根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

如果已知旋转前后的一向量的变化，那么该如何求这个旋转矩阵呢？本篇结合Rodrigues' rotation formula，介绍一下该旋转矩阵的求法。

1.旋转角度

已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知：

可推出P，Q之间的夹角为：

2. 旋转轴

由1中可知，旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面，那么旋转轴必垂直该平面。

假定旋转前向量为a(a1, a2, a3)，旋转后向量为b（b1, b2, b3)。由叉乘定义得：

所以旋转轴c(c1, c2, c3)为：

3. 罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

3.1 公式

已知单位向量，将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式，可知对应的旋转矩阵：

其中I是3x3的单位矩阵，

是叉乘中的反对称矩阵r：

3.2 公式证明

假设在坐标系(x, y, z）中，向量v=ax+by+cz，v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。

根据2维（x,y)面上的旋转公式可得：

推出：

已知：

将上式带入v’的公式：

将cz替换掉，可得：

将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得：

另外：

最终可以推出：

上式即为罗德里格旋转公式。

4. 求旋转矩阵

根据旋转前后的两个向量值，使用上面的方法，先求出旋转角度和旋转轴，然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。

C#的实现代码如下：

void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)

{

double[] rotationAxis;

double rotationAngle;

double[,] rotationMatrix;

rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);

rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));

rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);

}

double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)

{

double[] c = new double[3];

c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];

c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];

c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];

return c;

}

double DotProduct(double[] a, double[] b)

{

double result;

result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];

return result;

}

double Normalize(double[] v)

{

double result;

result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);

return result;

}

double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)

{

double norm = Normalize(u);

double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];

u[0] = u[0] / norm;

u[1] = u[1] / norm;

u[2] = u[2] / norm;

rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

return rotatinMatrix;

}

?【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。

顶 3 收藏 2

?【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。

顶7 收藏7

?【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。

顶11 收藏9

?【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。

顶0 收藏 2

?【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。

顶 3 收藏 4

?【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽

顶0 收藏 2

?【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。

顶 1 收藏 3

?【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。

顶 2 收藏 3

?【唯美句子】那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。

顶 4 收藏 5

?【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。

顶 3 收藏 5

?【唯美句子】在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。

顶 4 收藏 3

?【唯美句子】看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。

顶 1 收藏 1

?【唯美句子】很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。

顶 2 收藏0

?【唯美句子】我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。

顶 2 收藏 1

?【唯美句子】那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到

?【优美语句】踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。

顶0 收藏0

?【优美语句】人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。

顶0 收藏0

?【优美语句】母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃；母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。

顶0 收藏0

?【优美语句】生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔；生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大；生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。

顶0 收藏0

?【优美语句】母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然；母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱；母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。

顶0 收藏0

?【优美语句】努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。

顶0 收藏0

?【优美语句】品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。

顶0 收藏0

?【优美语句】母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。

顶0 收藏0

?【优美语句】母爱是温暖心灵的太阳；母爱是滋润心灵的雨露；母爱是灌溉心灵的沃土；母爱是美化心灵的彩虹。

顶0 收藏0

?【优美语句】一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻……我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中；无论多少风雨，都无法将她击垮；无论多少河流，她都可以容纳；我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。