人教版九年级上册：24.1 圆的有关性质 同步练习 含答案

24.1 圆的有关性质同步练习

一．选择题

1．下列说法错误的是（）

A．直径是圆中最长的弦

B．半径相等的两个半圆是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆

D．长度相等的两条弧是等弧

2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）

A．15°B．20°C．30°D．40°

3．⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）

A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝lOm，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（）

A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m

5．如图，CD是⊙O的直径，A、B两点在⊙O上，且AB与CD交于点E，若∠BAO＝30°，AO∥BC，则∠AOD的度数为（）

A．120°B．100°C．170°D．150°

6．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）

A．25°B．30°C．40°D．50°

7．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP＝4cm，PD＝2cm，则OP的长等于（）

A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm

8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠B＝60°，则∠C等于（）

A．100°B．115°C．120°D．135°

9．如图，AB为⊙O的直径，弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，EB＝3，则弦AC的长度为（）

A．3B．C．D．

10．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（）

①平分弦的直径垂直于弦；

②圆内接平行四边形是菱形；

③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题

11．圆既是轴对称图形，又是对称图形，它的对称轴是，对称中心是．12．圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是．

13．如图，A、B、C三点在⊙O上，连接AB，OC，OA，BC，若∠ABC＝23°，则∠AOC 的度数为．

14．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．

15．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD ⊥AB），则油面宽度AB为m．

16．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为．

三．解答题

17．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．

18．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：

（1）AC＝BD；

（2）CE＝BE．

19．如图，⊙O的直径AB＝10，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．

（1）作∠ACB的角平分线，交⊙O于点D；

（2）在（1）的条件下，连接AD．求AD的长．

20．点C，D是半圆弧上的两个动点，在运动的过程中保持∠COD＝80°．（1）如图1，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；

（2）如图2，若∠AOC＝x°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

21．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；

（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；

（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．

参考答案一．选择题

1．解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意；

B、半径相等的两个半圆是等弧，正确，不符合题意；

C、面积相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

D、长度相等的两条弧是等弧，错误，符合题意，

故选：D．

2．解：连接CO，如图：

∵在⊙O中，＝，

∴∠AOC＝∠AOB，

∵∠AOB＝40°，

∴∠AOC＝40°，

∴∠ADC＝∠AOC＝20°，

故选：B．

3．解：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴＝，

∴BC＝CD．

故选：B．

4．解：根据垂径定理可知AD＝8，

在直角△AOD中，根据勾股定理得：

OA2＝AD2+OD2

则102＝82+（10﹣CD）2

解得：CD＝16或4，

根据题中OA＝10m，可知CD＝16不合题意，故舍去，

所以取CD＝4m．

故选：A．

5．解：∵∠BAO＝30°，AO∥BC，

∴∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°，

故选：A．

6．解：∵BC∥OA，

∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，

故选：C．

7．解：连接OA，则OA2+（OD﹣PD）2＝AP2，即OA2+（OA﹣2）2＝42，∴OA＝5，OP＝OD﹣PD＝OA﹣PD＝3cm．

故选：C．

8．解：如图，设圆心为O，连接OC，OD．

∵OB＝OC，∠B＝60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠BCO＝∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∵＝，

∴∠COD＝∠DOA＝60°，

∵OC＝OD，

∴△COD是等边三角形，

∴∠OCD＝60°，

∴∠BCD＝120°，

故选：C．

9．解：连结OC，AC，

∵弦DC垂直AB于点E，∠DCB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴△BOC是等边三角形，

∵EB＝3，

∴OB＝6，

∴AB＝12，

AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，AC＝12×＝6．

故选：D．

10．解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．

②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．

③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．

④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可

能互补．

故选：A．

二．填空题

11．解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是过圆心的任一条直径，对称中心是圆心．

12．解：圆的半径为3，则弦中最长的弦即直径的长度是6，因而弦AB长度的取值范围是0＜AB≤6．

13．解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝23°，

∴∠AOC＝46°，

故答案为46°．

14．解：∵在⊙O中，＝，

∴＝，

∵∠AOB＝40°，

∴∠COD＝∠AOB＝40°．

故答案为：40．

15．解：连接OA，

由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，

∵CD⊥AB，

∴AD＝＝2m，

∴AB＝2AD＝4m，

故答案为：4．

16．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，

∵AB＝24，CD＝10，

∴AE＝12，CF＝5，

∵OA＝OC＝13，

∴EO＝5，OF＝12，

∴EF＝12﹣5＝7；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB＝24，CD＝10，

∴AE＝12，CF＝5，

∵OA＝OC＝13，

∴EO＝5，OF＝12，

∴EF＝OF+OE＝17．

∴AB与CD之间的距离为7或17．

故答案为7或17．

三．解答题

17．解：连接OC，如图，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE，

∵EB＝9，AE＝1，

∴AB＝10，OC＝OA＝5，

∴OE＝4，

在Rt△OCE中，CE＝＝3，

∴CD＝2CE＝6．

18．证明：（1）∵AB＝CD，

∴＝，

即+＝+，

∴＝，

∴AC＝BD；

（2）∵＝，

∴∠ADC＝∠DAB，

∴EA＝ED，

∵AB＝CD，

即AE+BE＝CE+DE，

∴CE＝BE．

19．解：（1）如图，射线CD为所求．

（2）连接OD，∵⊙O的直径AB＝10，

∴∠ACB＝90°，AO＝DO＝5．

∵CD平分∠ACB，

∴．

∴∠AOD＝2∠ACD＝90°．

在Rt△AOD中，．

20．（1）解：如图1，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，

又∵∠COD＝80°，

∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣80°＝100°，

∴∠MON＝∠COD+∠MOC+∠NOD＝80°+×100°＝130°；

（2）解：如图2，∠AOC＝x°，则∠AOD＝x°+80°，∠BOD＝100°﹣x°，∵OM平分∠AOD

∴∠AOM＝∠AOD＝x°+40°；

又∵ON平分∠BOC

∴∠BON＝∠BOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，

∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（x°+40°+90°﹣x°）＝180°﹣130°

＝50°．

21．解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，

∵AP＝2，BP＝6，

∴AB＝8，

∴OA＝4，OP＝2，

在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，

∴OH＝OP＝，

在Rt△OHN中，∵ON＝4，OH＝，

∴NH＝＝＝，

∵OH⊥MN，

∴HM＝HN，

∴MN＝2NH＝2；

（2）作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM＝HN，

∵MP＝3，NP＝5，

∴MN＝8，

∴HM＝HN＝4，

∴PH＝1，

在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，

∴OH＝1，

在Rt△OHN中，∵HN＝4，OH＝1，

∴ON＝＝，

∴AB＝2ON＝2；

（3）的值不发生变化，为定值，

作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM＝HN，

设圆的半径为R，

在Rt△OHN中，OH2+NH2＝ON2＝R2，

在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，

∴OH＝PH，

∴PH2+NH2＝R2，

∵PM2+PN2＝（HM﹣PH）2+（NH+PH）2

＝（NH﹣PH）2+（NH+PH）2

＝2（PH2+NH2）

＝2R2．

又AB2＝4R2，

∴＝＝

∴的值不发生变化，为定值．