2020年中考复习专题训练：《圆的综合 》

2020年中考复习专题训练：《圆的综合》

1．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．

（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．

（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．

2．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．延长CA交⊙O于点E，BH 是⊙O的切线，作CH⊥BH．垂足为H．

（1）求证：BE＝BH；

（2）若AB＝5，tan∠CBE＝2，求BE的长．

4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．

（1）求证：AM平分∠CAB；

（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．

5．如图所示，AB为圆O的直径，DC与圆O切于点C，AD⊥CD交圆O于E点，连接CE，交AO于F点．

（1）求证：AC平分∠DAO；

（2）若OF＝，∠COA＝45°，求DE的长．

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．

7．如图，AB与⊙O相切于点A，OB及其延长线交⊙O于C、D两点，F为劣弧AD上一点，且满足∠FDC＝2∠CAB，延长DF交CA的延长线于点E．

（1）求证：DE＝DC；

（2）若tan∠E＝2，BC＝1，求⊙O的半径．

8．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．

（1）求证：PO＝PD；

（2）若AC＝，求⊙O的半径．

9．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD＝AE．

（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AB；

（2）若EB＝，且sin∠CFD＝，求线段EF的长．

11．如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．

（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；

（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S

1，△ACF的面积为S

2

，若，

求tan∠CAF的值．

12．如图，点A、B、C在⊙O上，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，作DE⊥AC分別交AC、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AE＝12，OA＝8，求弧BD、线段DF、线段BF所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）．

13．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC＝8，tan∠BDC＝．

（1）求⊙O的直径；

（2）当DG＝时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．

14．已知，Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，以AD长为半径作⊙A，连接DC．（1）如图1，若∠A＝∠BCD，求证：CD与⊙A相切；

