2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量

2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量

一、选择题

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满

足=AP AB λ ,=(1)AQ AC λ- ,R λ∈,若3

=2

BQ CP ?- ,则=λ

（ ）

A ．

12

B ．

12

2

± C ．

110

2

± D ．

322

2

-± 错误！未指定书签。 ．（2012年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.

（ ）

A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b

B ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |

C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λb

D ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===

c y b x a ,

且c b c a //,⊥,则_______=+b a （ ）

A ．5

B ．10

C ．25

D ．10

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使

||||a b

a b =

成立的充分条件是 （ ）

A ．a b =-

B ．//a b

C ．2a b =

D ．//a b 且||||a b =

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则

下面结论正确的是 （ ）

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．{0,1,3}

D ．a +b =a -b

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC

= 1则___BC =.

（ ）

A ．3

B ．7

C ．22

D ．23

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义

??=

?αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ??

∈ ???

,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ??

∈????

中,则= a b

（ ）

A ．

12

B ．1

C ．

32

D ．

52

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA = ,()4,7CA =

,则BC =

（ ）

A ．()2,4--

B ．()2,4

C ．()6,10

D ．()6,10--

错误！未指定书签。 ．（2012年高考（大纲理））ABC ?中,AB 边上的高为CD ,若

,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==?===

,则AD = （ ）

A ．1133

a b -

B ．2233

a b -

C ．3355

a b -

D ．4455

a b -

错误！未指定书签。．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP

按逆时针旋转34

π

后,得向量OQ

则点Q 的坐标是

（ ）

A ．(72,2)--

B ．(72,2)-

C ．(46,2)--

D ．(46,2)-

二、填空题

错误！未指定书签。．（2012年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45?

,且

1,210a a b =-= ;则_____b =

错误！未指定书签。．（2012年高考（浙江理））在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则

AB AC ?

=______________. 错误！未指定书签。．（2012年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π

, 边AB 、AD 的长

分别为2、1. 若M 、N 分别 是边BC 、CD 上的点,且满足

|

||

|||||CD CN BC BM =

,则AN AM ?的取值范围是_________ .

错误！未指定书签。．（2012年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，

点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF = ,则AE BF

的值是____.

错误！未指定书签。．（2012年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB

边上的动点,则DE CB ?

的值为________; DE DC ?

的最大值为________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（安徽理））若平面向量,a b

满足:23a b -≤ ;则a b

的最小值是_____

2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案

一、选择题

错误！未找到引用源。 【答案】A

【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.

【解析】∵=BQ AQ AB - =(1)AC AB λ-- ,=CP AP AC -

=AB AC λ- ,

又∵3=2

BQ CP ?- ,且

||=||=2AB AC ,0

<,>=60AB AC ,0=||||cos60=2AB AC AB AC ?? ,∴

3[(1)]()=2

AC AB AB AC λλ----

,

22

23||+(1)+(1)||=

2AB AB AC AC λλλλ--?- ,

所

以

2

34+2(1)

+4(

1

)

=

2

λλλλ---,解得1=2λ. 错误！未找到引用源。 【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实

数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 错误！未找到引用源。 【答案】B

【解析】由02402a c a c x x ⊥??=?-=?= ,由//422b c y y ?-=?=-

,故

22||(21)(12)10a b +=++-=

.

【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键

在于根据a c ⊥ 、

//b c

,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.

错误！未找到引用源。 [答案]D

[解析]若使||||

a b

a b = 成立,则方向相同，与b a 选项中只有D 能保证,故选D.

[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 错误！未找到引用源。 【答案】B

【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ?b =0, 所a ⊥b ,故选B

【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B

【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.

C

B

A

P

Q

错误！未找到引用源。 【答案】A

【解析】由下图知

AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=??-=

.

1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222

cos 2AB BC AC B AB BC

+-=?,解得

3BC =.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结

合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC

的夹角为B ∠的外角. 错误！未找到引用源。 【解析】C;因为||cos cos 1||

b a b b a a a a θθ?==≤

在集合|2n n Z ??

∈????中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ

=

,所以

2||cos 2cos 2||

a a

b b θθ==<

,且2

2cos 1a b θ=> ,所以12a b << ,故有32a b = ,

选C.

【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||

k b b a a θ==

,两式相乘得2

12cos 4k k θ=,因

为0,

4πθ?

?

∈ ??

?,12,k k 均为正整数,于是

122

cos 122k k θ<=<,所以1224k k <<,所以

123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是3

2

a b = ,选C.

错误！未找到引用源。 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--

. 错误！未找到引用源。 答案D

【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.

【解析】由0a b ?= 可得90ACB ∠=?,故5AB =,用等面积法求得25

5

CD =,所以

45

5

AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=- ,故选答案D

错误！未找到引用源。 【解析】选A

【方法一】设34

(10cos ,10sin )cos ,sin 55

OP θθθθ=?==

A

B

C

则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππ

θθ=++=-- 【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32

π

后得(8,6)OM =-

则1()(72,2)2

OQ OP OM =-+=--

二、填空题

错误！未找到引用源。 【解析】b =

32

22210(2)1044cos 451032a b a b b b b ?

-=?-=?+-=?=

错误！未找到引用源。 【答案】16-

【解析】此题最适合的方法是特例法.

假设?ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,

AM =3,BC =10,AB =AC =34.

cos∠BAC =

3434100823417

+-=-?.AB AC ?

=cos 16AB AC BAC ?∠=-

错误！未找到引用源。 [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,2

3

),C (2

5,2

3

).

设

t CD CN BC BM ==|

||

|||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2

t ,

2

3t ),N (25-2t ,

2

3),

故AN AM ?=(2+2t

)(2

5-2t )+2

3t ?

2

3

=)(6)1(522

2t f t t t =++-=+--,

因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,( AN AM ?)max = f (0)=5,(AN AM ?)min = f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!

错误！未找到引用源。 【答案】2.

【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.

【解析】由2A B A F = ,得cos 2AB AF FAB ∠=

,由矩形的性质,得

cos =AF FAB DF ∠

.

∵2AB =,∴22DF = ,∴1DF =.∴21CF =-.

记AE BF

和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+.

又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-

x

y

A

B

C

D

M

N

(

)

=cos cos sin sin =122

212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?--=

.

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.

错误！未找到引用源。 【答案】1;1

【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ?=?=?

,可知||cos ||DE DA θ= ,因此

2

|

|1D E C B D

?

== ;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα?=?=? ,而||cos DE α 就是

向量DE 在DC

边上的射影,要想让DE DC ? 最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,

射影为||DC

,所以长度为1

【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.

错误！未找到引用源。 【解析】a b 的最小值是9

8

-

22222349494449448a b a b a b

a b a b a b a b a b a b -≤?+≤++≥≥-?+≥-?≥-