人教版七年级上册数学 一元一次方程单元培优测试卷

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）

1．如图，数轴上有、、、四个点，分别对应，，，四个数，其中，，与互为相反数，

（1）求，的值；

（2）若线段以每秒3个单位的速度，向右匀速运动，当 ________时，点与点重合，当 ________时，点与点重合；

（3）若线段以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，则线段从开始运动到完全通过所需时间多少秒？

（4）在（3）的条件下，当点运动到点的右侧时，是否存在时间，使点与点的距离是点与点的距离的4倍？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：由题意得：

∵

∴，

∴，

（2）8；

（3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为

∵重合

∴

解得 .

∴线段从开始运动到完全通过所需要的时间是6秒

（4）解：①当点在的左侧时

∵

∴

解得

②当点在的右侧时

∵

∴

解得：

所以当或时，

【解析】【解答】（2）若线段以每秒3个单位的速度，

则A点表示为-10+3t, B点表示为-8+3t,

点与点重合时，-10+3t=14

解得t=8

点与点重合时，-8+3t=20

解得t=

故填：8；；

【分析】（1）由与|d?20|互为相反数，求出c与d的值；（2）用含t的式子表示A，B两点，根据题意即可列出方程求解；（2）用含t的式子表示A，D两点，根据题意即可列出方程求解；（3）分两种情况，①当点在的左侧时②当点在的右侧时，然后分别表示出BC、AD的长度，建立方程，求解即可．

2．有两个大小完全一样长方形OABC和EFGH重合着放在一起，边OA、EF在数轴上，O 为数轴原点（如图1），长方形OABC的边长OA的长为6个坐标单位．

（1）数轴上点A表示的数为________．

（2）将长方形EFGH沿数轴所在直线水平移动．

①若移动后的长方形EFGH与长方形OABC重叠部分的面积恰好等于长方形OABC面积的一半时，则移动后点F在数轴上表示的数为________．

②若长方形EFGH向左水平移动后，D为线段AF的中点，求当长方形EFGH移动距离x为何值时，D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数？

【答案】（1）6

（2）①3或9

②如图所示：

据题意得出D所表示的数为，点E表示数为：，

当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时：

则

解得：，

当移动x为4的时候D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数.

【解析】【解答】解：(1)根据题意可得：

A表示数为的长，

故答案为：6.

( 2 )①当向左边移动的时候，刚好移到矩形长一半的时候，此时重叠面积为长方形面积的一半，此时为9，当向右边边移动的时候，刚好移到矩形长一半的时候，此时重叠面积为长方形面积的一半，此时为3；

故答案为：3或9.

【分析】(1)根据题意可以看出结果；(2)①分为两种情况，分别向左或向右平移；②根据题意得出D所表示的数为，当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时点E表示数为：，则，解出答案即可.

3．某公园为了吸引更多游客，推出了“个人年票”的售票方式(从购买日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B二类：A类年票每张49元，持票者每次进入公园时，再购买3元的门票；B类年票每张64元，持票者每次进入公园时，再购买2元的门票.

（1）一游客计划在一年中用100元游该公园(只含年票和每次进入公园的门票)，请你通过计算比较购买A、B两种年票方式中，进入该公园次数较多的购票方式；

（2）求一年内游客进入该公园多少次，购买A类、B类年票花钱一样多？

【答案】（1）解：设用100元购买A类年票可进入该公园的次数为x次，购买B类年票可进入该公园的次数为y次，据题意，得

49+3x=100.

解得，x=17.

64+2y=100.

解得，y=18.

因为y＞x，

所以，进入该公园次数较多的是B类年票.

答：进入该公园次数较多的是B类年票

（2）解：设进入该公园z次，购买A类、B类年票花钱一样多.则根据题意得

49+3z=64+2z.

解得z=15.

答：进入该公园15次，购买A类、B类年票花钱一样多

【解析】【分析】（1）设用100元购买A类年票可进入该公园的次数为x次，购买B类年票可进入该公园的次数为y次，根据总费用都是100元列出方程，并求得x、y的值，通过比较它们的大小即可得到答案；（2）设进入该公园z次，购买A类、B类年票花钱一样多.根据题意列方程求解.

4．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣.

（1）一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);

（2）一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);.

（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元?

【答案】（1）解：由题意得，P=25×4×x=100x.

故答案是：100x；

（2）解：由题意得,Q=[(150?x)×30?6x]×2=9000?72x.

故答案是：(9000?72x)；

（3）解：根据题意得

解得

答:应安排100名工人制衣.

【解析】【分析】（1）根据一天的利润=每件利润×件数×人数，列出代数式；

（2）安排x名工人制衣，则织布的人数为（150-x），根据利润=（人数×米数-制衣用去的布）×每米利润，列代数式即可；

（3）根据总利润=11806，列方程求解即可.

