十四校2018届高三3月联考数学试卷 含答案

上海市十四校联考数学试卷

2018.3

一、填空题：

1. 已知n

x

?

?的二项式系数之和为256，则n = .

2. 设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22z iz -的值等于 .

3.设向量,a b 的夹角为θ（其中0θπ<≤），1,2a b -=，若()()

2a b ka b -⊥+，则实数k 的值为 .

4.设函数()lg f x x =，若()()f a f b =，其中0a b <<，则a b +的取值范围是 .

5．函数()()2234,,1x x f x x +=-?∈-∞的值域为 .

6.已知方程22

1x y a b

+

=表示的曲线为C,任取{},1,2,3,4,5a b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率为 .

7.若实数,x y 满足2121

03x y x x -+≤≤-??<≤?

，则2x y -的取值范围是 .

8.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过双曲线上任意一点P 分别作斜率为b

a -

和b

a

的两条直线12,l l ，设直线1l 与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为S, 设直线2

l 与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为T ，则S T ?的值为 . 9.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若满足4,30a A ==的三角形的个数恰好为一个，则b 取值范围为 .

10.设,,,i j n N i j *∈≠，集合(){}1,|433343n i j n n M i j +=?<+

,n A a a a =，集合(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈-∈，则

集合S 中的元素最多有 个.

12.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记

()()12n n a n x n =+≥????，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则

()2320151

1007

a a a +++= .

二、选择题： 13．若1210,,

,x x x 的平均数为3，则()()()121032,32,,32x x x ---的平均数为

A. 3

B. 9

C. 18

D. 27

14．设,a b 都是不等于1的正数，则“1a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D.既非充分也非表要

15．设双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF 的垂线与AF

的垂线与双曲交于B,C 两点，过B 作AC 的垂线交x 轴于点D,若点D 到直线BC 的距离小于

a b

a

的取值范围是

A. ()0,1

B. ()1,+∞

C. (

D.

)

+∞

16．已知数列{}{}{},,n n n a b c ，以下两个命题：①若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++，则

{}{}{},,n n n a b c 都是递增数列，则都是递增数列；②若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是

等差数列，则{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，下列判断正确的是 A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题， ②是假命题 D. ①是假命题， ②是真命题

三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17. 如图，三棱锥A BCD -中，BCD ?为等边三角形，,AC AD E =为CD 的中点

（1）求证：CD ⊥平面ABE ；

（2）设3,2A B C D ==，若AE BC ⊥，求三棱锥A BCD -的体积.

18. 已知抛物线24y x =的焦点为F,过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，设AB 的中点为M,A,B,M 在准线上的射影分别为C,D,N. （1）求直线FN 与直线AB 的夹角θ的大小； （2）求证：点B,O,C 三点共线.

19.已知a R ∈，函数()()()221,.f x x a x g x ax =++= （1）解关于x 的不等式()()f x g x ≤；

（2）若不等式()()f x g x ≥对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围.

20. 已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=??

++=??++=?

的解.

（1）求证：()1

11

a b

c

a b c a b a b c c a b c a b c =++；

（2）设01,,,z a b c =分别为ABC ?三边长，试判断ABC ?的形状，并说明理由； （3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.

21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n P ，且

11 1.a b ==

（1）设3243,a b a b ==，求数列{}n n a b +的通项公式；

（2）在（1）的条件下，且1n n a a +≠，求满足n m S P =的所有正整数,n m ； （3）若存在正整数()3m m ≥，且0m m a b =>，试比较m S 与m P 的大小，并说明理由.