

=，

∴

2

b

?

==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18．【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“阅读爱好者”有25人，从而22

?列联表如下：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由22

?列联表中数据代入公式计算，得：

22

2

()100(30104515)100

3.030

()()()()7525455533

n ad bc

K

a b c d a c b d

-??-?

===≈

++++???

因为3.030 3.841

<，所以，没有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由频率分布直方图知：“读书迷”为5人，记他们为1，2，3，4，5，其中1，2为女同学，

从“读书迷”中任意选取2人，有以下10种情况：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)．

至少有1名女同学的情况数是7种，故至少有1名女同学的概率为

7

10

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．【解析】（1）证明：折叠前后都有：,

AB BD CE DE

⊥⊥，

因为：//

AB CE，∴AB DE

⊥，

∴AB⊥面BDE，

∴AB BE

⊥．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．

．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设EC x

=，则2,,3

AB DC x DE BE x

====，

∵

1(2)3

32

D ABEC

x

x x

V

-

+?

=?==1

x=

故1

CE=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴2,3,

AB DC DE BE AE

=====

∵C ADE D AEC V V --=，即：11113

13

133133,323213h h ?

???=????= 故点C 到面ADE 的距离为313

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．【解析】

（1）设00(,),(,)M x y P x y ，则002x x y y =??=?，得：0012

x x

y y =???=??，而00(,)P x y 在圆22

1x y +=上，

即220

1x y +=，故：2

2

14

y x +=，此即曲线C 的方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设1122(,),(,)E x kx F x kx ，其中12x x <，

将y kx =代入椭圆的方程2

2

14

y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故212

4

x x k =-=

+，①

又点,E F 到直线AB 的距离分别为21112

22

2(24)

5

5(4)

x kx k k h k +-+++=

=

+

22222222

4)

2155

5(4)

x kx k h AB k +-+=

=

=+=+，

所以四边形AEBF 的面积为

12

11

()

22

S AB h h

=+=====≤当24(0)

k k

=>，即当2

k=时，上式取等号，

所以当四边形AEBF面积最大时，2

k=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21．【解析】（1）由题意

2

()

x a

f x

x

-

'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

当a e

≥时，函数()

f x在(0,)e上是减函数，

当0a e

<<时，此时函数()

f x在(0,)a上是减函数，在(,)

a e上是增函数，

当0

a≤时，函数()

f x在(0,)e上是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）设切点0

002

(,ln),()

x a x a

T x x f x

x x

--

'

-=，

∴切线的斜率

00

2

00

ln1

1

AT

x a

x

x a x

k k

x x

-

-+

-

==

-

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

即：000

02

00

()(1)

ln1

x a x a x

x

x x

---

-+=，

即：

02

00

21

ln10

a a

x

x x

+

+--=，

所以过点(1,1)

A-有且仅有一条直线与函数()

y f x

=的图象相切等价于方程

02

00

21

ln10

a a

x

x x

+

+--=在定义域(0,)e上有且只有一个解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

令

2

21

()ln1

a a

g x x

x x

+

=+--，则()

g x在(0,)e上有且只有一个零点；

设

23

1212

()0

a a

g x

x x x

+

'=-+=，得

12

3

(2)(1)

0,1,2

x a x

x x a

x

--

===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

①当21

e a

>>时，

min2

211

(2)ln21ln20

244

a a

g g a a a

a a a

+

==+--=+>，

而

111

()ln84161ln830

444

g a a a

=++--=-+<，

由零点存在性原理，此时()

g x在(0,2)a上有且只有一个零点，在[)

2,a e上没有零点，符合条件；

同理，当2a e

≥时，符合条件；

②当21a =时，23(1)()0x g x x -'=≥，()g x 在(0,)e 为增函数，1

(1)02

g a ==>，而111

()ln 84161ln 830444

g a a a =++--=-+<，

（没有此处说明应扣1分） 此时()g x 在(0,)e 上有且只有一个零点，符合条件； ③当021a <<时，min (1)0g g a ==>， 而242

()ln

41ln 30222a a a g a a a

=++--=-+<，

（没有此处说明应扣1分） 此时()g x 在(0,1)上有且只有一个零点，在[)1,e 上没有零点，符合条件； ④当0a =时，1()ln 1g x x x =+

-，令21

()0x g x x

-'==， min (1)0,()g g g x ==在(0,)e 上有且只有一个零点1，符合条件；

⑤当0a <时，min 1

1

(1)0,()ln

83044

g g a g a ==<=-+>， ()g x 在(0,1)上有且只有一个零点，

而当22

21(21)()ln 10a a e a e g e e e e e +-+=+

--=≤，即：21

e

a e ≤--时， ()g x 在(1,)e 上没有零点；此时()g x 在(0,)e 上有且只有一个零点，符合条件；

当2(21)()0e a e g e e -+=

>，即：021

e

a e -<<-时，

()g x 在(0,1)和(1,)e 上各有一个零点；不符合条件；

综上：0a ≥或21

e

a e ≤-

-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）证明：∵AB 为圆的直径，∴0

90ACB ∠=， ∵BD CD ⊥，∴0

90BDC BCA ∠==∠， ∵CD 为切线，由弦切角定理，∴BCD A ∠=∠， ∴BAC BCD ??:，∴

AB BC BC BD

=，∴2

BC AB BD =g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：∵CD 为切线，由切割线定理，∴2

DC DE DB =g ，

设DE x =，∴2

2(3)x x =+g

，解得：1x =，

∴4,BD BC ==

∴2

5BC AB BD

==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．【解析】（1）圆C 的普通方程为2

2

4x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

直线l

的参数方程是1112

x y t ?=+????=+??（t 是参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）因为点,A B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为1t 和2t ， 则点,A B

的坐标分别为112211

(1,1),(1,1)2222

A t

B t +

+++， 把直线l 的参数方程代入圆的方程2

2

4x y +=整理得到

21)20t t +-=，①

因为1t 和2t 是方程①的解，从而122t t =-，

所以1222PA PB t t ==-=g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．【解析】（1）当2a =时，不等式为215x x -++≥，

不等式的解集为(][),23,-∞-+∞U ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤的解集是[]0,2，

∴1012a a -=??+=?

，解得1a =，所以11

1(0,0)2m n m n +=>>，

所以11

2(2)(

)42m n m n m n

+=++≥．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分