5．仔细阅读下列材料.

“分数均可化为有限小数或无限循环小数”，反之，“有限小数或无限小数均可化为分数”.

例如： =1÷4=0.25； = =8÷5=1.6； =1÷3= ，反之，0.25= = ；1.6= = =

.那么，怎么化成分数呢？

解：∵ ×10=3+ ，∴不妨设 =x，则上式变为10x=3+x，解得x= ，即 = ；∵ = ，设 =x，则上式变为100x=2+x，解得x= ，

∴ = =1+x=1+ =

（1）将分数化为小数： =________， =________；

（2）将小数化为分数：=________；=________。

（3）将小数化为分数，需要写出推理过程.

【答案】（1）1.8；

（2）

；

（3）解：设 =x，则100x=95+x，解得：x= =1+ =

【解析】【解答】(1)9÷5=1.8，22÷7= ；(2)设0. x，根据题意得：10x＝5+x，解得：x ；

设0. x，则10x＝6+x，解得：x ．

．

故答案为：．

【分析】（1）由已学过的知识可知：分数均可化为有限小数或无限循环小数；是一个

有限小数，是一个无限循环小数；

（2）由阅读材料可求解；

（3）由阅读材料可知，设循环节为x，即 =x，由材料可得方程 100x=95+x，解方程即可求解。

6．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为80.

（1）请写出AB的中点M对应的数.

（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，

①你知道经过几秒两只电子蚂蚁相遇?

②点C对应的数是多少?

③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度?

【答案】（1）解：M点的数值为：；

（2）解：①设所用时间为t，依题意得：

3t﹢2t=100，

解得：t=20；

②依题意得：点C位置为： 80-2t=80-2×20=40；

③设所用时间为x，依题意得：

3x+2x=100-15或3x+2x=100+15，

解得：x=17或x=23；

∴当x=17或x=23时，两个电子蚂蚁再数轴上相距15个单位长度.

【解析】【分析】（1）由AM=BM，结合两点间的距离公式，即可求出AB的中点；（2）①根据时间=路程÷速度，即可求出相遇的时间；②结合相遇的时间，即可求出点C；③根据题意，两个电子蚂蚁在数轴上相距15，可分为：相遇前相距15和相遇后相距15，两种情况进行讨论.

7．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩.甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人.经了解，该风景区的门票价格如下表：

数量(张)1﹣5051﹣100101张及以上

单价(元/张)60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.

（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？

【答案】（1）解：如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），

则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420（元）

（2）解：设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人.

依题意得：50x+60×（102﹣x）＝5500，

解得：x＝62.

则乙单位人数为：102﹣x＝40.

答：甲单位有62人，乙单位有40人

（3）解：方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400（元）；

方案二：联合购买门票需（50+40）×50＝4500（元）；

方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；

综上所述：因为5400＞4500＞4040.

故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱

【解析】【分析】（1）运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论；（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可；（3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票.分别求出三种方案的付费，比较即可.

8．定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中点方程”.如：的解为，而；的解为，而 .

（1）若，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由；

（2）若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值.

【答案】（1）解：没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：

把代入原方程解得：x= ，

若为“中点方程”，则x= ，

∵≠ ，

∴不符合“中点方程”定义，故不存在

（2）解：∵，

∴（2a-b）x+b=0.

∵关于x的方程是“中点方程”，

∴x= =a.

把x=a代入原方程得：，

∴ =

【解析】【分析】（1）把代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；（2）根据“中点方程”定义得到， = ,整体代入即可.

9．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．

（1）求A、B所表示的数；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝ x﹣8的解

①求线段BC的长；

②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，

∴a+3＝0，b﹣2＝0，

解得，a＝﹣3，b＝2，

即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2。

（2）解：①2x+1＝ x﹣8

解得，x＝﹣6，

∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，

即线段BC的长为8；

②存在点P，使PA+PB＝BC，

设点P的表示的数为m，

则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，

∴|m+3|+|m﹣2|＝8，

当m＞2时，解得，m＝3.5，

当﹣3＜m＜2时，无解，

当x＜﹣3时，m＝﹣4.5，

即点P对应的数是3.5或﹣4.5．

【解析】【分析】（1）根据绝对值，偶次幂的非负性，即可解答；

（2）①先解方程得到点C表示的数，再结合点B表示的数即可确定线段BC的长；

②设点P表示的数为m，由点A、C所表示的数可得PA=,PB=，根据PA+PB=BC可得|m+3|+|m﹣2|＝8，再分m＞2、-3＜m＜2、m＜-3三种情况，去绝对值符号解方程即可解答。

10．某服装厂计划购进某种布料做服装，已知米布料能做件上衣，米布料能做

件裤子.

