复数专题测试【带答案】

复数（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(1－i )2

·i ＝ （ ） A ．2－2i B ．2+2i C ． 2 D ．－2 2．设复数ωω++-

=1,2

3

21则i = （ ）

A ．ω-

B ．2

ω

C ．ω

1

- D ．2

1

ω

3．复数4

)11(i

+的值是

（ ）

A ．4i

B ．－4i

C ．4

D ．－4

4．设复数z ＝1i ，则z 2

－2z = （ ）

A ．－3

B ．3

C ．－3i

D ．3i

5．复数10

1()1i i

-+的值是

（ ）

A ．－1

B ．1

C ．32

D ．－32

65

的值是

( )

A ．－16

B ．16

C ．－

14

D ．

14- 7．设复数z 的辐角的主值为

3

2π，虚部为3，则2

z ＝

（ ）

A ．i 322--

B ．i 232--

C ．i 32+

D ．i 232+

8．已知复数z 1＝3+4i ，z 2＝t +i ，且12z z g 是实数，则实数t ＝ （ ）

A ．

4

3 B ．

3

4 C ．-

3

4 D ．-

4

3 9．

=+-2

)

3(31i i

（ ）

A ．

i 4

341+ B ．i 4

3

41--

C ．

i 2

321+ D ．i 2

3

21-- 10．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 11．复数5

34+i

的共轭复数是

（ ）

A ．34-i

B ．354

5

+i

C ．34+i

D ．3545

-i 12．若复数()3+i n

是一个纯虚数，则自然数n 的值可以是

（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．

13．已知复数z 与 (z +2)2

－8i 均是纯虚数，则 z = ____________． 14．若复数z 满足z (1+i )=2，则z 的实部是__________．

15．在复平面内，O 是原点，OA u u u r ，OC u u u r ，AB u u u r

表示的复数分别为-+++23215i i i ，，，那么BC uuu r 表示的复数

为____________.

16．z z C z z z z z 1212

1222

22402，，，∈-+==||，那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R， 若

21z z -<|z 1|，求a 的取值范围.

18．（本小题满分12分）已知复数z 1=c osθ－i ，z 2=s in θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且| z －1|是| z |和| z －2|的等比中项. 求| z |。

20．（本小题满分12分）已知z 、ω为复数，（1+3i ）z 为实数，ω=

,||2z

i

ωω=+且求．

21．(本小题满分12分) 在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为 1+2i ，3－5i 。求另外两个顶点C ，D 对应的复数。

22．(本小题满分14分) 已知：复数z 1=m +ni ，z 2=2－2i 和z =x +yi ，若z =1z i －z 2 ⑴若复数z 1所对应点M(m ，n )在曲线y =

2

1(x +3)2

+1上运动，求复数z 所对应点P(x ，y )的轨迹方程；

⑵将⑴中P 的轨迹上每一点沿着向量={

2

3

，1}方向平移213个单位，得新的轨迹C ，求C 的方程；

⑶过轨迹C 上任意一点A （异于顶点）作其切线l ，l 交y 轴于点B ，问：以AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由；

复数（理）参考答案

一、1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 二、13．－2i 14．1 15．4－4i 16．4π 三、17．解：由题意得 z 1=

i

i

++-151=2+3i ， 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ，1z =13. 4)4(2+-a <13，得a 2

－8a +7<0，1

18．解：|z 1·z 2|＝|1+s in θc os θ+(c os θ－s in θ)i

|

===

故|z 1·z 2|的最大值为

3

2

，最小值为2. 19．解：设(cos 60sin 60)z r i =+o

o

，则复数.2

r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .

12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---?=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 20．解：设ω＝x +yi (x ，y ∈R)，依题意得(1+3i )(2+i )ω＝(－1+7i )ω为实数，且|ω|＝

， ∴22

70

50

x y x y -=??

+=?，解之得17x y =??

=?或1

7

x y =-??=-?，∴ω＝1+7i 或ω＝－1－7i 。

21．解：当A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列时，AB u u u r

对应的复数为(3－5i )－(1+2i )＝2－7i 。 故AD u u u r

对应的复数为(2－7i )i =7+2i ，AC u u u r 对应的复数为(7+2i )＋(2－7i )＝9－5i 。

于是C 点对应的复数为(9－5i )+(1+2i )＝10－3i ，D 点对应的复数为(7+2i )+(1+2i )＝8+4i 。 同样，当A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列时，C 、D 点对应的复数分别为－4－7i ，－6。

22．解：⑴(y +1)2

=2(x +1) ⑵向右平移

23，向上平移1，得y 2

=2(x －2

1) ⑶设A(x 0，y 0)，斜率为k ，切线y －y 0=k(x －x 0) (k≠0)，代入整理得 k y 2－2y +(2y 0－2k x 0+k)=0，△=0得(2x 0－1)k 2

－2y 0k+1=0

y 20=2x 0－1，代入y 20k 2－2y 0k+1=0，得k=

1

y . 令x =0，B(0，y 0－

00y x )，以AB 为直径的圆(y －y 0)[y －( y 0－0

0y x

)]+x (x －x 0)=0 令y =0，x =1 即恒过(1，0)。