1991考研数一真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1) 设21,cos ,

x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.

(2)

由方程xyz +

=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分

dz =__________.

(3) 已知两条直线的方程是1123:

101x y z L ---==-；221:211

x y z

L +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.

(4) 已知当0x →时,123

(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.

(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?

?= ?- ???

,则A 的逆阵1A -=__________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2

11x x e y e

--+=

- ( )

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

()ln 22x

t f x f dt ??

+ ???

,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x

e (B) 2ln 2x

e + (D) 2ln 2x

e +

(3) 已知级数

(1)

2n n n a ∞

-=-=∑,211

5n n a ∞-==∑,则级数1

n n a ∞

=∑等于 ( )

(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9

(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象

限的部分,则(cos sin )D

xy x y dxdy +??等于 ( )

(A) 1

cos sin D x ydxdy ?? (B) 1

2D xydxdy ??

(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0

(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1)

求0

lim x x π

→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数

u =

P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2

()x y z dV Ω

++???,其中Ω是由曲线22,

0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面

4z =所围成的立体.

四、(本题满分6分)

在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从

O 到A 的积分3(1)(2)L

y dx x y dy +++?的值最小.

五、(本题满分8分.)

将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

n n

∞

=∑的和.

六、(本题满分7分.)

设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

()(0)f x dx f =?

,证明在(0,1)内存在

一点c ,使()0f c '=.

七、(本题满分8分.)

已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及

(1,1,3,5)b β=+.

(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？

(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.

九、(本题满分8分)

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2

σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则

{}0P X <=_______.

(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概

率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

的概率为_______.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(2)2, 0,0

(,)0, x y e x y f x y -+?>>=?

?其他

, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】

sin cos 4t t t

t -

【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 ()()

x t y t φ?=??

=?, 则 ()

()dy t dx t ?φ'=

'. 所以 sin 2dy

dy t

dt dx dx t

-==

, 再对x 求导,由复合函数求导法则得

sin 1

()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t

-=?=? 2

2cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t

t t t -+-=

?=. (2)

【答案】dx

【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得

222()0d xyz +

再由全微分四则运算法则得

()()xy dz ydx xdy z ++=,

令1,0,1x y z ===-,

得dy =

即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=

【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；

因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程

12310102

x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32

【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1

x x x n

+-, 当0x →时2

0ax →,所以有

122223

(1)1

,cos 1sin ,322

ax ax x x x +--=-- 所以 1223

002

1(1)12

3lim lim 1cos 132

x x ax

ax a x x →→+-==---.

因为当0x →时,123

(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -

=,故32

a =-. (5)【答案】120

025

00120033110033-??

?- ? ?

???

. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.

注意： 1

110000

A A

B B ---????

? ?????,1

110

00A B B A

---??

??= ? ?????

. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??

= ???

,则求A 的伴随矩阵

a b d b A c d c a *

-????== ? ?-????

如果0A ≠,这样

a b d b d b c d c a c a A ad bc ---??????

== ? ?

?---??

????

. 再利用分块矩阵求逆的法则：1

110000

A A

B B ---??

? ?????

,易见 1120

025

001200

33110033A --??

?- ? ?= ?

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,

11lim lim

lim

x x x x x x x e e y e

e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,

11lim lim

lim

111

x x x x x x x e e y e

e --→∞

→∞

++====--,所以1y =为水平渐近线.

所以选(D).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0

lim ()x x f x →=∞,则

0x x =是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞

=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(B) 【解析】令2

u =

,则2,2t u dt du ==,所以 20

()ln 22()ln 22x

x t f x f dt f u du ??

=+=+ ???

两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即

[()]

2()

d f x dx f x =.解之得2()x

f x Ce =,其中C 是常数.

又因为0

(0)2()ln 2ln 2f f u du =

+=?

,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得

ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.

(3)【答案】(C) 【解析】因为

12342121

(1)

n n n n n a a a a a a a ∞

--=-=-+-++-+

∑

1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+

22121

()n n n n n n n a

a a a ∞

∞

--====

-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),

所以

122111

(1)523n n

n n n n n a

a a ∞

∞

--====--=-=∑∑∑.

而

12342121

()()()n

n n n a

a a a a a a ∞

-==+++++++

∑

22121

()n n n n n n n a

a a a ∞

∞

--====+=+∑∑∑538=+=,

故应选(C).

(4)【答案】(A)

【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.

令 12cos sin D

I xydxdy I x ydxdy ?=

??=??????,

由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以

0D D D D xydxdy xydxdy ++==??

而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有

cos sin 0,

cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??

????,

所以 1

2(cos sin )2cos sin D

D xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=????,

故选(A).

(5)【答案】(D)

【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.

由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式

||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,

先左乘1

A -再右乘A 有 1

ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).

其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1

ABC E AB C CAB E -=→=→=.

三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞

型未定式求极限

0lim(1x x x π

→→=+

令1t =,则0x +

→时0t -

→,所以

lim(1lim(1)t

x t t e +

→→+=+=, 所以

0lim

lim(1lim x x x e

→+

→→+==.

因为当0x →时,sin x x ,所以

20002sin 2lim

lim lim 2

x x x x x πππ+++→→→--????===-,

故

x x x e e

π→+

→==.

