不等式的性质练习题+答案.doc
一元一次不等式性质姓名：
1、下列式子中（）是不等式 1 、 2
① x-4 ＞ 6 ②-3＞5 ③ 2x-y=0 ④s=ut ⑤2a-v ⑥ x≠
2、在下列各数-2 、5、 0、 2、5/3 、 4/3 中，是不等式x>1 的解有, 5 ， 2， 5/3
是不等式 - x>1 的解有。-2
3、用不等式表示下列关系：a-b<6 x ≥0
① a-b 是负数② x 是非负数
③ m 不大于 -5 ④ x 的 5 倍大于 2 m ≤ -5 5x>2
4、直接写出不等式的解集：
① x+3＞ 8 的解集，②2x＜-10的解集，
③＞ 7的解集。
x>5x<-5x>14
一元一次不等式性质姓名：
1、下列式子中（）是不等式
① x-4 ＞ 6② -3＞5③ 2x-y=0④s=ut⑤2a-v⑥ x≠
2、在下列各数-2 、5、 0、 2、5/3 、 4/3 中，是不等式x>1 的解有,
是不等式 - x>1 的解有。
3、用不等式表示下列关系：
① a-b 是负数② x是非负数
③ m 不大于 -5④ x的5倍大于 2
4、直接写出不等式的解集：
① x+3＞ 8 的解集，②2x＜-10的解集，
③＞ 7的解集。
5、不等式的解集在数轴上表示正确的是（） D
-3 0 3-3 0 3
A B C D
6、在数轴上表示下列不等式的解集：
①x≥2② x＜-1/2③ x＜3/4
7、下列命题是真命题的是（） A
A、不等式 x+1＜2 的解有无数个
B 、 -1 ，12， 19 都是不等式 <0 的解。
C、不等式x+1＜4 的解集是 x=3
D 、不等式x+2＞ 1 的解集是 x＞ 0
8、用不等式表示。X≤ 3, a≤0
○1 、 x 的值不超过3.○2、a为非正数。
2 5、不等式的解集在数轴上表示正确的是（） -3 0 3 -3 0 3 A B C D 6、在数轴上表示下列不等式的解集： ①x≥2② x＜-1/2③ x＜3/4 7、下列命题是真命题的是（） A、不等式 x+1＜2 的解有无数个 B 、 -1 ，12， 19 都是不等式 <0 的解。 C、不等式x+1＜4 的解集是 x=3 D 、不等式x+2＞ 1 的解集是 x＞ 0 8、用不等式表示。≠≡ ○1 、 x 的值不超过3.○2、a为非正数。 ○3 、 x 的值大于 2 且不超过 5.○4、x的值可以大于-1，也可以小于-1. 高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b 9.1.2 不等式的基本性质 内容解析：它承接了等式的性质，让学生第一次经历不等式的等价变形，也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折，不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，让学生对数量关系的变形有一个完整的认识，形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力：1.探索并掌握不等式的基本性质； 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点：不等式基本性质3的运用 教学方法：类推探究法 学法：自主探索与合作交流 学情分析： 学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据，已有知识经验对性质3造成负迁移，导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”；在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式，使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程，自发生成。 教学过程 复习回顾，导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1： （1）提问1：类比等式的性质，你发现不等式有哪些性质么？ 如果5＞ 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗？ 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计（人教A版） 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点：掌握不等式性质及其应用． 难点：不等式性质的应用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法 作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 不等式的性质 第 1 课时 【教学目标】 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质； 2、初步体会不等式与等式的异同； 【教学重点与难点】难点：正确运用不等式的性质。重点：理解并掌握不等式的性质。 【教学过程】 一、复习引入 等式的基本性质1：在等式两边加上(或减去)同一个数或(式子)，结果仍相等． 等式的基本性质2：在等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？ 二、预习导学 知识点一不等式的性质1 思考：用“〉”或“V”填空，并总结其中的规律： (1)5>3, 5+2___3+2 , 5－2___3－2 ; (2)-1<3, -1+2___3+2 , -1 －3___3－ 3 ; 观察上面的不等式，当不等式两边加上(或减去)相同的数时，不等号的方向是否发生变化？(不变) 你能举例检验一下刚才你的结论是否正确吗？ 归纳 不等式的性质 1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变. 如果a> b，那么a±:> bic 知识点二不等式性质 2 与3 思考：用“〉”或“V”填空，并总结其中的规律： (3)6> 2, 6 _____ 2 >5,6 &5) ______ 2X(-5); (4)-2<3, (-2) 6X 3X , (-2) (-X) _3X(-6 ) 当不等式两边乘同一个正数时, 不等号的方向是否改变？ (不变) 而乘同一个负数时,不等号的方向是否改变？ (改变) (5)6>2, 6 吃_____ 2 2, 6-( - 2) ______ 2 ( - 2) 高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。 (4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= “不等式的性质”的教学设计 汤岗子学校崔艳 一、课标分析 数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。 