历年全国高考数学试卷全试题答案解析
普通高等学校招生全国统一考试数学
第一部分：
1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.
解略：?
??==35
y x
2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在
Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，
BE=CD=R+2
1R=2
3R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△
ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳
的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈
0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t a
c z
c b y b a x z y x c b a a c z
c b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若
5．试题10道，选答8道，则选法有几种？
解略：458
10=c
6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r θsin
7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=1
8．列举两种证明两个三角形相似的方法
O
A
B
C
E
F
D
答：略
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜2
10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程
解略：bx-ay=0
11．（x +x
1
)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=20
12．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4
为整数k k π±π=θ
13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
答：最少是一个，最多是三个
14．
解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=?-?--??-??-??-+??+??- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x
?
3455055
42=--
16．三平行平面与一直线交于
A ，
B ，
C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇
解：如图易证:
3011=''∴'
''
'==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积
略：6立方尺
18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990
19．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？
解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：
53
20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：
A A ＇ α
B B ＇ β
B 1
γ C C ＇
C 1
F
G
A
C E
B
D
1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行
证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2
由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4
由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5
由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6
综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE
2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项
解：由余弦定理可得：
.
C A B A,-B 60)180(60B 21
4)23(2)3()4()23(2cos 2
22222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-?=∠-∠-∠-?=∠-∠?=∠∴=?-+--+-+=?-+=A B B A B C pq
q pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.
证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b αβγ=-c
56
4
3
21
E Q
P
R
A B
C
又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ
3
33
3
3233
a )()()(
b
c c a b ==αβγ-=β-=??????γ+β+αβγ+β+α-=??????γ+β+αβ+βγ+α-=??????γ+β+α-γα+βγ+αβ=??? ??此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根
解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：
??
?--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,9
10
或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9
4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线
证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①
过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②
直线OB 的方程为：
x k y 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==
由①，③可得：
Y
A
·P （x,y)
O X
B
x 2=2pk 2, y 2=-2pk
设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：
px 2222
k p k
p +=,代入⑥
,2p -px y 22222
222222
=-=-???
? ??+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线
1952年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1.因式分解x 4 – y 4 =？
解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)
2.若lg2x=21lgx ，问x=？ 解：2x=x 21，x ≠0，∴202=X
3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,2
1
,则c=？
解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+2
1·1=1
pk k
p
y y y pk k
p x x x -=+=+=+=
22212
221
2222
22
2k p p k
p y +-=
4.若x x 求,0472=-+
解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x
5.
解:原式=-24
6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？
解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB 连结O 1O 2交AB 于点C ，则AB
垂直平分O 1O 2
∴O 1C=2
1O 1O 2=2（寸）
).
(342),(322422212
1寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC
连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？ 解：∵MN ∥BC ，∴
4
1
ABC AMN 22==??AN AM 的面积的面积，
△AMN 的面积=4
1△ABC 的面积=15（平方寸）
8.正十边形的一个内角是多少度？ 解：由公式
,)
2(180n
n -?此处n=10于是一个内角为：?144
A
O 1 O 2
C
B
?123054321=
9.祖冲之的圆周率π=？ 答：22/7，355/133
10.球的面积等于大圆面积的多少倍？ 解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍
11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？ 解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：
V 锥 =3
1
πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？
答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体
13.已知 sin θ=3
1,求cos2θ=？ 解：cos2θ=1-2sin 2θ=
9
7 14.方程tg2x=1的通解x=？ 解：).(8
2为整数k k x π
+π=
15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 解：塔高=5×tg300=
33
5
（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？
解：).(330sin 432
1sin 21
平方寸的面积=????==?A bc ABC
17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？ 解：即x+y –5=0
18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？
解：圆的半径.54322=+=R
所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=0
19.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？ 解：.5
143104032
2=++?+?=
d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？ 解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）
第二部分：
1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0
解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）
=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：
.2
31,231,2,64321i
x i x x x --=+-=
=-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP
证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA
=∠ACB+∠CBP+∠2
=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP
∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？ 解：应用余弦定理，可得： .81
2cos 2
22=-+=ab c b a C
由此可知C 为锐角；另外，
由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角
.
74
1
c asinC sinA .
7165
sin sin ,.
