函数的奇偶性练习题附答案(供参考)

函数的奇偶性

1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是

（ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数

C ．奇函数且偶函数

D ．非奇非偶函数

2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）

A .奇函数

B .偶函数

C .既奇又偶函数

D .非奇非偶函数

3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，

且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )

A.(-∞,2)

B. (2,+∞)

C. (-∞,-2)?(2,+∞)

D. (-2,2)

4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.

当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= .

5. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg (12+x -x );

(2)f (x )＝2-x +x -2

(3) f （x ）=???>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x

6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围

8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c

+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,

(1)求a,b,c 的值;

(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.

9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有

f (x+y )=f (x )+f (y )．

(1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 10下列四个命题：

（1）f （x ）=1是偶函数；

（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；

（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函

数；

（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )

A.()sin f x x =

B.()1f x x =-+

C.()

1()2x x f x a a -=+ D.2()2x f x ln x -=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ）

A ．（a ，f （－a ））

B ．（－sin a ，－f （－sin a ））

C ．（－lg a ，－f （lg a 1））

D ．（－a ，－f （a ））

13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

14.已知22()21x x a a f x ?+-=+是R 上的奇函数，则a = 15.若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________

16.已知y=f (x )是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f (1－x 2)是增函数的区间是

17.已知)21121()(+-=x x x f （1）判断f （x ）的奇偶性；

（2）证明f （x ）>0。

答案

1.【提示或答案】 D

【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

2.【提示或答案】A

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念

3.【提示或答案】D

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想

【变式与拓展】

1：f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有( ）

A ．)1()4

3(2+->-a a f f B ．)1()43(2+-≥-a a f f C ．)1()43(2+-<-a a f f D ．)1()43(2+-≤-a a f f

【变式与拓展】

2：奇函数f(x )在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是

（ ）

A ．增函数且最小值为－5

B ．增函数且最大值为－5

C ．减函数且最小值为－5

D ．减函数且最大值为－5

4. 【提示或答案】f (x )=-x -x 4

【变式与拓展】已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，x >0时，f （x ）=x 2－2x +3，则f

（x ）=________________。

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式

5．【提示或答案】

解(1)此函数的定义域为R .

∵f (-x )+f (x )＝lg x x )＝lg 1＝0

∴f (-x )＝-f (x )，即f (x )是奇函数。

(2)此函数定义域为｛2｝，故f (x )是非奇非偶函数。

（3）∵函数f （x ）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.

当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.

故函数f （x ）为奇函数.

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性

6．解：设2()f x ax bx c =++则

2()()(1)3f x g x a x bx c +=-++-是奇函数

（1）当122

b -≤-≤≤≤即-4b 2时，最小值为：21314b -=b ?=± （2）当242

b b -><-即时,f (2)=1无解； （3）当122

b b -<->即时，

综上得：2()3f x x =-+或 2()33f x x x =++

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合

7. 【提示或答案】

-1<1-a<1 -1<1-a 2<1

f(1-a)<- f(1-a 2)=f(a 2-1),1-a> a 2-1得0

【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题

8．【提示或答案】

解(1)()f x 是奇函数，则

2221110ax ax ax c bx c bx c bx c

+++=-=?=-++--由(1)212f a b =+=得, 由2(2)30121

a f a a -

a b N ==?时舍去 当a=1时,b=1,211()x f x x x x +==+

【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质

9【提示或答案】 分析：欲证f (x )为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x )成立．在式子

f (x+y )=f (x )+f (y )中，令y=－x 可得f (0)=f (x )+f (-x )于是又提出新的问题，求f (0)的值．令x=y=0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0，f (x )是奇函数得到证明．

(1)证明：

f (x+y )=f (x )+f (y )(x ，y ∈R )， ①

令x=y =0，代入①式，得f (0+0)=f (0)+f (0)，即 f (0)=0．

令y =－x ，代入①式，得 f (x-x )=f (x )+f (-x )，又f (0)=0，则有

0=f (x )+f (-x )．即f (-x )=-f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．

(2)解：f (3)=log 23＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x )在R 上是单调函数，所以f (x )在R 上是增函数，又由(1)f (x )是奇函数．

f (k ·3x )＜-f (3x -9x -2)

=f (-3x +9x +2)，

k ·3x ＜-3x +9x +2，

32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴

1

2

k x

+ =

当1

0,1

2

k

k

+

<<-

即时,f(0)=2>0,符合题意;

当1

2

k

+

≥时,对任意t>0,f(t)>0恒成立

综上所述,所求k的取值范围是(,1

-∞-+

【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。

10【提示或答案】B

11【提示或答案】D

12【提示或答案】D

【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征

13【提示或答案】6

【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想

【变式与拓展】：f（x）=ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。14【提示或答案】由f(0)=0得a=1

【基础知识聚焦】考查奇偶性。若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0；

f(x)为偶函数 f(x)=f(|x|)

15【提示或答案】画图可知，解集为(,2)(2,)

-∞-+∞

U;

16【提示或答案】x<-1,0

17【提示或答案】（1）偶函数（2）x>0时，f(x)>0,x<0时-x>0,f(x)=f(-x)>0