二、教材分析 （1）本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 （2）不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质，不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 （4）本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会建立不等关系及学习一元一次不等式和一元一次不等式组的意义，并且关注学生学习习惯的养成与“数学化”能力等方面的发展，渗透函数、方程、不等式思想。 因此，“不等式的性质”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它在利用不等式的观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 三、学生分析 从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算规律等，接下来的任务是通过类比、猜测、验证的方法来探索不等式的性质，掌握不等式的性质，并初步体会不等式与等式的异同。 从学生现有的学习能力看，通过小学对等式的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习上看，学生头脑中虽有一些不等式性质的的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给不等式的性质以数学描述？如何“定性”“定量”地描述不等式的性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。不等式的性质是学生从已经学习的等式中比较容易类比的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 高二数学不等式的性质总结 1.两个实数a与b之间的大小关系 2.不等式的性质 4 乘法单调性 3.绝对值不等式的性质 2如果a>0，那么 3|a?b|=|a|?|b|. 5|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 6|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an| 1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 7学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 A ．a<1< B ．a< <1 C ． 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) [原创]不等式的性质第一课时教案 不等式的性质 【教学内容】 课本P123,126不等式的三个基本性质～并学会应用。 【教学目标】 1、掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用。 2、经历探究不等式基本性 质的过程～体会不等式与等式的异同点～发展学生分析问题和解决问题的能力。3、开展研究性学习～使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 【重点难点】 重点:理解不等式的三个基本性质。难点:对不等式的基本性质3的认识。 【教学方法】 本节课采用“类比,实验,交流”的教学方法。【教学过程】 一、课前热身 1、等式有哪些性质,用数学式子怎样表示, 解一元一次方程的基本步骤,集体回顾, 二、自学探究～合作交流 活动1～ 用“，”或“，”填空～并总结其中的规律: ,1, 5>3, 5+2 3+2 , 5,2 3,2 ; ,2,1<3 , -1+2 3+2 , -1,3 3,3 ; 学生活动:探究规律～交流讨论～解答上述问题～结果: ,1, > 、 > ,2, < 、 < 根据发现的规律填空: 当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数,时,不等号的方向 3、继续探究～接着又出示,3,、,4,题: (3) 6,2, 6〓5 2〓5 , 6〓,-5, 2 〓,-5, ; (4) 2<3, (-2)〓6 3〓6 , (-2)〓,-6, 3〓,-6, ,方法同上,又得到: 当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变, 当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变。 师生共识:总结出不等式的性质: 不等式的性质1 不等式的两边加,或减,同一个数(或式子)～不等号的方向不变. b〒c字母表示为: 如果a,b～那么a〒c > 不等式的性质2 不等式的两边乘, 或除以,同一个正数～不等号的 方向不变. ab(或___).字母表示为:如果a>b,c>0那么ac > bc, cc不等式的性质 3 不等 式的两边乘,或除以,同一个负数～不等号的方向改变。 ab字母表示为:如果a,b～c,0那么ac < bc, (或___).cc活动2 你能用自己的语言概括不等式有哪些性质并用式子表示出来吗 ? 三、巩固训练 利用不等式的性质解下列不等式( (1) x-,,26 (2) 3x<2x+1 (3) -4x，3 组织学生先独立思考～再分组讨论～并由小组代表发言在全班交流～最后由教 师统一规范写法。 在用数轴表示不等式解集时～要引导学生注意规律:大于向右画～小于向左画, 有等号的画实心圆点～无等号的画空心圆圈。通过用数轴表示不等式解集一方面可 以加深对不等式解集以及解不等式的理解～另一方面也为学习不等式组时用数轴确 定不等式组的解集做准备。 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a高中数学-不等式的基本性质(一)练习
9.1.2不等式的性质(第一课时)
高中数学不等式知识点总结
《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.1不等式的性质(一)优秀教案
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
基本不等式教案第一课时
中职数学2.2.1不等式的基本性质
人教版初一数学下册不等式的性质第一课时
高中数学 不等式的基本性质
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
人教版初一数学下册不等式的基本性质第一课时
高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
高二数学不等式的性质总结
《不等式的性质》第一课时练习题(含答案)
高中数学不等式归纳讲解
高中数学知识点：不等式的性质及解法
[原创]不等式的性质第一课时教案
不等式的概念和基本性质