（1）一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍；

（2）这种布料是按匹购买的，每匹布料是将这种厚度为布料卷在直径为的圆柱形轴上，卷完布后的圆柱直径为D=20cm，其形状和尺寸如图所示，为使一匹布料所做的上衣和裤子刚好配成套，应分别用多少米的布料生产上衣和裤子(π取3)? （3）在(2)的条件下，一件上衣用料1米，服装厂要生产1000套，则需采购这样的布料多少匹?

【答案】（1）解：由题意可得：? 1.5.

答：一件上衣的用料是一条裤子用料的1.5倍

（2）解：一匹布的长度=100π+100.8π+101.6π+...+200π≈3×（100+100.8+101.6+...+200）=3× =56700mm=56.7m.

设应用x米的布料生产上衣，则用（56.7-x）米的布料生产裤子，根据题意得：

x=1.5 (56.7-x)

解得：x=34.02(米)≈34（米）

当x=34时，56.7－x=22.7（米）

答：应用34米的布料生产上衣，则用22.7米的布料生产裤子.

（3）解：1000÷34≈29.4≈30（匹）

答：需采购这样的布料30匹.

【解析】【分析】（1）求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍，应先把各自的用料多

少表示出来.一件上衣的用料是：；一条裤子用料是：；将两个式子相除即可；（2）先求出一匹布的长度，然后根据一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5倍列方程求解即可；（3）由（2）可得一匹布生产衣服裤子的套数，用总套数÷一匹布生产衣服裤子的套数即可得到答案.

11．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边0M与OC都在直线AB 的上方．

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时0N是否平分∠AOC?请说明理由；

（2）在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由；

（3）在(2)问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由．

【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，

解得：t=15°÷3°=5秒；

②是，理由如下：

∵∠CON=15°．∠AON=15°，

∴ON平分∠AOC

（2）解：5秒时OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∴∠AOC-∠AON=45°，

可得：6t-3t=15°，

解得：t=5秒：

（3）解：OC平分∠MOB

∴∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∴∠COM为 (90°-3t)，

∵OC平分∠MOB，

可得：180°-(30°+6t)= (90°-3t)，

解得：t= 秒；

如图：

【解析】【分析】（1）①根据角平分线结合已知条件可得∠COM=75°，从而求得∠CON=∠AON=15°，根据旋转即可求得时间t；

②由①知∠CON=∠AON=15°，从而可得ON平分∠AOC.

（2）根据角平分线结合已知条件可得∠CON=∠COM=45°，根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由∠AOC-∠AON=45°，列出方程，解之即可.

（3）根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由角平分线和邻补角可得180°-(30°+6t)= (90°-3t)，解之即可.

12．某城市开展省运会，关心中小学生观众，门票价格优惠规定见表.某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目，其中乙班人数多于甲班人数，甲班人数不少于35人.如果两班都以班级为单位分别团体购买门票，则一共应付8120元.

买门票能节省多少钱？

（2）问甲、乙两个班各有多少名学生？

（3）如果乙班有m（0＜m＜20，且m为整数）名学生因事不能参加，试就m的不同取值，直接写出最省钱的购买门票的方案？

【答案】（1）解：一起购买门票，所需费用为：80×86＝6880（元），

能节省8120﹣6880＝1240（元），

答：联合起来购买门票能节省1240元钱

（2）解：设甲班有x人，

86×90＝7740（元），

7740＜8120，

∴35≤x≤40，40＜86﹣x≤80，

根据题意得：100x+90（86﹣x）＝8120，

解得：x＝38，

86﹣x＝48，

答：甲班有38人，乙班有48人

（3）解：若0＜m＜6时，此时总人数大于等于81人，则最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，

当m≥6时，若90（86﹣m）＞81×80，解得：m＜14，

即6≤m＜14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张，

若90（86﹣m）＝81×80，解得：m＝14，

即m＝14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张或72张，

若14＜m＜20时，最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，

综上可知：当0＜m＜6或14＜m＜20时，购买（86﹣m）张最省钱，

当m＝14时，购买72或81张最省钱，

当6≤m＜14时，购买81张最省钱

【解析】【分析】（1）依据表格中的数据计算出联合购票的钱数，与分别购买团体票的钱数之间的差为节省出来的钱；（2）依题意设甲班有x人，并且x≥35，确定x的取值范围，假设两班人数都是41人到80人之间，则方程无解；因为乙班人数多于甲班人数，所以甲班人数在35≤x≤40 乙班人数在40＜86﹣x≤80，列方程解方程即可.（3）依据题意分类讨论：①总人数在81人以上时，即0＜m＜6时，求出（86﹣m）张；②当总人数小于81，当总价款又大于团购81张的总价款时，即6≤m＜14时，按81张购买即可；③当总

人数小于81，当平均票价为90元的总价款等于团购81张的总价款时，即m＝14时，有两种方式购买81张或72张；④当总人数小于81，平均票价为90元是最省钱方式，即14＜m＜20时，得出（86﹣m）张.