78
3)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点
解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：
C
1
P
2
D A B
.7
55
22,3552
2,355,755,116
119422
2222==∴==?????=+=+a b b a b a
b a 短轴长轴解之 .21
55
221220,22222==
-=∴-=a b c a b c 又 ).21
552,0(),21552
,0(21F F -故焦点坐标为
1954年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．甲、化简.])()()[(3
1721
2
13122
3b ab b a --- 解：原式=.)()(3
23
102
3
12
72
32
12
2
3
a b a b b a b a ==--
乙、解c b a x lg lg 2lg 3
1lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.
丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一
.
,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223
44
4千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+??+??+?
?+=??
? ??+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=
丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和
证：由c 2 =a 2+b 2
∴弦上半圆的面积= 2
2222221221421221??
?
??+??? ??=+=??? ??b a b a c ππππ
=勾上半圆的面积+股上半圆的面积
戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积
解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球
的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a ，则有
3a 2=4r 2，
.
398332.33
233
3r r a r a =??
?
??==∴=
内接正方体的体积
己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式
解：由正弦定理可知
.)
sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββ
γβββγβ+=--?=∴=--?a a b b a
2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0
).
1261
(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得
解 ).12
61
,67(,-抛物线顶点为
于是 )0,6
61
7(,)0,6617(
:+-N M x 轴的交点为与
).,6
61
7(),6617,
(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6
617,6617(
,0+-<的值所在范围为时当x y Y
M O N X
)
1261
,67(-
3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切
证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2
∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=2
1O 1O 2，
∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切
同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线
4．试由
.,2sin 111通值求的x x tgx
tgx
+=-+ )(0sin 4,
1,0sin cos ,0
sin )sin (cos 20
)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222
为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=?+=+-++=-+由检验可知，均为其通解
5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值
解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则
,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .
2)2(),()(2,).()(2222
2
2
2
22ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得
由
A 2
A
A 1
O 1 O O 2
,
.21)2(,2
等式两边平方可得
两边同除以L h a a L h a a L -'=??
?
??-'-
.)
2(4)
2()2(22]
)2(4[2)2()2(44)48(2)
2(164:
,,
0)2(16)4)(48(4)4(.
0)4(4)48(,
441)44(2
222223
3222222
2
2
2
22222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a L
h
a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'=
'-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=?='+'+'-??
?
??'+'-???
??+?'-'=???
???????? ??-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式
的一元二次方程的判别这个关于
1958年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数
解：设求的项为
.
802,32)2(3
3
3
3
5
4551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今
乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos x
x
x x x =?? 证：x x x 4cos 4sin 28sin =
x
x x x x x x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=
⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ .sin 88sin 4cos 2cos cos x
x
x x x =
??∴ 丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证：AM=AN
证：联结AD 与AE （如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA ， ∠ANM=∠EAN+∠NEA ， 又∵AD=DB ，∠DAB=∠AED ，
AE=EC ，∠ADE=∠EAC ， ∴∠AMN=∠ANM ， AM=AN.
丁、求证正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直
证：因ABCD 是正四面体， 各个面都是等边三角形， 过A 作AE ⊥BC ，联结DE ， 则DE ⊥BC ， ∴BC 垂直平面AED ， 而AD 在此平面内， ∴BC ⊥AD
同理可证AB ⊥DC ，AC ⊥DB
戊、求解.cos 3sin x x = 解：,cos 3sin x x =
A
D E
M N
B
C
D
C
A E
B
)
.(3
,
3为整数k k x tgx π
+π==∴ 2．解方程组
???
???
?=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u y
x y x y x =-+=+
=-+++12,1
,
8)12()1
()2(:设式变形为由解
则原方程变形为
?
??=+=+)4(8)
3(42
2 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得
??
???-==???====-==∴=--=--?????
=-+=+??
?
?
?=-+=+.
21,6;1,3.6,3),5(.
2
1
,1,01,11
2)5()6()
6(412)
5(41,21221
22
1121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得
两边平方
都是原方程组的解
3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r ），今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长
解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=（R-r ）cos α ∴DE=AD-AE
=Rcos α-（R-r ）cos α=rcos α. OE=
.cos sin 222222α+α=+r R DE OD
4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切
已知：M 为△ABC 的AB 的中点.