(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求

,,u u u

x y z

??????,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z

αβγ????=++????求出方向导数. 曲面2

236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为

{}

{}(1,1,1)

4,6,24,6,222,3,1P

x y z x y z ±==±,

在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得

}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=

= 又

P P P u x u y u z ?

??==

????

??===

?????===????

, 所以方向导数

cos cos cos u u u u

n x y z αβγ????=++????

=. (3)【解析】由曲线22,

y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.

于是,Ω是由旋转抛物面2

21()2

z x y =

+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.

选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是

:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤,

因此 22()I x y z dV Ω=++???

220

)dz d r z rdr π

θ=

+??

424

0242r r r r z dz π

=?????=+ ???????

? 4

256

z dz ππ==

四、(本题满分6分

)

【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3

(1)(2)L

I y dx x y dy =+++?

[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π

=+++??

2330

1sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π

??=

+++ ???

sin 2cos sin 22

a a

xdx a x xdx xdx π

π=+++

(cos 1)cos 2sin sin 224

a a

x d x a xd x xd x π

π=+-++

[][]23

3000

1cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x π

πππ??

=+-+++-????

443

a a π=+

-. 对关于a 的函数3

443

I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得

2440I a '=-=.

所以1a =, 且 0,01

0,1I a I a '<<

'><<+∞

故1a =为函数3

44,(0)3

I a a a π=+

->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.

五、(本题满分8分.)

【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以

1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π

= =?, 012()cos

()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ

-==?? 111

00022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ

=+=+??? 122

022(cos 1)

sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-

= =?,

002(2)5a x dx =+=?.

因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以

01()2||cos sin

2n n n a n n f x x a x b x l l

ππ

∞=??

=+=++ ???

∑ 22152(cos 1)

cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑

154

cos(21)(11)2(21)

n n x x n ππ

∞

==-- -≤≤-∑. 令0x =,有2

154

(0)20cos02(21)n f n π

∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞

==-∑. 又 2222

2111

1111111

(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞

∞

∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 2

2116n n

π∞

==∑.

六、(本题满分7分.)

【解析】由定积分中值定理可知,对于

()f x dx ?

,在区间2

(,1)3

上存在一点ξ使得

()()(1)()33

f x dx f f ξξ=-=?

即1

()()(0)f x dx f f ξ==?

由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.

七、(本题满分8分)

【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有

12342334

1234123412123(2)4335(8)5

x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??

++++=+??++++=?.

对方程组的增广矩阵作初等行变换:

第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有

111111

1111011210

112123243

01213

518

2252A a b a b a a ????

? ?--

? ?

=→ ? ?+++ ? ?+-+???? 111110112100100

001

0a b a ?? ?- ?→ ?+ ?+??

, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得

11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；

当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111T

b a b b a a a ++??

- ?+++??

故β有唯一表达式,且1234210111

b a b b

a a a βαααα++=-

+++?+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,

亦等同于12,,

,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) 无解 ? ()1().r A r A +=

? b 不能由A 的列向量12,,

,n ααα线表出.

八、(本题满分6分)

【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使

1T N Q AQ Q AQ λλλ-??

? ?==Λ=

? ??

, 其中0(1,2,

)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.

因此 ()T T T Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+

两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T i

A E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,

从而 ||1A E +>.

方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,

,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.

由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,

得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是

12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.

【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.

九、(本题满分8分)

【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为

()Y y X x y -=-

(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而

122

||(1)PQ y y '==+.

当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程

31222

1(1)

(1)

y y y y ''=

''++,

即2

1yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.

令()y P y '=,则dP y P

dy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dy P y

=+.

即y =C 为常数.

因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==

所以y '=分离变量得

dx =±.

令sec y t =,并积分,则上式左端变为

sec tan ln sec tan tan t tdt

t t C t

==++?

ln sec ln t C y C =+=+.

因曲线在上半平面,所以0y >,即(ln y C x =±.

故 x y Ce ±+

当1x =时,1,y =

当x 前取+时,1

C e -=,1x y e -=,

1x x y e e --=

=；

当x 前取-时,C e =,1x y e -++

11x x

y e e

--=

=；

所以 (1)(1)1()2

x x y e e ---=+.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2

σ,否则应先根据题设条件求出μ,2

σ,再计算有关事件的概率,本题可从

2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()

Φ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2

(

)σ

-Φ.

因为2(2,)X

N σ,所以可标准化得

(0,1)X N σ

由标准正态分布函数概率的计算公式,有

(24)(

)(

)P x σ

--<<=Φ-Φ,

()(24)(0)0.8P x σ

Φ=<<+Φ=.

由正态分布函数的对称性可得到 02

(0)(

)()1()0.2P x σ

σσ

-<=Φ=Φ-=-Φ=.

(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4

”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式

()D

S P A S =

半圆

,而 212S a π=半圆,

22141124

D OAC

S S

S a a π=+=

+圆

, 故 22

2111124()22

a a

P A a πππ+==+.

十一、(本题满分6分)

【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有

{}{}2()2(,)x y z

F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=

当0z ≤时,()0F z =.

因为2x y z +=在直线20x y +=的下方与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域

所以()0F z =.

当0z >时,2

x y z +=在直线20x y +=

的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.

(2)20

()2()1z x z

x y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--??

所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.

z F z e ze z --