（2）如图2，过点D作AC的平行线交⊙A于另一点E，交BC于点F，连接BE、AE，若∠AEB＝90°，ED＝DF，求tan∠AED的值．

15．如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP上，且AC ＝CD，延长DC交AB于点E．

（1）求证：CA＝CE．

（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）

16．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．

（1）求证：∠ECB＝∠EBC；

（2）连接BF，CF，若BF＝5，sin∠FBC＝，求AC的长．

17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．

（1）求证：∠PAB＝∠ACB；

（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．

18．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC．（1）如图1，求证：∠C＝90°﹣∠APB；

（2）如图2，连接PC，若PB＝6，PC＝10，求sin∠PCB的值．

19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO的延长线于点E．

（1）求证：∠AOE＝∠BAE；

（2）若BC＝12，tan∠BAC＝，求⊙O的半径和AE的长．

20．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．

（1）求证：DB平分∠ADC；

（2）若EB＝10，CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．

参考答案

1．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，

∴∠DAB＝90°，

∵DC为⊙O的切线，切点为C，

∴DC＝DA，

∵CD∥AB，

∴∠D+∠DAB＝180°，

∴∠D＝90°，

∴∠ACD＝∠DAC＝45°；

（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，

∴DA⊥AB，

∴∠DAB＝90°，

∠DEA＝∠EAB，

∴∠ADC＝90°，

∵∠EAD＝30°，

∴∠DEA＝60°，

∴∠EAB＝60°，

∴∠BCE＝120°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴∠ACD＝30°，

∴∠DAC＝60°．

2．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵DC与⊙O相切，

∴∠OCD＝90°，

∵OB＝BD，

∴BC＝OD＝OB＝BD，

∴BC＝OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，

∴∠BCD＝∠OCA＝30°，

∴∠D＝∠A＝30°；

（Ⅱ）如图②，连接BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC＝90°，

∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，

∴∠FAC＝∠EAB＝18°，

答：∠FAC的大小为18°．

3．解：（1）证明：BH是⊙O的切线，∴∠ABH＝90°，

又∵CH⊥BH，

∴AB∥CH，

∴∠ABC＝∠HCB，

又∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠HCB＝∠ACB，

∵AB是直径，

∴BE⊥CE，

∴BE＝BH；

（2）设AE＝x，BE＝y，AB＝AC＝5，∵tan∠CBE＝2，

∴＝2，

∴CE＝2BE＝2y，

∴，

解得，

∴BE的长为4．

4．解：（1）连接OM，

∵PE为⊙O的切线，

∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴OM∥AC，

∴∠CAM＝∠AMO，

∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，

即AM平分∠CAB；

（2）∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴的长为＝．

5．（1）证明：∵DC与圆O切于点C，

∴DC⊥CO，

∴∠DCO＝90°，

∴∠DCA+∠ACO＝90°，

∵AD⊥CD，

∴∠CDA＝90°，

∴∠DCA+∠DAC＝90°，

∴∠ACO＝∠DAC，

又∵OC＝OA，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAO＝∠DAC，

即AC平分∠DAO；

（2）过点C作CH⊥AB于点H，则△COH为等腰直角三角形，

∵OC＝OA，∠AOC＝45°，

∴∠CAO＝∠ACO＝67.5°，

∴＝22.5°，

∴∠DCE＝67.5°，

∴∠ECO＝22.5°，

∴∠CAF＝∠CFA＝67.5°．

∴AC＝CF，

∴AH＝HF，

设AH＝HF＝x，则OH＝HF+OF＝x+，

∴OC＝OH＝x+2，

∵OA＝2x+，OA＝OC，

∴

解得：x＝1，

过点O作ON⊥AE于点N，则四边形CDNO为矩形，∴DN＝OC＝2+，

∴AN＝ON＝NE＝+1．

∴DE＝DN+NE＝2+＝3+2．

6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；

又∵OC⊥AD，

∴∠OFA＝90°，

∴∠AOC+∠BAD＝90°，

∴∠C＝∠BAD．

又∵∠BED＝∠BAD，

∴∠C＝∠BED．

（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，

∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，

∴，解得AC＝8，

∴＝10，

∵OC?AF＝OA?AC，

∴．

∴＝＝．7．解：（1）证明：连接OA，AD，

∵CD是为直径，

∴∠DAC＝90°，

又∵AB为⊙O切线，

∴∠OAB＝90°，

∴∠DAO＝∠CAB，

∵∠EDC＝2∠CAB，

∴∠EDC＝2∠DAO，

∵DO＝AO，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠EDC＝2∠ADO，

∴AD平分∠EDC，

∵AD⊥EC，

∴DE＝EC；

（2）∵∠CAB＝∠ADB，∠B＝∠B，

∴△ACB∽△DAB，

∴＝，

又∵∠E＝∠DCA，

∴tan∠DCA＝2，

即＝2，

∴＝2，

∵BC＝1，

∴AB＝2，

设圆的半径为r，由勾股定理可得r2+22＝（r+1）2，解得：r＝，

即⊙O的半径为．

8．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点P，

∴BP⊥AP

∴∠OPD+∠DPA＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°

∵∠OAP＝∠DPA．

∴∠OPD＝∠AOP

∴OD＝PD

∵PO＝OD

∴PO＝PD．

（2）连接PC，

∵PB为⊙O的直径

∴∠BCP＝90°

∵PO＝PD＝OD

∴∠AOP＝60°

设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°

∴PA＝x

∴AB＝＝x

∵∠BPA＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B

∴△BAP∽△BPC

∴＝

∵AC＝

∴＝

∴7x﹣＝4x

∴x＝

∴⊙O的半径为．

9．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∵CE∥AB，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADB，

∵在△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠BCA＝∠ACE，

在△ADC和△AEC中，，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD＝AE；

（2）解：连接BF，如图所示：

∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，

∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，

∴CF＝2，

∵BF⊥AC，

∴AC＝2CF＝4，

在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，

∴CD＝×4＝4，

∴AD＝＝＝8．

10．证明：（1）连接OD，AD，如图，

∵AC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴DB＝DC，

∵OA＝OC，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∵EF为切线，

∴OD⊥EF，

∴DE⊥AB；

（2）解：在Rt△ODC中，sin∠OFD＝＝，

设OD＝3x，则OF＝5x，

∴AC＝6x，AF＝8x，

∴AE＝AB﹣BE＝6x﹣，

在Rt△AEF中，sin∠F＝＝，

即＝，解得x＝，

∴AE＝6，AF＝10，

∴EF＝＝8．

11．（1）解：连接BD，如图，

∵DG为切线，

∴AD⊥DG，

∴∠ADG＝90°，

∵AD为直径，

∴∠ABD＝90°，

而∠GDB+∠G＝90°，∠ADB+∠GDB＝90°，∴∠ADB＝∠G＝50°，

∴∠ACB＝∠ADB＝50°；

（2）证明：连接CD，如图，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

而∠ABC＝∠ADC，

∴∠ABE＝∠AEB＝∠ODC＝∠OCD，