求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.
A
A ＇ E
B O D C
分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如图）因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA
而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆
作法：1）作线段A ＇B ＇M ＇， 使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM
2）以A ＇M ＇为直径作半圆
3）过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4）在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5）经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求
证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，
B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件
5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为2
3
，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根
C
P
O
A B
M
P ＇
A ＇
B ＇ M ＇
04
3
sin 231sin 2=++-
x x 证：设AD=k （如图） ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，
.
2
1
23,0432),2()23(
22
或==+--=∴k k k k k
在直角△ACD 中， 当2
3==k AD 时，
,332
323
===AD CD tgA ∴A=300，B=600
.
当21==k AD 时，,32
123
===AD
CD tgA ∴A=600，B=300
.
总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得
;04
3
21231)21(4330sin 23130sin 22=+?+-=+?+-
? 当x=600时，代入原方程中得
.04
3
23231)23(4360sin 23160sin 22=+?+-=+?+-
? 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根
C
A D B
1959年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35
解：原式=2lg 10lg 7lg 2
107lg 270lg
-+=?= =0.8451+1-0.3010=1.5441.
乙、求i
i +-1)1(3
的值.
解：.21)
1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=
i
i i i i i i i i i i 原式 丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.32
1
<<-x 丁、求?165cos 的值
解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ?-?-=?-=?-?=?
.
4
26)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=?+?-=??+??-= 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值
历年高考真题(数学文化)
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
历年全国高考数学试卷附详细解析
2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
2017年全国高考理科数学试卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
历年高考数学真题全国卷版
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(完整版)2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2011到2016历年高考数学真题
参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
历年全国卷高考数学真题大全解析版
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=．
（1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<
全国高考理科数学试题及答案全国
全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2
历年高考数学试题
历年高考数学试题 命题与逻辑 一．选择题，在每小题给出的四个选择题只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ?是()U C A B U ?=的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα??m l ,. 有如下两个命题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ??； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ? ? 其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．“m =2 1”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．“a =b ”是“直线相切与圆2)()(22 2=++-+=b y a x x y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
2018高考数学全国2卷理科试卷
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ）
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其
历年高考数学真题全国卷版
历年高考数学真题全国卷 版 The pony was revised in January 2021
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 13或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +2 8 y =1
C 28x +24y =1 D 212x +2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3 cos2α= (A) 5 （B ）5 55 （8）已知F1、F2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=
2018年全国高考理科数学试题及答案-全国1
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式： 如果事件 A、 B互斥，那么球的表面积公式P(A B) P(A) P(B)S 4R2 如果事件 A、 B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A B) P( A) P( B)球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V 3 R3 4 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k0,1,2, ? n) 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 13i 1、复数 i = 1 A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m= A0或3 B 0或3C1或3 D 1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A x2y2 =1B x2y2 =1 16 ++ 12128 C x2y2 =1D x2y2 8 + 12 +=1 44 4已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为 10099 (C)99101 (A)(B)(D) 100 101101100 （6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)
3 （7）已知 α 为第二象限角， sin α ＋ sin β = 3 ，则 cos2α = - 5 - 5 5 5 (A) 3 （ B ） 9 (C) 9 (D) 3 （8）已知 F1、 F2 为双曲线 C ： x2-y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠ F 1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （ 9）已知 x=ln π ， y=log52 ， z=e 2 ，则 (A)x ＜ y ＜ z （ B ） z ＜ x ＜ y (C)z ＜ y ＜ x (D)y ＜ z ＜ x (10) 已知函数 y ＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （ 11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列， 要求每行的字母互不相同， 梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （ A ）12 种（ B ）18 种（ C ）24 种（ D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝ 3 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹， 反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ） 16（ B ） 14（ C ） 12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ， y 满足约束条件 则 z=3x-y 的最小值为 _________。 （14 ）当函数 取得最大值时， x=___________ 。 （15 ）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16 ）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50 ° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ____________。 三.解答题： （17 ）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 cos （ A-C ）＋ cosB=1 ， a=2c ，求 c 。
2018年高考全国1卷理科数学试题详细解析
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ．1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C {|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 2.已知椭圆22 :12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若12 AB BC =u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r ，则椭圆的离心率是（ ） A ． 32 B ．22 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)